МУ - Электродинамика сплошных сред (1183866), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В общем случае операция суммирования по паре верхний–нижний индексы называетсясвёрткой (convolution).Метрический тензор (metric tensor) = = Λ Λ , = .(46)Метрический тензор содержит полную информацию о соотношении малых приращений криволинейных координат с расстоянием, площадью и объёмом в декартовой системе координат. Вчастности, элемент объёма√d3 = d3 , = det || ||.Метрический тензор позволяет переводить контравариантное поле в ковариантное и обратно: = , = .(47)Градиент скалярного поля в криволинейных координатахвычисляется также, как и в декартовых:Λ ≡ ∇ = (48)согласно (45).
Поле является, таким образом, ковариантнымполем. Аналогично, градиент некоторого векторного поля в его ковариантной записи в криволинейных координатах определяется согласно правилуΛ Λ ≡ ∇ = − Γ .(49)Таким образом, в отличие от случая скаляра (48), не является ковариантным тензором второго ранга, тогда как ∇ является. Не является, соответственно, и тензором символ Кристоффеля (Christoffel symbols) Γ : при переходе из одной криволинейной системы координат в другую он не преобразуетсясогласно правилам (45); тем не менее поднятие и опускание индексов у символа Кристоффеля производится по тем же правилам (47).
В случае, если в (49) градиент берётся не от вектора,27а от тензора ранга (например, , ранг 2), то вместо одного слагаемого с символом Кристоффеля в (49) должно стоять,соответственно, слагаемых. Градиент контравариантного поляимеет видΛ Λ ≡ ∇ = + Γ .(50)Приняты обозначения:∇ = ; ,∇ = ∇ , = , ,; = ; ,∇ называется ковариантной производной в отличие от простойпроизводной . Символы Кристоффеля могут быть вычисленысогласно формуламΓ= Γ = Λ Λ = Λ == (, + , − , ) /2.Ковариантная производная коммутирует с метрическим и абсолютно антисимметричным (52) тензорами:∇ = ∇ ,∇ = ∇ ,∇ E = E ∇ .
(51)Эти равенства легко проверить, записав результат дифференцирования в декартовых координатах, где метрический и антисимметричный тензор постоянны в пространстве и равны соответственно и .Для того чтобы понять, как устроена операция взятия роторав криволинейных координатах, будем отталкиваться от того, чтов декартовых координатах [rot ] = , где – 3-мерныйсимвол Леви-Чивита (3-dimensional Levi-Civita symbol). Поэтомуопределим сначала абсолютно антисимметричный тензор√E = Λ Λ Λ = √ ,E = .(52)√В знаменателе стоит , поскольку при преобразовании из декартовых координат в криволинейный фактически вычисляется√детерминант матрицы перехода, det ||Λ || = 1/ , с точностьюдо знака. Поскольку rot является вектором, то[︀]︀rot = E ∇ = E .(53)28Таким образом, в операции взятия ротора, записанной в терминах ковариантного вектора, не участвуют символы Кристоффеля в силу их симметрии по последней паре индексов.
Тем неменее в выражении типа [rot ] = E ∇ нельзя заменятьковариантную производную простой, поскольку дифференцируется контравариантное векторное поле .Ортогональные криволинейные координаты. Ортогональныекриволинейные координаты характеризуются тем, что метрический тензор имеет диагональный вид во всём пространстве: = ( )2 , = 0 при ̸= ,(54)где называются коэффициентами Ламе.4. Рассеяние электромагнитных волнна частицахТеория рассеяния в скалярном случае (когда поле скалярно,и потому волна не имеет различных поляризаций) подробно изложена в [6].
Векторная структура уравнений Максвелла привносит дополнительные особенности в процесс рассеяния. Крометого, диссипация в сплошной среде нарушает законы сохраненияэнергии. Этим особенностям будет посвящено наше изложение.Рассмотрим монохроматическую плоскую волну, рассеивающуюся на некотором центре рассеяния. Для определённости будем полагать, что падающая волна распространяется в вакууме.Перейдём к комплексным амплитудам, введя огибающую Ẽ поляE, см. (13).
В дальнейшем знак ‘˜’ для избежания громоздкостизаписи мы будем опускать. Падающее поле представим в видеEin = Ein,0 exp[kin ]. Усреднённый по периоду колебаний векторУмова–Пойнтинга и, в частности, значение плотности потока впадающей волне равныS =Re [E × H] ,2 =|Ein,0 |2.2(55)Полное сечение рассеяния (сечение взаимодействия) определяется как отношение суммы мощности , рассеивающейся на29центре рассеяния, и мощности , поглощающейся им, к плотности потока энергии в падающей волне: = .(56) = + , = ,Таким образом, мощность есть мощность, отбираемая из падающей волны; называется сечением рассеяния, – сечениемпоглощения.Мы рассматриваем трёхмерный случай. Вдалеке от рассеивающего центра электромагнитное поле представляет из себя совокупность плоской волны и сферических расходящихся волн:E=Ein + Es →(57) Ein,0exp[],где |kin | = , а – амплитуда рассеяния; среди девяти пространственных матричных элементов амплитуды рассеяния естьтолько четыре независимых, поскольку у электромагнитныхволн есть только две поляризации.
Рассеянная центром рассеяния мощность равна∫︁dd(S ·) = d,= 2,(58)dd→ Ein,0 exp[kin ] +Re[E , H* ],2где интегрирование производится по сферическим углам на сфере радиуса , единичный вектор = /. Мы ввели дифференциальное сечение рассеяния d , которое есть отношение мощностирассеянной волны, уходящей от рассеивателя в телесный уголd, к плотности потока энергии падающей волны. Поглощаемаярассеивателем мощность равна∫︁ = − 2 d (S·),S=Re[E, H* ].(59)2S =4.1. Оптическая теоремаОптическая теорема связывает амплитуду рассеяния вперёдс полным сечением рассеяния, что может быть использовано дляупрощения вычисления сечения рассеяния.30−110a)b)Рис.
4. a) контур интегрирования по переменной = cos . Сплошнойлинией обозначен исходный контур, пунктирной – изменённый; b) зависимость резонансного вклада в сечение взаимодействия при разных(различающихся в 3 раза) добротностях резонанса. Интегралы подкривыми равны друг другуПолный поток через поверхность большого радиуса , нормированный на плотность падающего потока, по определениюравен сечению поглощения, см. (59),(56). Преобразуем это выражение, используя разложение поля (57): = − −Re2∫︁2 d ([Ein , H*s ] + [Es , H*in ]) ,где квадратичный вклад по полю падающей волны опущен, поскольку даёт нуль.
Первое слагаемое в правой части соответствует излучению, производимому рассеивателем; второе слагаемоеесть результат интерференции рассеянной волны с падающей.Теперь, используя равенстваH = [, E ],Hin = [in , Ein ],31(60)верные для плоских волн, см. (10), где in = kin /, получаем = + == −Re2(61)∫︁{︁(︀)︀*in,01 + (·in ) − d * in,0}︁− (Ein,0 ·)(E*in,0 ·) exp ((kin − )) .В процессе выкладок мы раскрыли двойное векторное произведение и использовали то, что Ein,0 ⊥ in .Для того чтобы взять интеграл по телесному углу в (61), перейдём к сферическим координатам {, , }, направив ось по волновому вектору kin падающей волны, и введём переменную = cos ; тогда kin = .
Интеграл в правой части (61)имеет вид и при → ∞ оценивается как∫︁1d (−1) () →)︀1 (︀(1) − (−1) exp−2 ,(62)−1где () – функция, независящая от . Оценка (62) оправдывается тем, что () предполагается аналитической функцией,не имеющей особенностей на отрезке [−1, 1]. Поэтому мы можем деформировать контур интегрирования так, как показанона рис. 4a.
При этом, в силу великости , вклад в интеграл будутдавать только боковые участки контура с длиной, обратно пропорциональной . Таким образом, приходим к правой части (62).Вклад в (62), соответствующий отражению назад, т.е. когда = −1, равен нулю, поскольку (−1) = 0 в случае (61). Действительно, первое слагаемое в фигурной скобке (61) равно нулю, поскольку ( · in ) = , а второе слагаемое равно нулю, поскольку ⊥ Ein,0 при = ±1. Для оставшегося вклада интегрированиепо углу даёт множитель 2, поскольку интеграл определяетсяокрестностью направления = 0. Поэтому (61) с учётом выражения для плотности падающего потока (55) сводится к =[︀]︀4Im (0) * , =in,0.|Ein,0 |(63)Равенство (63) составляет содержание оптической теоремы:32полное сечение рассеяния определяется мнимой частью амплитуды рассеяния вперёд.4.2.
Рассеяние света на малых частицахРассмотрим общие свойства рассеяния света частоты на частицах, размер которых мал по сравнению с длиной волны света , так что ≪ 1, где – волновое число падающего света.В этом пределе основным механизмом взаимодействия частицыс электромагнитным полем является дипольное взаимодействие– и в отдельных случаях магнитодипольное взаимодействие.Рассмотрим простейший случай, когда доминирующим является дипольное излучение, а поляризуемость (дипольная восприимчивость) частицы изотропна, так что вектор дипольного момента и поле налетающей волны сонаправлены, = Ein .В терминах дипольной восприимчивости оптическая теорема(63) для дипольно излучающего рассеивающего центра переписывается в виде = 4 Im[].(64)Это равенство можно получить, если из выражения [2, Ур.
(67.6)]для электрического поля колеблющегося диполя в волновой зонеизвлечь амплитуду рассеяния (57), а затем подставить её в (63).Отметим, что рассмотрение [1, § 93] верно́ только в случае, когдасечение поглощения велико по сравнению с сечением рассеяния, ≫ , в общем же случае верно́ соотношение (64).Зная дипольную восприимчивость, можно также отдельновычислить сечение рассеяния, воспользовавшись выражением [2,Ур.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
