МУ - Электродинамика сплошных сред (1183866), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В итоге получаем, что форма волнового пакетаопределяется зависимостью огибающей от ret при фиксированном new , тогда как его эволюция происходит с ростом координаты new . Стоит также заметить, что при выводе уравнения типа(23), описывающего эволюцию волнового пакета, удобно записывать закон дисперсии в виде = ().При такой замене переменных частные производные по newи преобразуются по закону=,ret1 =−.new g retПерепишем (20) в лабораторной запаздывающей системе координат, разложившись до второго порядка малости по шириневолнового пакета:(︃)︃(︂)︂2−20+ 0 2+ . .
. Φ = −+ ,(21)newret14где многоточием обозначены вклады, пропорциональные перекрёстной производной по new , ret и второй производной по new .Оценим характерные значения частных производных по координате и запаздывающему времени. Характерная величина производной по времени оценивается как∼ Δ ∼ g Δ.retПереход от простого времени к запаздывающему приводит к тому, что в волновом уравнении на Φ, исключается первая производная по времени ret, тогда как первая производная по координате new не исчезает. Вследствие этого оценкой для производной по координате является(︂)︂21Δg∼∼g Δ ≪.(22)newg ret0retТаким образом, уравнение на огибающую в лабораторной запаздывающей системе отсчёта приобретает вид уравнения Шредингера с источником:[︂]︂2 21− + Φ = −+ .(23)220При получении (23) мы пренебрегли в (21) высшими поправкамипо ширине импульса в соответствии с оценкой (22) (эти поправки были уже скрыты многоточием).
Мы также опустили индексы ‘new’ и ‘ret’ у эволюционной координаты и запаздывающеговремени.Сопровождающая (движущаяся) система координат.Сопро-вождающая система координат {new , rel }:new = ,rel = − g = −g ret– является более интуитивно понятной: в этой системе координатмы наблюдаем изменение со временем пространственной структуры волнового пакета, двигаясь вместе с пакетом с групповойскоростью g . При использовании сопровождающей системы координат, наоборот, удобно записывать закон дисперсии в виде = ().15Вторые производные преобразуются по правилам− g,=newrel.=relПроделывая ту же процедуру, что привела к (23), получаем уравнение[︂]︂g3 2 2g− + Ψ = −+ ,(24)220аналогичное уравнению (23). Как мы видим, в главном порядкепо ширине пакета уравнения (23),(24) переходят друг в другапростыми заменами g new ↔ new и g ret ↔ −rel .2.
МагнитооптикаЕсли на среду наложить внешнее поле, то, вообще говоря, еёлинейные отклики на дополнительные малые возмущения претерпят изменения. Эффекты, связанные с изменением диэлектрической проницаемости среды при наложении на неё постоянного магнитного поля, называют магнитооптическими эффектами.
В монографии [3] подробно изложены экспериментальныесведения о магнитооптических эффектах в разных средах на состояние науки 20-летней давности.2.1. ФеноменологияМы рассмотрим простейший случай, когда среда являетсяизотропной в состоянии без магнитного поля; в этом случае тензор диэлектрической проницаемости среды пропорционален единичной матрице. После наложения внешнего постоянного магнитного поля изотропия оказывается нарушенной, поскольку всреде теперь есть выделенное направление – направление магнитного поля. Диэлектрическая проницаемость в присутствиимагнитного поля должна иметь следующую структуру:(︀)︀ = − ℎ ℎ + ℎ ℎ + m H ,(25)где коэффициенты , и m являются функциями квадратамагнитного поля H2 , а единичный вектор ℎ = H /H направлен вдоль постоянного магнитного поля (таким образом, размерность m отлична от размерностей , ).
Вид (25) продиктован,16во-первых, тем, что является тензором, в то время как магнитное поле H является псевдовектором. Во-вторых, ограничение накладывает обобщённый принцип симметрии кинетическихкоэффициентов (см. [1, Ур. (101)]) (−H) = (H).Отметим, что предположение о прозрачности среды на интересующих частотах, соответствующее условию отсутствия диссипации (см. [1, Ур. (96.5)])* = ,приводит к дополнительному требованию вещественности всехтрёх величин , и m .Связь между вектором электрической индукции и электрическим полем задаётся равенством(︀ )︀ D = ^s E + [E × g],+ ℎ ℎ , g = m H,s = − ℎ ℎ(26)где за ^s обозначена симметричная часть тензора диэлектрической проницаемости (25), а псевдовектор g называется векторомгирации (gyration vector). Величина m называется магнетооптической восприимчивостью (magneto-optical susceptibility).2.2.
Эффект ФарадеяПродольный магнитооптический эффект Фарадея заключается в том, что линейно поляризованный свет, распространяющийся вдоль магнитного поля, испытывает вращение плоскостиполяризации при прохождении через среду, обладавшую изотропией в отсутствие магнитного поля. Это означает, что две круговые поляризации света распространяются с разными фазовымискоростями.Найдём связь этих эффектов с константами и m . Направимось декартовой системы координат по магнитному полю H0 .Для волны, распространяющейся вдоль магнитного поля, компонента электромагнитной индукции = 0, поскольку всегда(k · D) = 0.
В силу вида тензора диэлектрической проницаемости (25) электрическое поле волны также направлено нормально17к статическому полю H0 . Поэтому волновое уравнение (5) длянашего частного случая переписывается в виде[︀(︀)︀]︀()2 − 2 − 2 m H0 = 0,(27)где единичный антисимметричный тензор определён согласноравенствам = − , = 1. Решением этого уравнения являются две круговые поляризации ± , распространяющиеся сволновыми векторами ± :(︃ )︃1 √︀E± ∝,± = ± 0 m ,(28)∓где для вектора поляризации приведены только -компоненты.Если исходно (в точке = 0) поляризация поля была линейной и направленной по оси , то в ходе распространения волныеё поляризация меняется согласно закону(︃ )︃(︃ )︃(︃)︃11 − + cos(·)∝ ,(29)E () ∝+−sin(·)где средний волновой вектор = (+ + − )/2, а разность волновых векторов = (+ − − )/2. Таким образом, поляризациялинейно поляризованного света действительно поворачивается впроцессе прохождения через рассматриваемую среду.При относительно слабом магнитном поле можно считать, чтоантисимметричная добавка в тензор диэлектрической проницаемости мала, 0 m ≪ , а сама величина слабо отличается отвеличины диэлектрической проницаемости 0 в отсутствие магнитного поля.
Тогда обратный период поворота вектора поляризации даётся выражением = m 0√ . 2 0(30)Если справедливо предположение, что при уменьшении магнитного поля магнетооптическая восприимчивость m стремится кпостоянному значению, то из (30) следует, что период поворотавектора поляризации волны обратно пропорционален магнитному полю.183. Трансформационная оптикаКонцепция трансформационной оптики состоит в том, чтобы неоднородному распределению в пространстве диэлектрической проницаемости и магнитной восприимчивости поставить всоответствие задачу о распространении света в криволинейномпространстве, где, однако, среда обладает свойством вакуума, укоторого отсутствует отклик на электромагнитное поле.Пусть , где {, , , .
. .} = {1, 2, 3} – некоторые криволинейные координаты. Индексами , , , . . . по-прежнему будем обозначать декартовы координаты. В § 3.3 приведён краткий математический аппарат, касающийся криволинейных координат,вложенных в декартово пространство. Уравнения Максвелла, записанные в ковариантной форме, имеют видE =1 ,1E ∇ = − ,(31)где E и E – абсолютно антисимметричные контравариантный и ковариантный тензоры, которые в декартовых координатах равны символу Леви-Чивиты .
Мы специально записалиэти два уравнения Максвелла в разных формах, чтобы показатьвозможные варианты записи.3.1. Трансформационная оптика в ортогональныхкриволинейных координатахВ ортогональных криволинейных координатах уравненияМаксвелла (31) могут быть упрощены. Для того чтобы в дальнейшем применить концепцию трансформационной оптики, которая изменяет метрику координатной системы, следует использовать первую форму записи (31), поскольку в этом случае вуравнение явно не входит символ Кристоффеля, и таким образом зависимость уравнения от метрики объединяется с зависимостью от тензоров ^, ^.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
