МУ - Электродинамика сплошных сред (1183866), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если и действительны, то это равенство справедливо не только для комплексных амплитуд, но и для самих действительных полей, см., например, рис. 1. Если среда немагнитная, = 1, то волновой импеданс равен обратному комплексному коэффициенту преломления, = (n + k)−1 .Для описания распространения волн в среде вместо непосредственно и (которые, будучи комплексными, содержат в себе 4 действительных параметра) часто выбирают пару действительных параметров – показатель преломления n (refractive index, или index ofrefraction) и показатель поглощения k (extinction coefficient) , которые определяются через формулу√n + k =.(11)Показатели преломления и поглощения.Полное комплексное число n + k называется комплексным показателем преломления (complex refractive index).
Особенно такаяпараметризация удобна, если известно, что среда немагнитная,т.е. = 1. Тогда по n и k можно однозначно восстановить .В частности, длина волны в среде и глубина проникновения (penetration depth) равны=20= ,′n=1n 0=,=′′24kk 4(12)где 0 = 2/ – длина волны в вакууме на данной частоте. Приданном определении интенсивность волны, пропорциональнаяквадрату амплитуды поля, на расстоянии падает в раз; обрат−1ная величина = 1/ [см ] называется коэффициентом поглощения (absorption (attenuation) coefficient).
Если k ≪ n, то волна по мере распространения в среде успевает претерпеть многопространственных колебаний, прежде чем заметно ослабеть поинтенсивности; в этом случае среда называется прозрачной.8Рис. 1. Электромагнитное поле в линейно поляризованной плоскойволне в случае прозрачной среды1.2. Распространение волнового пакета в средес дисперсиейВолновым пакетом называется такая волна, распределениеполя в которой слабо отличается от распределения поля в монохроматической волне с некоторой частотой 0 и волновым вектором k0 , которые связаны между собой законом дисперсии всреде:0 = 0 (k0 ).Для волнового пакета 0 называется несущей частотой, а k0– несущим волновым вектором. Таким образом, динамика поляв волновом пакете в первом приближении такая же, как и динамика поля в монохроматической волне.
Тем не менее обычнопредставляет интерес как раз отклонение от этой динамики, которое возникает из-за слабого отличия волнового пакета от плоской волны (его слабой немонохроматичности). При этом частооказывается удобным рассматривать волновой пакет как единоецелое, не раскладывая его заранее по плоским волнам.1.2.1.
Выделение огибающейРассмотрим волновой пакет и введём понятие огибающей. Почти монохроматичность означает, что характерное время изме9нения временно́й огибающей Ẽ():Ẽ() =∫︁+∞(d) −(−0 ) ,(13)0E() = Ẽ() −0 + Ẽ* () 0 = 2 Re[Ẽ() −0 ],˜ * ()E () = Ẽ−0 () + +0является большим по сравнению с периодом колебания поля2/0 . Как следует из определения, огибающая имеет толькоположительные фурье-гармоники в том смысле, что Ẽ<0 = 0(фурье-образ огибающей определяется аналогично (3)).
Времяизменения огибающей Ẽ() оценивается как 1/Δ, т.е. Δ – характерная частота, на которой убывает Ẽ ; эта частота называется спектральной шириной пакета. Почти монохроматичностьволнового пакета означает, чтоΔ ≪ 0 .Поскольку все волны в пакете распространяются почти водну сторону, то временну́ю огибающую можно обобщить допространственно-временно́й огибающей. По аналогии с (13)представим фурье-компоненту электрического поля в видеE,k = Φk−k0 ,−0 + Φ*k+k0 ,+0 ,[︀]︀E(, ) = 2 Re −0 +k0 Φ(, ) ,где фурье-образ огибающей Φ,k имеет один максимум принулевых значениях волнового вектора и частоты и убывает на ∼ Δ, ∼ Δ.
В силу нашего предположения о том, что всеволны в волновом пакете распространяются почти в одну сторону, ширина по волновому вектору также должна быть малой,так чтоΔ ≪ 0 .1.2.2. Волновое уравнение на полеДля простоты изложения рассмотрим распространение плоского волнового пакета с фиксированной поляризацией. Тогда10электрическое поле E(, ) можно представить скалярной величиной, где – координата вдоль направления распространенияволнового пакета.Волновое уравнение, учитывающее временну́ю дисперсиюсреды, имеет вид∫︁∞1 22(14) E = 2 d′ (′ ) E( − ′ ) + (, ).0Для краткости записи мы приняли, что магнитная восприимчивость равна единице, = 1, что в данном случае не ограничивает общности рассуждений.
Сила играет роль внешнегоисточника, возбуждающего волну; свободное электромагнитноеполе соответствует = 0. В частности, в силу можно включить нелинейную по электрическому полю часть поляризациисреды , положив таким образом = 42 /2 . В фурьепредставлении уравнение (14) переписывается в виде(︀ 2)︀ − 2 () E, = −, ,(15)где волновой вектор определяется дисперсионным соотношением2.2Для определённости мы предполагаем, что волна распространяется вправо, так что следует выбирать решение Re > 0.Вследствие того, что спектральная ширина рассматриваемыхимпульсов мала, нам не нужно знать всю зависимость () волнового вектора от частоты, а необходимо знать только несколькопервых производных на несущей частоте = 0 .
Приняты следующие обозначения для этих производных:⃒d ⃒⃒ =.d ⃒ 2 () = ()=0Фазовая скорость ph показывает, с какойскоростью движется гребень монохроматической волны:0ph == n,0 = (0 ),(16)0Фазовая скорость.где n – коэффициент преломления.11Если мы удержим в дисперсии ()только первую производную по частоте, то () представляется в видеГрупповая скорость.() = 0 + − 0,g(17)где групповая скоростьg =d1≡.d1В англоязычной литературе также используется параметр groupindex ng , который определяется какng = n − dn,dg =.ng(18)Из волнового уравнения следует, что неопределённости в волновом векторе Δ и Δ связаны между собой через групповуюскорость, так что верна оценкаΔ ∼ g Δ.Групповая скорость, как будет показано ниже, определяет скорость движения волнового пакета.Вторая дисперсия. Параметр 2 называется дисперсией групповой скорости, в англоязычной литературе – group velocitydispersion, GVD.
Если на интересующей частоте он положителен,2 > 0, то говорят о нормальной дисперсии (normal dispersion).Если 2 < 0, говорят об аномальной дисперсии (anomalousdispersion).Часто вместо коэффициента 2 пользуются другим коэффициентом =2 d2 d1= − 2 2 = −,d d2(19)называемым коэффициентом хроматической дисперсией (groupdelay parameter). Как будет показано ниже, дисперсия групповойскорости определяет скорость расплывания волнового пакета.121.2.3. Уравнение Шредингера на огибающуюЗапишем волновое уравнение (15) в терминах огибающей Φ:[︁(︀)︀2 ]︁(0 − )2 − (0 + ) Φ(, ) = −+ ,(20)где мы у силы выделили огибающую + : = 2 Re[+ (, ) exp(−0 + 0 )],предполагая, что в Фурье-представлении , имеет узкие максимумы там же, где и , . При получении уравнения (20) мыпользовались соотношениями типа 0 Φ() = 0 (0 + )Φ(),( ) −0 Φ() = −0 (0 + ) Φ(),Φ( − ) = − Φ().В силу узости спектральной ширины волнового пакета, производные по времени и координате в (20) следует восприниматькак малые поправки к 0 и 0 соответственно, вследствие чегопо этим производным возможно производить формальное разложение в ряд Тейлора.Разложимся до первого порядка по этим поправкам и опустимвнешний источник как несущественный для текущих рассуждений.
В результате получим уравнение(︂)︂1−20 + Φ(, ) = 0.gУравнение удовлетворяется, если огибающая зависит от времени и координаты только через комбинацию − g , то естьΦ = Φ( − g ). Таким образом, в этом первом приближении мыустановили, что волновой пакет двигается с групповой скоростьюg (17) ‘вправо’, то есть в сторону увеличения координаты .Тем не менее сделанное приближение не улавливает изменения формы огибающей со временем. Поэтому наша цель – переписать волновое уравнение (20) в таком виде, который был быудобен для описания эволюции волнового пакета. Для этого отлабораторной системы координат {, } имеет смысл перейти в13такую систему координат, у которой одной из координат является комбинация − g ; так мы будем рассматривать волновыепакеты, двигающиеся вправо и исключим их равномерное движение с групповой скоростью g .
Вторая координата может бытьвыбрана в виде суммы исходных координат , с произвольнымикоэффициентами, конкретный выбор которых зависит от физической постановки задачи. Мы рассмотрим два варианта такого выбора: лабораторную запаздывающую систему координат исопровождающую систему координат.Лабораторная запаздывающая система координат {new , ret } определяется согласно равенствам:Лабораторная запаздывающая система координат.ret = − /g ,new = .Смысл введённых новых координат следующий. Мы фиксируемположение приёмника, иными словами, координату new . Время же мы начинаем отсчитывать не от абсолютного значения,а от момента, когда в точку расположения приёмника придётимпульс, распространяющийся со скоростью g и пущенныйиз начала координат в нулевой момент времени по абсолютному его отсчёту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
