МУ - Электродинамика сплошных сред (1183866), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Предположим также, что тензоры ^ и^ имеют диагональный вид в выбранных криволинейных координатах. Тогда уравнение Максвелла имеет вид =1 1 2 3 , 219(32)где в правой части уравнения нет суммирования по , – диагональный элемент матрицы диэлектрической проницаемости вортонормированной системе координат =,( )2а – коэффициенты Ламе.В качестве примера возьмём сферически симметричную задачу, см. рис. 2. Нам хотелось бы, чтобы внутренняя область быланедоступна для лучей, падающих на конструкцию снаружи; более того, чтобы проходящие лучи с точки зрения внешнего наблюдателя как бы не замечали всей этой конструкции.
Эта цельдостигается подбором специальных свойств слоя < < .Для описания поведения лучей в слое введём криволинейнуюсистему координат {′ , , }, которая отличается от сферическойсистемы координат {, , } преобразованием′ =−,− < < ,(33)где > . Таким образом, те точки, которые заполняют всювнутренность сферы радиуса в {′ , , }, соответствуют всеголишь слою < < в реальности. При > системы координат совпадают. Поставленные нами требования к распространению волн будут выполняться, если будет реализована концепция трансформационной оптики: при правильных свойствахслоя < < уравнения Максвелла в координатах {′ , , }должны записываться в виде, как если бы эта система координатбыла бы сферической (будем её называть воображаемой сферической системой координат). Тогда лучи будут идти примернотак, как показано на рис. 2.Все величины, записанные для системы координат {′ , , },будем снабжать штрихом; в частности, коэффициенты Ламе ′равны′ =,′ = ,′ = sin (34)−при < < .
Коэффициенты Ламе (, , ) соответствуютсферической системе координат.20Рис. 2. Огибание лучами внутреннего пространства радиуса , расположенного за сферическим слоем толщиной − . Рисунок взят из [5]Формализуем концепцию трансформационной оптики дляданного примера. Реальная точка (real point) – это точка с координатами {, , } в сферической системе координат; воображаемая точка (imagined point) – это точка с координатами {′ , , } ввоображаемой сферической системе координат. Систему координат {′ , , } мы сделаем воображаемой сферической, если припишем ей метрику сферической системы координат (′ , , ).Для реализации процедуры сначала надо записать уравненияМаксвелла (32) в системе координат {′ , , }: ′ =1 1′ 2′ 3′ .′2Из приведённых рассуждений вытекает, что это уравнение должно совпадать с уравнением Максвелла в пустоте, записанным ввоображаемой сферической системе координат {′ , , }: ′ ⃒1 1 2 3 ⃒⃒= 2 ⃒imaginedpoint { ′ ,,} .Таким образом, обведённые в прямоугольники факторы должны21быть равны:⃒1′ 2′ 3′ ⃒⃒ ⃒′2realpoint⃒1 2 3 ⃒⃒=2 ⃒.(35)imaginedpointАналогичные равенства выписываются для уравнения Максвелла rot E = − ^H/.
При < для и получаем выражение = =1 ′2 ( − )2=,′ 2 − 2(36)а для остальных компонент = = = = ′ =.−(37)При > воображаемая система координат совпадает с реальной, и потому, как и требовалось, в этой области остаётся пустота, = = 1.3.2. Идеально согласованный слойВ задачах численного счёта по причине конечности расчётной памяти невозможно проводить моделирование распространения электромагнитного поля в неограниченном пространстве.Таким образом, в любом случае численное моделирование распространения электромагнитного поля производится в ограниченном объёме (как говорят, ячейке). При этом геометрическиепараметры ячейки выбираются из соображений баланса междуфизическим содержанием задачи и экономией расчётных ресурсов.Для того чтобы уравнения Максвелла стали полностью определёнными, на границе ячейки требуется поставить граничныеусловия.
В случае самых простых граничных условий – идеальный металл или идеальный магнитный проводник – электромагнитные волны отражаются от границы ячейки. С другой стороны, для большой части задач физическими граничными условиями является отсутствие волн, приходящих из бесконечности.Таким образом, геометрическая форма ячейки в конечном итогеискажает результаты численного эксперимента.22Как оказывается, можно поставить такие граничные условия,которые соответствуют отсутствию отражения от внутренней поверхности ячейки.
Будем рассматривать распространяющуюся ввакууме монохроматическую волну с частотой и добиватьсятого, чтобы она не отражалась от поверхности некоторого материала, являющейся границей физической области ячейки.Обратимся сначала к формулам Френеля. В случае нормального падения коэффициент отражения равен нулю, если волновые импедансы обеих сред равны между собой:√︂ ≡=√︂≡ ,(38)см. [4, Ур, (67.13)]. С другой стороны, если комплексный коэффициент преломления имеет мнимую часть, то прошедшая волнаэкспоненциально затухает вглубь материала. В соответствии сэтими рассуждениями возьмём в качестве границы ячейки слойматериала толщиной с коэффициентами = и комплекснымпоказателем преломления n + k, так что глубина проникновения мала по сравнению с толщиной слоя : = 1≪ ,2 kсм. (12).
На задней границе слоя поставим граничные условияидеального металла. Тогда нормально падающая волна изнутриячейки будет без отражения проходить в граничный слой, будучиослабленной в exp(/) ≫ 1 раз – отражаться от задней границыслоя и затем ослабленной второй раз выходить обратно в объём ячейки. При достаточной толщине слоя выходящей обратноволной можно пренебречь, и, таким образом, для частного случая нормально падающих волн мы достигли полного отсутствияотражения.Тем не менее, если угол падения волны на поверхность ненулевой, по-прежнему сохраняется ненулевое отражение, см.
[4, Ур,(67.13)]. Для того чтобы выработать принцип построения свойствслоя, для ясности изложения переформулируем сначала случайнормального падения с точки зрения трансформационной оптики. Будем считать для примера, что распределение диэлектри23ideal metalwave amplitudevacuuminceavtwnide < 0,vacuumPML′a)b)Рис. 3. a) волна, падающая на идеально согласованный слой (PML),за которым находится идеальный металл; b) комплексная плоскостькоординаты ческой проницаемости и магнитной восприимчивости имеет вид = = 1, < 0; = = , 0 < < /2, > 0;(39)тогда коэффициент поглощения = 20 sin(), где волновойвектор в пустоте 0 = /. Теперь воспользуемся концепциейтрансформационной оптики: перейдём в воображаемую системукоординат, в которой зависимость (39) перешла в зависимостьметрики от координат: = 1, = 2 , < 0, > 0,а ^ и ^, соответственно, равны единице во всём пространстве. Наконец, для области > 0 сделаем поворот в комплексной плоскости , а именно сделаем замену: = ′ , → − ′ ,<0>0⇒′ ′ = 1 ∀′ ,(40)см.
рис. 3b. В результате распространение электромагнитнойволны, приходящей из области < 0, но далее распространяющейся вдоль контура ′ , происходит в пустом пространстве, т.е.без отражения. В этом случае зависимость поля от координаты24описывается бегущей экспонентой exp(−0 ′ ). Теперь для области ′ > 0 совершим обратный поворот (40). Зависимость поляот координаты в реальном пространстве приобретает вид(︀)︀exp(0 ), < 0,exp 0 , > 0,(41)как и должно быть (мы пренебрегли волной, отражённой от задней стенки слоя).После этих рассуждений не сложно сказать, каковы должныбыть свойства слоя, если мы рассматриваем касательное падение волны.
Слой должен обладать анизотропными свойствамисоответствующими одноосной симметрии относительно нормалик плоскости слоя, так что ненулевыми матричными элементами^ и ^ являются = = − , = = = = .(42)Тогда зависимость поля от координаты будет отличаться от(41) только заменой 0 → = 0 cos , где – угол падения волны. При этом в воображаемой системе координат коэффициентыЛаме = , = = 1, так что уравнения Максвелла имеютвид E − E = 0 H , E − E = − 0 H ,поэтому поворот в комплексной плоскости координаты (40)справа от границы раздела теперь вовлекает и -компоненты поля, → − ′ ,E → E ,H → H .В заключение вывода отметим, что к можно выбрать комплексным, положив = ′ + ′′ . Мнимый вклад ′′ изменяетабсолютное значение коэффициента поглощения: = 20 exp(− ′′ ) sin( ′ ),(43)что позволяет подстраивать толщину слоя из соображений удобства проведения численного счёта.Построенный слой, реализующий безотражательные граничные условия, называют идеально согласованным слоем (perfectly25matched layer, PML).
Отсутствие отражения от построенной анизотропной среды можно было бы получить и непосредственно изуравнений Максвелла, см., например, [8]. Однако использованиеидей трансформационной оптики, с одной стороны, техническиупрощает эту задачу, а с другой стороны, позволяет выявитьпринцип построения такого слоя.3.3. Приложение: элементы дифференциальнойгеометрииРассмотрим трёхмерное евклидово пространство с декартовой системой координат , {, , , .
. .} = {1, 2, 3}. Пусть также вэтом пространстве определена некоторая криволинейная системакоординат , {, , , . . .} = {1, 2, 3}. Техника дифференциальной геометрии позволяет обобщать запись векторных и тензорных равенств, сформулированных исходно чаще всего в декартовой системе координат, на криволинейные координаты.Матрицы перехода для тензоров от декартовой к криволинейной системе координат и обратно:Λ = ≡ ,Λ =≡ , Λ Λ = .(44)Произвольные векторные поля , , записанные в декартовыхкоординатах, переписываются в криволинейных координатах согласно правилу: = Λ , = Λ .(45)Таким образом, если в декартовых координатах вопрос, имеет ливекторный индекс верхнее и нижнее положение, не имеет значения, то для криволинейных координат верхнее и нижнее положение векторного индекса соответствует контравариантному и ковариантному векторным полям .
Вообще величины,преобразующиеся при переходе из одной криволинейной системыкоординат в другую согласно правилам (45), называются тензорами; например, тензором является произведение .Скалярное произведение двух полей и в криволинейныхкоординатах записывается в виде свёртки по нижнему и верхнему индексам: = = .26Отметим, что операция суммирования по двум верхним или подвум нижним индексам в произвольном выражении, записаннаяв криволинейных координатах, не приводит к получению тензора, и потому в общем случае запрещена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
