STATFIZ (1183369), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Произведя разложение в (151) постепеням βB, получим:Ω(µ) =∂ 2 Ω0 (µ)1,Ω(µ) ≈ Ω0 (µ) + β 2 B 22∂µ2(151)откуда магнитный момент:M = −Bβ 2∂ 2 Ω0∂µ2(152)∂Ω0= −N , так что парамагнитная восприимчивость, которая по определению есть:∂µ∂Mχ=∂Bотнесенная к единице объёма газа, равна:β 2 ∂ 2 Ω0β 2 ∂Nχпара = −=V ∂µ2V ∂µ T,VНо производная(153)(154)Пренебрегая малым (при kT ≪ µ) температурным эффектом, т.е. считая газ полностью вырожденным, на основании(133)–(134) имеем:N =V(2mµ)3/2,3π 2 h̄3(155)и дифференцирование даёт:χпара =√β 2 (2m)3/2 µ2π 2 h̄3=β 2 pF mπ 2 h̄3(156)Подставляя сюда ещё выражение для pF из (134), получим окончательно:χпара =√β 2 (2m)3/2 µ2π 2 h̄3=β 2 pF me2=34mc2π 2 h̄3π41/3 NV1/3(157)Замечание – если рассматривать случай сильных магнитных полей, то в этом случае эффекты квантования орбитального движения и спиновые эффекты уже не могут быть отделены друг от друга и должны учитываться одновременно.

Вэтом случае в выражении для намагниченности появится часть, которая как функция от поля B, будет осциллировать сбольшой амплитудой.Наличие поправки222) Ранее в выражении (130) мы показали, что при низких температурах имеет место температурная поправка для Ωпотенциала:√3/22 2µm(158)Ω = Ω0 − V T6h̄3Соответственно, поступая также, как и в выражении (151) и обозначая поправку в виде △Ω, получим:△Ω(B, T ) = −AV T 2µ + βB + µ − βB ,(159)√где A =2m3/2.

Разлагая это выражение по степеням B, получим:6h̄3βBβBAV T 2 β 2 B 2√2√1+△Ω(B, T ) = −AV T µ+ 1−≈ −AV T 2 µ −µµ4µ3/2откуда находим поправки на магнитный момент:∂△ΩAV T 2 β 2 B△M = −=∂B T,V,µ2µ3/2(160)(161)и поправку для магнитной восприимчивости:△χ =∂△MAV T 2 β 2∼ T2=∂B2µ3/2(162)В этих выражениях µ ∼ µ(T = 0) = EF .Ответ: χпара =e24mc23π41/3 NV1/3и △χ ∼ T 2 .Задача №11 (Диамагнетизм Ландау). Вычислить диамагнитную восприимчивость газа свободных электронов вклассическом kT ≫ EF и квантовом EF ≫ kT ≫ µБ B пределах.Решение:Квантовый случай EF ≫ kT ≫ µБ B.1) Уровни орбитального движения электрона в магнитном поле даются выражением:p2z+ (2n + 1)βB,(163)2mгде n = 0, 1, 2, ... а pz – импульс в направлении поля – пробегает непрерывный ряд значений от −∞ до ∞.

При этомчисло состояний в интервале dpz при каждом заданном значении n есть (см. Ландау или задача №15 второе задание поквант-меху):E=2|e|VBdpz ,(2πh̄)2 c(164)где множитель 2 учитывает два направления спина. Выражение для Ω потенциала в этом случае примет вид:Ω = 2βB∞n=0f [µ − (2n + 1)βB],гдеT mVf (µ) = − 2 32π h̄∞µp2zln 1 + exp−dpzkT2mT−∞(165)Сумму можно вычислить с требуемой точностью с помощью следующей формулы:  ∞∞11F n+≈F (x)dx + F ′ (0)2240n=023(166)Условие применимости данной формулы состоит в малости относительного изменения функции F на одном шаге(n −→ n + 1). В применении к функции в выражении (165), оно сводится к требованию βB ≪ kT . Таким образомполучим: ∞ ∞(2βB)2 ∂f (µ)2βB ∂f (µ − 2nβB) =f (x)dx −·(167)Ω = 2βBf (µ − 2βBx)dx +24∂n24∂µn=0−∞0Первый член не содержит переменной поля B, т.е.

представляет собой потенциал Ω0 газа в отсутствии поля. Такимобразом, получим:Ω = Ω0 −β 2 B 2 ∂ 2 Ω0 (µ),·6∂µ2(168)и отсюда восприимчивость:χдиа =где χпараe2=4mc23π41/3 NVβ 2 ∂ 2 Ω01= − χпара ,·3V ∂µ231/3. Суммарная восприимчивость газа равна χ =(169)2χпара .3Классический случай kT ≫ EF .2) Воспользуемся формулой Ланжевена (P.Langeivin.

1905) для парамагнитного газа, подчиняющегося закону Кюри:β 2 g 2 Y (Y + 1)(170)3TПолагая теперь, что g = 2 и Y = 1/2 для электронного газа, и учитывая, что в случае высоких температур kT ≫ EFэлектроны образуют больцмановский газ, получим парамагнитную часть его восприимчивости, отнесённую к единицеобъёма:χпара =N β2,VTаналогичным образом (см. пункт №1) получим, что (см. лекцию Пухова №7):χпара =χдиа = −χпараN β2=−,33V Tздесь β = µБ .24(171)(172).

Характеристики

Список файлов курсовой работы