STATFIZ (1183369)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задача №1 (Двухуровневые атомы). Определить энтропию S и температуру T газа N невзаимодействующих двухуровневых атомов (разность энергий уровней E) при заданной энергии E. Показать, что T может быть отрицательной.Что произойдет, если две такие одинаковые системы с T1 < 0 и T2 > 0 привести в тепловой контакт? Вычислить температурную зависимость теплоемкости газа C(T ).

Найти характерные температуру T∗ и ширину △T∗ пика теплоемкости(аномалия Шоттки) в случае сильного вырождения верхнего уровня ln g ≫ 1.Решение:1.) Двухуровневой называется система, частицы которой могут находиться в состояниях с энергией E1 и E2 , причемE1 < E2 . Это могут быть, например, атомы или ядра со спином 1/2. В магнитном поле они ведут себя подобно магнитнымстрелкам, т.е. могут ориентироваться “по полю” или “против поля”. В первом случае энергия частицы равна E1 , а во второмE2 . При любой положительной температуре на верхнем уровне будет меньше частиц, и лишь при T ∼ ∞ “населенность”уровней становится одинаковой. Искусственно можно создать состояние, при котором населенность верхнего уровня окажется выше, чем нижнего (опыт американских физиков Э.Парселла и Р.Паунда, 1951).

Таким состояниям формальноприписывается отрицательная температура (см. журнал «Природа», № 4, 1994, с. 23-70).Для математического описания системы введём основную её характеристику внутреннюю энергию E (точнее её дифференциал):∂E∂EdS +dV(1)∂S∂VЗдесь мы рассматриваем ситуацию, когда число частиц не меняется, а систему можно считать замкнутой. Перепишемэто выражение в виде:dE =dE = T dS − P dV,(2)где первое слагаемое – это механическая работа δА, второе – количество теплоты δQ («термическая работа»).

В нашемслучае V = const, δА = pdV = 0 и dE = T dS.Будем считать, что наша система содержит N частиц (атомов) и подчиняется статистике Больцмана, т.е. считается,что частицы различимы, если они находятся на разных энергетических уровнях. В одном энергетическом состоянии можетнаходиться любое количество частиц. Если же они находятся на одном уровне, то их перестановка не приводит к новомусостоянию. В этом смысле можно также говорить, что они не различимы. Тогда попадание частицы на тот или другойуровень есть случайное событие, а внутренняя энергия такой системы:E = N1 E1 + N2 E2 ,(3)где N1,2 – число атомов на первом и втором уровне. При записи этого уравнения предполагается, что взаимодействие частиц слабое. Его роль сводится к созданию статистической ситуации в системе (случайному разбросу частиц поэнергетическим уровням).

Энергией же взаимодействия при записи этого уравнения можно в таком случае пренебречь.Пусть N ≫ 1. Введём понятие термодинамической вероятности W , равной числу способов распределения атомов поN2возможным энергетическим состояниям. Подсчитав число сочетаний CN, отвечающее разным комбинациям чисел N1 и1N2 (где N1 +N2 = N ), можно найти термодинамическую вероятность W каждого состояния, а затем, с помощью формулыБольцмана-Планка, энтропию системы в каждом состоянии:N2S = k ln W = k ln CN,(4)N2где k = 1, 38 · 10−23 Дж/К – постоянная Больцмана; CN– число сочетаний из N по N2 ; N2 = 0, 1, 2, ....Таким образом, двухуровневая система позволяет строго рассчитать энтропию для разных микросостояний и исследовать зависимость E от S, которая определяет температуру системы.

Воспользовавшись определением энтропии, покажем,что:T =∂E=∂SE2 − E1 N2k lnN1(5)В самом деле, перепишем (3) в виде:E = N1 E1 + (N − N1 )E2 = N E2 − N1 (E2 − E1 ) = N E2 − N1 △E(6)N!N!=, тогда выражение для энтропии примет вид:N2 !(N − N2 )!(N − N1 )!N1 !N2S = k ln W = k ln CN= k ln N ! − ln N1 ! − ln(N − N1 )!(7)N2Теперь, согласно определению CN=1Учитывая, что число частиц N велико, воспользуемся формулой Стирлинга для приближённого вычисления факторила N ! при N ∼ ∞, т.еN! ≈NeN√2πN1Тогда ln N ! = N ln N − N + (ln N + ln 2π). Далее, из уравнения (7), получим, что:2∂EdE/dN1T ==∂S VdS/dN1 V(8)(9)Вычислим производные стоящие в числителе и знаменателе последнего выражения.

Аналогично из (3) и (7) получим,что:dE= −△EdN1dSdd= −kln N1 ! +ln(N − N1 )!dN1dN1dN1Учитывая формулу Стирлинга, получим:dd111ln N1 ! =N1 ln N1 − N1 + (ln N1 + ln 2π) = ln N1 + 1 − 1 +=+ ln N1 ≈ ln N1 ,dN1dN122N12N1(10)(11)(12)так как при N1 > 10 первым слагаемым в последнем выражении можно пренебречь.ddN1ln(N − N1 )! =1d1=(N − N1 ) ln(N − N1 ) − (N − N1 ) + (ln(N − N1 ) + ln 2π) = − ln(N − N1 ) + 1 − 1 −dN122(N − N1 )1− ln(N − N1 ) ≈ − ln N2(13)2(N − N1 ) dS1k1N1Значит,= k[ln(N − N1 ) − ln N1 ] −−≈ −k ln. Подставляя это выражение в (9), приходимdN12 N − N1N1N2к (5). Что и требовалось доказать. Из выражения (5) следует, что:=−E2 − E1kT ,N2 = N1 · e−(14)т.е. частицы распределяются по энергетическимуровням в соответствии с принципом Больцмана, а выражение (14)∂Eможно рассматривать, наряду с T =, также в качестве непротиворечивого статистического определения темпе∂S Vратуры двухуровневой системы.Рис.

1. Схема для пояснения отрицательной температуры: если на верхнем уровне оказывается больше частиц, чем нанижнем, температура получается отрицательной.2.) Зададимся теперь вопросом: что произойдет, если две двухуровневые одинаковые системы с T1 < 0 и T2 > 0 привести в тепловой контакт? В качестве примера рассмотрим подсистему электронов в оптических квантовых генераторах(лазерах). Типичное расположение рабочих уровней энергии лазера показано на Рис.2.Под действием потока внешнего излучения обеспечиваются переходы 1, 2 электронов с основного уровня А на метастабильный уровень С .

В результате на уровне С создается инверсная заселенность (отрицательная температура вэлектронной подсистеме). Лазерное излучение возникает при переходе 3 в основное состояние. Необходимо всегда иметь2Рис. 2. Типичная схема образования инверсной заселенности в лазерах.в виду, что отрицательные температуры наблюдаются лишь в отдельных подсистемах объекта (тела), находящегося внеравновесных условиях, и не характеризуют свойства всего объекта, рассматриваемого как единое целое.При тепловом контакте двух таких систем (см.

Рис.2) с разным знаком температуры система с положительной температурой начинает нагреваться, с отрицательной – охлаждаться (считаем, что всё излучение поглощается). Чтобы температуры стали равными, одна из систем должна пройти через бесконечную температуру (см. Рис.3.б). В частном случаеравновесная температура объединённой системы останется бесконечной. В нашем случае такой ситуации соответствуетслучай равенства числа частиц на верхнем и нижнем уровнях ln(N2 /N1 ) = ln 1 = 0 в выражении (5).Рис. 3. а) – зависимость энергии от температуры; б) – зависимость температуры от числа частиц на основном уровне (кпонятию отрицательной температуры).Стоит отметить, что абсолютная температура +∞ и −∞ – это одна и та же температура (соответствующая равномерному распределению), однако различаются температуры T = +0 и T = −0. Так, квантовая система с конечным числомуровней будет сосредоточена на самом нижнем уровне при T = +0, и на самом верхнем – при T = −0, то проходяряд равновесных состояний, система может попасть в область температуры с другим знаком только через бесконечнуютемпературу.3.) Вычислим теперь температурную зависимость теплоемкости газа C(T ), описываемого двухуровневой системой.Согласно определению теплоёмкости:C=dE,dT(15)где E = N1 E1 + N2 E2 .

Представим это выражение в виде: N1N2N1E=NE1 +E2 = −△EN+ N E2NNN(16)Здесь мы положили N2 = N − N1 , а E2 − E1 = △E. Соответствующее отношение N1 /N найдём из выражения (14):N11=−△E/kTN1+e(17)откудаdEdC== −△EN ·dTdT11 + e−△E/kT3=△E 2 Ne−△E/kT·kT 2(1 + e−△E/kT )2(18)На Рис.4 изображён схематический график зависимости теплоёмкости газа, описываемого двухуровневой системой, оттемпературы.Рис. 4.4.) Рассмотрим теперь ситуацию, когда верхний уровень сильно вырожден.

Согласно определению числом вырожденияg называется число возможных состояний системы с заданной энергией. В соответствии с этим уравнение для числа частицпримет вид:−N2= N1 · egE2 − E1kT⇒N11=,N1 + g · e−△E/kT(19)а теплоёмкостьC=g△E 2 Ne−△E/kT·2kT(1 + g · e−△E/kT )2(20)Отметим максимум на графике теплоемкости (см. Рис.4). Этот эффект используют при изучении распределенияуровней энергии твердого тела. Такой эффект называется аномалией Шоттки. Найдём характерную температуру T ∗√пика в этом случае (с учётом ln g ≫ 1). Для этого представим выражение (20) в виде (положив при этом g = eα ):C=1△E 2 N△E 2 N· △E/2kT −α·=2−△E/2kT+α2kTkT 2(e+e)ch21△E−α2kTПродифференцируем это выражение по переменной T , а затем приравняем производную к нулю.△Esh−αd △E 2 N△E 3 N△E 2 N112kT = 0,=−···2T 43△E△E△EdT kT 2k2kTch2−αch3−αch2−α2kT2kT2kT△E· th2kT△E−α2kT(21)или(22)=1(23)Проанализируем полученное выражение.

Пусть x = △E/(2kT ). Рассмотрим теперь графики функций th x и 1/x (см.Рис.5). Так как α > 0, то, в полученном нами уравнении (23), разность x − α приводит к сдвигу функции th x в правопо оси X. Поскольку α ≫ 1, то с учётом графиков функций, можно сказать, что в их точке пересечения 1/x ≈ 0, аследовательно, и th(x − α) ≈ 0, откуда находим, что:△Ek ln gT∗ ≈(24)Далее, как мы уже сказали, из условия th(x − α) ≈ 0 следует, что (x − α) ≈ 0, а следовательно, и ch(x − α) ≈ 1, поэтому:△E 2 N(25)kT ∗ 2Найдём теперь ширину пика на Рис.4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов курсовой работы