STATFIZ (1183369), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Здесь можно поступить следующим образом. Проинтегрируем выражение (20)по переменной T от 0 до ∞, в итоге получим (с учётом выражения (11)):Cmax ≈4Рис. 5.∞C(T )dT = E(∞) − E(0) = △EN(26)0Левую часть этого выражения можно представить в виде:∞C(T )dT ≃ Cmax △T,(27)0где △T – характерная ширина пика. Сравнивая полученные выражения, окончательно найдём:△T =△Ek ln g(28)5.) Вернёмся к энтропии. Покажем, что при T = 0 и S = 0. Если подходить статистически, то при T = 0 число частиц0= 1, следовательно и S = 0.на верхнем уровне равно нулю, а число сочетаний CNЗадача №2 (Осцилляторы). Определить энтропию S и температуру T газа N невзаимодействующих осцилляторов(разность энергий уровней h̄ω) с энергией E.
Обсудить отличие температурного поведения теплоемкости системы C(T )от предыдущей задачи. Сравнить низкотемпературное (T ≪ h̄ω) поведение C(T ) с предыдущей задачей.Решение:1) Рассмотрим систему с бесконечным количеством состояний, нумеруемых дискретным индексом n = 0, 1, 2, ... причемn-e состояние имеет энергию En = nh̄ω. Это квантовый гармонический осциллятор. Выбираем начало отсчета энергиитак, чтобы низшее по энергии состояние имело нулевую энергию (т.е.
не включаем нулевые колебания). В этом случаестатистическая сумма равна:Zквант (ω) =∞e−nh̄ω/kT =n=011−e−h̄ω/kT(29)Далее, как известно, энергия одномерного осциллятора выражается через импульс p и координату q:p2mω 2 q 2+(30)2m2В классической статистике равновесное распределение частиц (в данном случае осцилляторов) по энергиям определяется формулой Больцмана:E=W (E) = A · e−E/kTПоэтому средняя энергия одного осциллятора равна:5(31) A⟨E⟩ =E(p, q) exp(−E(p, q)/kT )dpdq Aexp(−E(p, q)/kT )dpdq(32)Согласно гипотезе Планка, чтобы найти среднюю энергию одномерного квантового осциллятора, нужно интегралы в(32) заменить суммами:∞n exp(−En /kT )⟨E⟩ = n=0(33)∞n=0 exp(−En /kT )Делитель данного выражения есть не что иное, как сумма бесконечной геометрической прогрессии:1 + e−x + e−2x + e−3x + ...
+ e−nx + ... =1,1 − e−x(34)где x = En /kT . Если теперь продифференцировать эту сумму, то мы получим:−e−x − 2e−2x − 3e−3x + ... − ne−nx + ... =∞ne−nx =n=0e−x(1 − e−x )2(35)Поделив одно выражение на другое, находим среднюю энергию одного квантового осциллятора:E=h̄ωeh̄ω/kT − 1(36)2) Теперь, как известно, атомы, образующие кристаллическую решетку твердого тела, совершают колебания вблизиположения равновесия подобно шарикам, которые связаны пружинками.
Такие колебания определяют тепловые свойства твердых тел. Эйнштейн в 1907 году предложил простую модель, предположив, что все атомы решетки независимоколеблются с одинаковой частотой ω. Пусть решетка состоит из N атомов. Поскольку каждый атом может колебатьсяв трех направлениях, модель эквивалентна набору 3N одинаковых и независимых гармонических осцилляторов. Сразупредполагая, что осцилляторы квантовые, находим статсумму:Z=3N1(37)1 − e−h̄ω/kTПолная энергия такой системы (сумма энергий всех осцилляторов) равна:E = 3N · E = 3N ·h̄ωeh̄ω/kT−1(38)и теплоемкость при постоянном объеме:C=3N h̄2 ω 2eh̄ω/kTdE=·dTT2(eh̄ω/kT − 1)2(39)При высоких температурах C = 3N , что согласуется с опытом (закон Дюлонга и Пти).
Этот результат получается,если считать осцилляторы классическими. При T −→ 0 полученная теплоемкость стремится к 0 как T −2 e−h̄ω/kT , в товремя как на опыте наблюдается зависимость T 3 . Таким образом, модель Эйнштейна качественно объясняет обращениетеплоемкости в ноль при T −→ 0 (что было невозможно в рамках классической теории), но количественно не согласуетсяс экспериментальными данными. Модель Эйнштейна была улучшена Дебаем (1912). В теории Дебая не предполагается,что частоты всех осцилляторов одинаковы.3) Сравнивая полученные результаты для теплоёмкости в задачах №1–2, видим, что в случае двухуровнего газатеплоёмкость (при низкой температуре) падает, как ∼ T −2 ·e−2△E/kT , а в случае модели осцилляторов, как ∼ T −2 ·e−h̄ω/kT .4) Определим теперь функцию энтропии. Для этого можно воспользоваться известным выражением для свободнойэнергии:F = −3N kT ln Z = (3N )2 kT ln(1 − e−h̄ω/kT ),где N – число осцилляторов.
Далее, согласно определению:dFh̄ω1S=−= (3N )2 ln(1 − e−h̄ω/kT ) +·dTkT 1 − e−h̄ω/kT6(40)(41)Задача №3 (Парамагнитный газ). Газ атомов с моментом J, спином S и орбитальным моментом L помещен в слабоемагнитное поле B, температура и расщепление в магнитном поле малы по сравнению с интервалом тонкой структуры.Найти свободную энергию, вычислить χ и исследовать случаи расщепления в магнитном поле ≫ kT и расщепления вмагнитном поле ≪ kT .Рис. 6.Решение:1) Рассмотрим газ, состоящий из молекул, имеющих постоянный магнитный момент µ⃗ и находящийся в однородном⃗ Потенциальная энергия такой молекулы определяется из выражения:постоянном магнитном поле с напряжённостью B.⃗ = −µB cos θ,U (θ) = −(⃗µ · B)(42)⃗ Из квант-меха помним, что µ⃗ где µБгде θ – угол между направлениями магнитного момента µ⃗ и поля B.⃗ = µБ · gS · J,– магнетон Бора, gS – фактор Ланде, равный:gS = 1 +J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1),2J(J + 1)(43)а J⃗ – вектор полного момента молекулы, L – значение орбитального момента атома, S – значение спинового моментаатома.
Пусть J = 1/2 для всех молекул, тогда µz = ±µБ , а потенциальная энергия молекул может принимать значения±µБ B. Найдём теперь статистическую сумму для такой системы. Учитывая, что мы по сути имеем двухуровневую системус барьером △E = µБ B, то статистическая сумма будет равна:µБ BZ=e±µБ B/kT = e−µБ B/kT + eµБ B/kT = 2 · ch,(44)kT±а полная энергия такой системы (энергия всех молекул):E=N= E1 + E2 + ...,гдеEi =| ±µБ B |(45)i=1Теперь, согласно определению, свободная энергия одной молекулы f определяется выражением:µБ BFf== −kT · ln Z = −kT · ln 2 · chNkT(46)2) Найдём теперь магнитную восприимчивость молекул χ. Рассмотрим полный дифференциал свободной энергии:dF = −SdT − P dV − M dB,(47)∂F∂fгде M = −– коэффициент намагниченности данной системы молекул.
С другой стороны m · N = M = −, где∂B∂Bm – коэффициент намагниченности одной молекулы. Таким образом:∂f(48)∂BНаконец, согласно определению, коэффициентом магнитной восприимчивости одной молекулы называется коэффициент пропорциональности χ, равный:m=−χ=∂m,∂Bили7χ=−∂2f∂2B(49)ПустьµБ B= x, тогдаkTm=−µБ ∂f∂(f /kT )∂(ln(2 · ch x))∂f=−·= −µБ ·= µБ ·= µБ · th x∂BkT ∂x∂x∂x(50)Отсюда находим:χ=∂(µБ th x)µ2 ∂(th x)µ21= Б ·= Б · 2∂BkT∂xkT ch x(51)На Рис.7 показан график этой зависимости от x. Видно, что при B = 0, магнитная восприимчивость газа становитсяµ2равной χ = Б .kTРис.
7.3) Рассмотрим теперь расщепление в магнитном поле в зависимости от температуры газа. Из Рис.7 видно, что приkT ≪ µБ B (низкие температуры), магнитная восприимчивость обратно пропорциональна температуре (закон Кюри),а в случае kT ≫ µБ B (высокие температуры), падает экспоненциально. Поэтому, в первом случае (анализируя спектризлучения такой системы), мы увидим множество эквидистантных уровней, отделенных друг от друга по энергии навеличину µБ B. Во-втором случае, этих уровней мы почти не увидим, в силу теплового размытия линий.Задача №4 (Адиабатическое размагничивание).
Вычислить величину магнитокалорического эффекта (∂T /∂H)Sдля парамагнетика с магнитной восприимчивостью χ = A/T и теплоемкостью CH = BT 3 . Каков знак эффекта? Предсказать величину охлаждения △T парамагнетика при адиабатическом размагничивании от H0 до нуля при T −→ 0. Оценитьпредельную температуру, до которой можно охладить электронные, ядерные спины.Решение:1) Магнитокалорический эффект (МКЭ) — это эффект, присущий всем магнетикам, который заключается в изменениитеплового состояния вещества при изменении степени его магнитного упорядочения, вызванного приложением внешнегомагнитного поля.
В зависимости от условий, в которых находится магнетик, «изменение теплового состояния проявляетсякак изменение температуры и как изменение магнитной части энтропии, и, соответственно, характеризуется двумя величинами – адиабатическим изменением температуры △T (H, T ) и изотермическим изменением магнитной части энтропии△SM (H, T ). «В простейшем случае твердого тела структурную часть энтропии Sстр , характеризующую тепловое состояние решетки и движение ее атомов, можно связать с решеткой, а с магнитной подсистемой – магнитную часть энтропииSM , характеризующую степень упорядоченности магнитной подсистемы. Полная энтропия S материала представляетсобой сумму структурного и магнитного вкладов в энтропию, т.е.
S = Sстр + SM (здесь для простоты пренебрегаетсявкладом в энтропию коллективизированных электронов). Если процесс происходит в адиабатических условиях, когда материал не получает и не отдает теплоту, и изменение его полной энтропии равно нулю (△S = 0), то изменение магнитнойчасти энтропии должно вызвать соответствующее изменение структурной части энтропии, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
