STATFIZ (1183369), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Далее, для нахождения интересующих нас параметров, воспользуемся выражениемдля Ω потенциала, т.е.Ω = −kT ln(Z),(99)где Z – статистическая сумма (для всего газа). Пусть у нас есть некоторое количество частиц N . Из них k частицнаходятся в k-ом состоянии с энергией nk Ek . Тогда статистическая сумма Z0 для одной k-ой частицы будет равна:(µ−Ek )/kTΩ0 =e,(100)kа для набора k частиц, соответственно,Z=e(µ−Ek )/kTnk(101)kздесь µ – термодинамическая величина, называемая химическим потенциалом. Подставляя это выражение в выражения для свободной энергии, получим: nk(µ−Ek )/kTΩk = −kT lne,(102)nkгде nk – число частиц в k-ом состоянии, а их энергия nk Ek . Теперь, согласно принципу Паули числа заполнения каждогосостояния могут принимать лишь значения 0 или 1.
В соответствии с этим, получаем:Ωk = −kT ln 1 + e(µ−Ek )/kT(103)Кстати говоря, поскольку среднее число частиц в системе равно производной потенциала F по химическому потенциалуµ, взятой с обратным знаком, то в данном случае искомое среднее число частиц в k-ом квантовом состоянии получитсякак производная:⟨nk ⟩ = −e(µ−Ek )/kT∂Fk=∂µ1 + e(µ−Ek )/kT(104)или окончательно:1e(Ek −µ)/kT + 1⟨nk ⟩ =(105)Таким образом мы получили распределение Ферми.
Оно нормировано условием:1ke(Ek −µ)/kT+1= N,(106)где N – полное число частиц в газе. Это равенство определяет в неявном виде химический потенциал как функцию Tи N . Термодинамический потенциал F газа в целом получается суммированием Fk по всем квантовым состояниям: Ω = −kTln 1 + e(µ−Ek )(107)kБозе газ2) В этом случае учтём, что числа заполнения квантовых состояний при симметричных волновых функциях ничем неограничены и могут иметь произвольные значения. Аналогично предыдущему пункту запишем:Ωk = −kT ln∞ e(µ−Ek )/kTnk(108)nk =0Стоящая здесь геометрическая прогрессия сходится, только если e(µ−Ek )/kT < 0. Так как это условие должно иметьместо для всех Ek (в том числе и для Ek = 0), ясно, что во всяком случае должно быть:µ<017(109)Напомним в этой связи, что для больцмановского газа химический потенциал всегда имеет отрицательные (большие поабсолютной величине) значения, а для ферми-газа µ может быть как отрицательным, так и положительным.
Суммируягеометрическую прогрессию, получим:Ωk = −kT ln 1 − e(µ−Ek )/kT(110)Отсюда находим средние числа заполнения ⟨nk ⟩ = −⟨nk ⟩ =∂Fk:∂µ1e(Ek −µ)/kT − 1(111)Это и есть функция распределения идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе (или, как говорят для краткости,бозе-газа). Она отличается от функции распределения Ферми знаком перед 1 в знаменателе. Как и последняя, при exp[(µ−Ek )/kТ ] ≪ 1 она переходит, естественно, в функцию распределения Больцмана.
Полное число частиц в газе выражаетсяформулой:N=k1e(Ek −µ)/kT − 1(112)а термодинамический потенциал F газа в целом получается суммированием Fk по всем квантовым состояниям: Ω = −kTln 1 − e(µ−Ek )/kT(113)kНахождение Ω потенциала для обоих газов3) Рассмотрим теперь газ элементарных частиц. Поскольку все выводимые соотношения имеют совершенно аналогичный вид для обеих статистик Ферми и Бозе, отличаясь лишь одним знаком, то положим, что верхний знак "+" соответствует статистике Ферми, а нижний "−" – статистике Бозе.
Энергия элементарной частицы сводится к кинетическийэнергии её поступательного движения, соответственно:1 2(p + p2y + p2z ),(114)2m xа в функции распределения переходим обычным образом к распределению по фазовому пространству частицы. Приэтом надо иметь в виду, что при данном значении импульса состояние частицы определяется также направлением еёспина. Поэтому число частиц в элементе фазового пространства dpx dpy dpz dV будет равно:E=dN = gτ ·1,(115)dpx dpy dpz dV,(2πh̄)3(116)e(E−µ)/kT±1гдеgdτ = g ·а g = 2s + 1, и s – спин частицы.
Интегрируя (115) по dV (что сводится к замене dV на полный объём V газа), получимраспределение по компонентам импульса частиц, а переходя к сферическим координатам в пространстве импульсов иинтегрируя по углам, найдём распределение по абсолютно величине импульса:gV p2 dp1,3 · (E−µ)/kT2e±12π h̄(117)√gV m3/2EdEdNE = √· (E−µ)/kT32±12π h̄ e(118)dNp =(где E = p2 /2m), или распределение по энергии:Если это выражение теперь проинтегрировать по dE, получим полное число частиц в газе:√gV m3/2 ∞EdEN= √3(E−µ)/kT2±12π h̄ 0 eВведём теперь новую переменную интегрирования E/kT = z, перепишем это равенство в виде:18(119)Ng(T m)3/2= √V2π 2 h̄3∞0√zdze(z−µ/kT ) ± 1(120)Эта формула определяет в неявном виде химический потенциал газа µ как функцию от температуры T и плотностиN/V . Совершая такой же переход от суммирования к интегрированию в формулах (115) и (107), а также учтя выражение:N1 ∂Ω=−(121)VV ∂µ T,Vполучим следующее выражение для потенциала F :V gT m3/2Ω=∓ √2π 2 h̄3∞√(µ−E)/kTE ln 1 ± edE(122)0Интегрируя по частям, находим:2 gV m3/2Ω=− · √32π 2 h̄30∞E 3/2 dE(123)e(E−µ)/kT ± 1Случай вырожденного электронного газа (при µ/kT ≫ 1)4) Займёмся вычислением интеграла вида:∞Y =0f (E)dE,e(E−µ)/kT + 1(124)где f (E) – некоторая функция (такая, что интеграл сходится).
В нашем случае f (E) = E 3/2 . Преобразуем этот интеграл,сделав подстановку E − µ = kT z. Получим:∞Y =−µ/kTf (µ + kT z)kT dz = kTez + 1µ/kT0f (µ − kT z)dz+ kTe−z + 10∞f (µ + kT z)dzez + 111=1− zи находим:e−z + 1e +1 µ µ/kT ∞f (µ − kT z)dzf (µ + kT z)dzY =f (E)dE − kT+kTze +1ez + 1000(125)В первом интеграле запишем(126)Во втором интеграле заменяем верхний предел бесконечностью, имея в виду, что µ/kT ≫ 1, а интеграл быстро сходится.Таким образом, получим: µ ∞f (µ + kT z) − f (µ − kT z)dz(127)Y =f (E)dE + kTez + 100Разлагаем теперь числитель подинтегрального выражения во втором интеграле в ряд Тейлора по степеням z и интегрируем почленно: µ ∞ ∞ 3zdz1 4 ′′′z dzY =f (E)dE + 2kT 2 f ′ (µ)+kTf(µ)+ ...(128)z +1z +1e3e000 ∞ ∞ 2n−1z22n−1 − 1 2ndz=ln2,иdz=π Bn .Интегралы в этом выражении равны соответственно: I1 =ez + 1ez + 12n00Подставляя значения интегралов, имеем окончательно: µπ2 2 ′7kπ 4 4 ′′′f (E)dE +Y =kT f (µ) +T f (µ) + ...(129)63600Нахождение теплоёмкости вырожденного электронного газа196) Третий член разложения в выражении (129) нам не понадобится.
Полагая f = E 3/2 , находим Ω:√3/22 2µm(130)Ω = Ω0 − V T6h̄3здесь Ω0 потенциал Ω при абсолютном нуле температуры. Далее, т.к. мы рассматриваем область низких температур(µ/kT ≫ 1), то воспользуемся теоремой о малых добавках: δΩ= δF(131)T,V,NT,V,NВ соответствии с этим получим:√2µm3/2(132)6h̄3Упростим немного это выражение, а именно будем считать, что при таких температурах µ ∼ EF . Выразим эту величинучерез N и V . В этом случае: pFV p2FVp2 dp =,(133)N= 2 2π h̄ 03π 2 h̄3откуда для граничного импульса имеем:F = F0 − V T 2pF = (3π 2 )1/3NV1/3h̄,(134)а для граничной энергии:2/32 p2FN2 2/3 h̄EF == (3π )2m2m V(135)Выражая теперь в (132) величину µ через T и V с помощью нулевого приближения µ(T = 0) = EF , получим:F = F0 −где мы ввели для краткости β = 2/3βVNT2,2N 2/3mπ. Отсюда находим энтропию газа:3h̄2 2/3VS = βN T,N(136)(137)и его теплоёмкость:C = βN TVN2/3(138)Стоит однако отметить, что мы рассматриваем сильно вырожденный газ, когда kT ≪ EF .Нахождение теплоёмкости вырожденного Бозе-газа7) При низких температурах свойства бозе-газа не имеют ничего общего со свойствами ферми-газа.
Это заранееочевидно из того, что у бозе-газа состоянием с наименьшей энергией, в котором газ находится при T = 0, должно бытьсостояние с E = 0 (все частицы в квантовом состоянии с E = 0), между тем как ферми-газ при абсолютном нуле обладаетотличной от нуля энергией (принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной фермичастице с полуцелым спином).Если при заданной плотности N/V газа понижать его температуру, то химический потенциал µ, определяемый уравнением (127) (с нижним знаком), будет увеличиваться, т.е., будучи отрицательным, уменьшаться по абсолютной величине.Он достигнет значения µ = 0 при температуре, определяемой равенством:√Ng(mT )3/2 ∞ zdz√=(139)V2π 2 h̄3 0 ez − 1Входящий сюда интеграл выражается через ξ-функцию; обозначая искомую температуру посредством T0 , получим:20T0 = 3, 31 2/3h̄2N2/3g m V(140)При Т < Т0 уравнение (127) не имеет отрицательных решений, между тем как в статистике Бозе химический потенциалдолжен быть отрицательным при всех температурах.
Это кажущееся противоречие связано с тем, что в данных условияхне законен переход от суммирования (в формуле (112)) к√интегрированию (в формуле (127)). Действительно, при этомпереходе первый член суммы (с Ek = 0) умножается на E = 0, т.е. выпадает из суммы. Между тем при понижениитемпературы частицы должны скапливаться именно в этом состоянии с наименьшей энергией, пока при Т = 0 туда непопадут все они. В действительности при Т < Т0 дело будет обстоять следующим образом. Частицы с энергией E > 0распределены по формуле (118) с µ = 0:√EdEgm3/2 V· E/kT(141)dNE = √32−12π h̄ eПолное число частиц с энергиями E > 0 будет, следовательно,NE>0 =dNE =g(T m)3/2 V√2π 2 h̄3∞0√ 3/2zdzT=Nez − 1T0(142)Остальные:NE=0 3/2 T=N 1−T0(143)частиц находятся в низшем состоянии, т.е.
имеют энергию E = 0. Энергия газа частиц при T < T0 определяется толькотеми частицами, которые имеют E > 0. Воспользовавшись формулой для энергии газа:E=0∞gV m3/2EdNE = √2π 2 h̄3gV (mT )3/2 T√2π 2 h̄3∞E 3/2 dEe(E−µ)/kT − 10,(144)и полагая в ней, что µ = 0, имеем:E=0∞z 3/2 dzez − 1(145)Этот интеграл приводится к ξ(5/2) и получается:TE = 0, 770N TT03/2= 0, 128gm3/2 T 5/2 Vh̄3(146)Отсюда теплоёмкость:CV =5E∼ T 3/22T(147)Задача №9 (Комикс теплоемкостей).
Сравнить низкотемпературное поведение теплоемкостей идеальных бозе- иферми-газов, черного излучения и твердого тела, парамагнетика и ферромагнетика, неидеального бозе-газа и, наконец,сверхпроводника.Решение:Задача №10 (Парамагнетизм Паули). Найти спиновую магнитную восприимчивость вырожденного электронногогаза при µБ B ≪ EF . Найти поправку к этой формуле для низких температур kT ≪ EF .Решение:1) Намагниченность электронного газа в слабых магнитных полях складывается из двух независимых частей: изпарамагнитной намагниченности, связанной с собственным (спиновым) магнитным моментом электронов (парамагнетизмПаули, W. Pauli, 1927) и из диамагнитной намагниченности, связанной с квантованием орбитального движения электроновв магнитном поле (диамагнетизм Ландау, 1930).
Вычислим соответствующие магнитные восприимчивости, предполагаягаз вырожденным:kT ≪ EF21(148)Условие слабости магнитного поля означает, что должно быть (см. Замечание) βB ≪ kT , где β =| e | h̄/2mc – магнетонБора). Для вырожденного газа термодинамические вычисления удобнее производить в независимых переменных Т , V, µ(вместо переменных T, V, N ). Соответственно этому получим:∂Ω(149)M =−∂B T,V,µОпределим сначала парамагнитную часть восприимчивости. Дополнительная (спиновая) энергия электрона в магнитном поле равна ±βB, где два знака отвечают двум значениям (±1/2) проекции спина на направление поля.
Статистическое распределение электронов в магнитном поле отличается, следовательно, от распределения в отсутствие полязаменой энергии E = р 2 /2т на E = р 2 /2т ± βB. Но поскольку E входит в распределение в комбинации E − µ с химическимпотенциалом, то эта замена эквивалентна замене µ на µ ∓ βH. Поэтому потенциал Ω электронного газа в магнитном полеможет быть представлен в виде:11Ω0 (µ + βB) + Ω0 (µ − βB),(150)22где Ω0 (µ) – потенциал в отсутствие поля (аргументы T, V для краткости не выписываем); два члена в этой суммеотвечают совокупностям электронов с различными проекциями спина, а множители 1/2 учитывают уменьшение вдвоечисла квантовых состояний электрона при фиксировании значения проекции его спина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
