Ипатова В.М. Методические указания по решению задач (1179584), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

На чертеже необходимо изобразить особоерешение и показать, каким образом его графика касаются графики других решенийуравнения.Примеры решения задач, предлагавшихся на письменном экзаменеЗадача 41-7. Решить уравнение, найти особые решения и нарисовать интегральные кривые43  y'   4 ( y' )3  y  x   0 .Решение. I. Решим уравнение.

Выразим y из исходного уравненияy   x   y'  33 y' 4 .4dy dy  p dx , уравнение принимает видdx3y   x  p3  p 4 .4Возьмем полный дифференциал от обеих частей (6) и заменим dy  p dxВведем параметр p  y (6)pdx  dx  3 p 2dp  3 p3dp , откуда ( p  1)dx  3 p 2 (1  p)dp или ( p  1) dx  3 p 2dp  0 .Возможны два случая:1) p  1  0, p  1 , подставим это значение p в (6):331y   x  (1)3  (1)4   x  1  , т.е. y   x  .4442) dx  3 p2dp  0, x  p3  C, p  (C  x)1/3 , подставим это значение p в (6):333 C  x 4/3  C   C  x 4/3 , т.е.

y  C   C  x 4/3 .444Здесь мы переобозначили за C произвольную постоянную C .II. Найдем дискриминантную кривую. Запишем систему433 p  4  p  y  x   0,32212 p  12 p  0,  p ( p  1)  0, p  0 или p  1.y   x  C  x  39Подставляя найденные значения p в первое уравнение системы, имеемp  0, y  x  0, y   x не является решением уравнения;p  1, 3  4  1  y  x   0, yo   x  1/ 4 может быть особым решением.Таким образом, мы установили, что дискриминантная кривая представляет собойобъединение прямых y   x и y   x  1/ 4 . Только yo   x  1/ 4 может быть особымрешением.

Никаких других особых решений уравнение иметь не может, так как каждоеособое решение обязано лежать на дискриминантной кривой.III. Проверка касания (доказательство того, что решение является особым). Запишем условиякасания134/3 x  4  C  4  C  x  ,1    C  x 1/3 , C  x  1, C  1  x.Поставим значение C  1  x в первое уравнение системы:13134/3 x   1  x  1  x  x  , т.е.  x   1  x  – верно при любом x  .4444Таким образом, yo   x  1/ 4 – особое решение, в каждой точке x0 графика yo касается3 C  x 4/3 при C  1  x0 .4IV. Нарисуем интегральные кривые уравнения.

График особого решения yo   x  1/ 4 мыграфик решения y  C можемпровести точно. Графики решений34/3y ( x)  C   C  x можем изобразить лишь4приблизительно, приняв во внимание качественныехарактеристики:y( x) имеет максимум y  C при x  C (вершинапараболы);график симметричен относительно вертикальнойпрямой x  C ;график касается прямой y   x  1/ 4 при x  1  C ;при больших значениях x  функцияy ( x)убывает быстрее, чем линейная.Задача 42-7. Решить уравнение, найти особые решения и нарисовать интегральные кривые2 y'  2ln y'  y  x  0 .Решение. I. Решим уравнение.

Выразим y из исходного уравненияy  x  2ln y'  2 y' .Введем параметр p  y dy dy  p dx , тогда уравнение принимает видdxy  x  2ln p  2 p .(7)Возьмем полный дифференциал от обеих частей (7) и заменим dy  p dx402 dp2 2dp , откуда ( p  1)dx   ( p  1)dp или ( p  1)  dx  dp   0 .p ppВозможны два случая:1) p  1  0, p  1 , подставим это значение p в (7):pdx  dx  2y  x  2.2)dx 2Cxdp  0, x  2ln p  C , ln p , p  e(C  x )/2 .

Здесь мы учли, что по условиюp2p  0 . Подставим найденное значение p в (7):y  x  2ln e(C  x)/2  2e(C  x)/2  x  C  x  2e(C  x)/2 , т.е. y  C  2e(C  x)/2 .II. Найдем дискриминантную кривую. Запишем систему2 p  2 ln p  y  x  0,2 p  1.2  p  0,Подставляя значение p  1 в первое уравнение системы, имеем2  y  x  0, yo  x  2 может быть особым решением, так как является решением уравнения.Дискриминантная кривая представляет собой прямую y  x  2 . Других особых решенийуравнение иметь не может, так как каждое особое решение должно лежать надискриминантной кривой.III. Проверка касания.(C  x )/2, x  2  C  2e(C  x )/2, C  x  0, C  x.1  eПоставим значение C  x в первое уравнение системы:x  2  x  2e( x x)/2 , т.е. x  2  x  2 – верное тождество при любом x  .Таким образом, yo  x  2 – особое решение, в каждой точке x0 графика yo касается графикрешения y  C  2e(C  x)/2 при C  x0 .IV.

Нарисуем интегральные кривые уравнения. График особого решения yo  x  2 мыможемпостроитьточно.Графикирешений(C  x )/2y( x)  C  2eможемизобразитьлишьприблизительно, приняв во внимание качественныехарактеристики:y( x) возрастает, y(C )  C  2 , y( x)  C при x   ;график касается прямой y  x  2 при x  C ;график y ( x) лежит ниже прямой y  x  2 , посколькуe x  1  x при x  0 , следовательно, Cxy ( x)  C  2 1   x  2 при x  C ;2 y( x)   при x   .418. Уравнения в частных производных первого порядкаРассмотрим линейное однородное уравнение в частных производных первого порядкаuuuf1 ( x, y, z )  f 2 ( x, y, z )  f3 ( x, y, z ) 0,xyzгде f1, f 2 , f3причем– заданные непрерывно дифференцируемые в области G 3(1)функции,k 1| fk ( x, y, z) |  0 в каждой точке G .3Характеристической системой уравнения (1) называется система обыкновенныхдифференциальных уравненийdxdydz(2) f1 ( x, y, z ), f 2 ( x, y, z ), f3 ( x, y, z ),dtdtdtв которой t играет роль независимой переменной.Непрерывно дифференцируемая функция u( x, y, z ) называется первым интегралом системы(2), если она остается постоянной вдоль каждого решения (2).

Если есть несколько первыхинтегралов u1 ( x, y, z ), , um ( x, y, z ) , то любая их непрерывно дифференцируемая функцияu  F  u1 ( x, y, z ),, um ( x, y, z )  также будет первым интегралом (2). Поэтому приняторазличать независимые первые интегралы. Известно, что система (2) имеет в окрестностикаждой точки области G ровно два независимых первых интеграла.Функция u( x, y, z ) является решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда она являетсяпервым интегралом характеристической системы (2).По условию функции f1, f 2 , f3 не могут одновременно обращаться в нуль ни в одной точкеобласти G .

Пусть f3  0 , тогда в окрестности данной точки мы можем поделить первые двауравнения системы (2) на третье уравнение и записать её в видеdx f1 ( x, y, z )dy f 2 ( x, y, z ),,dz f3 ( x, y, z )dz f3 ( x, y, z )исключив из системы переменную t и взяв z за новую независимую переменную.Обычно характеристическую систему уравнения (1) записывают в симметрической формеdxdydz.(3)f1 ( x, y, z ) f 2 ( x, y, z ) f3 ( x, y, z )В этой записи из системы исключается t , но не конкретизируется, какая из переменныхx, y, z берётся за независимую переменную, поэтому в уравнения входят не производные, адифференциалы. Такая запись компактна и облегчает поиск первых интегралов. Вместе стем, она является формальной.

При выписывании системы (3) мы не принимаем во вниманиетот факт, что в некоторых точках области знаменатели дробей, входящих в (3), могутобращаться в нуль.Определение. Пусть u1 ( x, y, z ) и u2 ( x, y, z ) независимые первые интегралы (3) (или (2)).Общим решением уравнения (1) называетсяu  F  u1 ( x, y, z), u2 ( x, y, z)  ,(4)где F – произвольная непрерывно дифференцируемая функция.Для отыскания первых интегралов часто используется следующее утверждение42Лемма 1 (свойство равных дробей). Если верно (3), то при любых k1, k2 , k3 таких, чтоk1 f1 ( x, y, z )  k2 f 2 ( x, y, z )  k3 f3 ( x, y, z )  0 , имеет место равенствоk1 dx  k2 dy  k3 dzdxdydz,k1 f1 ( x, y, z )  k2 f 2 ( x, y, z )  k3 f 3 ( x, y, z ) f1( x, y, z ) f 2 ( x, y, z ) f 3 ( x, y, z )(5)где k1, k2 , k3 – числа или функции от x, y, z .Доказательство.

Обозначим q dx dy dzf1 f 2 f3 dx  q f1, dy  q f 2 , dz  q f3 , тогдаk1 dx  k2 dy  k3 dz k1 q f1  k2 q f 2  k3 q f 3 q , что и даёт (5).k1 f1  k2 f 2  k3 f3k1 f1  k2 f 2  k3 f 3Вычисление первых интегралов1. Случай двух независимых переменных. Рассмотрим уравнение в дифференциалахdx1dx2.g1  x1 , x2  g2  x1 , x2 (6)Найдем его решение   x1, x2 , C   0 и выразим из последнего равенства произвольнуюпостоянную C    x1, x2  . Тогда u    x1, x2  – первый интеграл (6).2. Случай трех независимых переменных. Выделим из исходной системы (3) уравнение вида(6), где x1 , x2 – какие-либо две из независимых переменных x, y, z или x1  x1 ( x, y, z) ,x2  x2 ( x, y, z ) – функции от x, y, z .

Характеристики

Список файлов книги