Ипатова В.М. Методические указания по решению задач (1179584), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Равенствоv( x) dx  v(3)  0 возможно только в случае тривиального решения v( x )  0 на [2,3] , тогдаи u( x )  0 .Задача 41-10. Найти два независимых первых интеграла системыw( w  1)v( w  1), w.x  u , r  v , u  v  2 x , v  u  1 2r  3wr  3w2Решение. Будем искать первый интеграл типа энергии. Из рассматриваемой системы имеем1 d 2 2w( w  1)  vw( w  1)u  v  w2  uu  vv  ww  u (v  2 x)  v u  1  2ux  v  2 xx  r.2 dtr  3w2  r  3w2Таким образом,u 2  v 2  w2d  u 2  v 2  w22 x2  r . x  r   0 , первый интеграл имеет вид C1 2dt 2Из второго и пятого уравнений системы находимr ( w  1)w, r  3w2 w  ( w  1)r  0,r  3w2d  3w  ( w  1)r   0.dt Отсюда получаем первый интеграл C2  w3  (w  1)r .Задача 42-10.

Найти два независимых первых интеграла системы w 1  w 1 x  u , r  v , u  r , v   x  w  2 . 2  , w  v  r rРешение. Будем искать первый интеграл типа энергии. Из рассматриваемой системы имеем1 d 2 2 w  1  w 1 u  v  w2  uu  vv  ww  ur  v  x  w  2    vw  2   ur  vx   xr  rx.2 dt r rТаким образом,u 2  v 2  w2d  u 2  v 2  w2,первыйинтегралимеетвидC rx .rx012dt 2Из второго и пятого уравнений системы находим w 1 w  r 2  , rw  ( w  1)r  2rr  0, rd ( w  1)r  r 2   0.dtОтсюда получаем первый интеграл C2  (w  1)r  r 2 .49ОТВЕТЫ ВАРИАНТ 415 111.(5) y  С1 sin x  С2 cos x  С3e3 x  С4e3 x   x cos x  e x .9 44 1   0  x1 52t  2t    3t  2.(4)  y   C1e  0   C2e t  0    1   C3e  2  .z 1  4 1   1    3.(4) Положения равновесия: M1 (1; 1) , M 2 (1;3) . 2  1 1 1  , 1  1 , h1    , 2  2 , h2    , седло.1 00 3 1) В M1 : A   2  1 1  i 7, устойчивый фокус, против часовой стрелки. , 1,2 12 42) В M 2 : A  14.(5) y  C1 ( x  2)  C2 ( x  2)ln x  ( x  2)ln 5 x .45.(5)  y' tg x '  0, y  C ln sin x  C1 , yˆ  2ln   sin x  ,  J 11 /62  h'  tg x dx  0 , max.7 /46.(5) y'  z ( x) y , ( x2  2 x) z'  (3x  4) z  x( x  2)2 z 2  0 , z y1, C1  0 ,x(1  C1x)( x  2)x2.x7.(5) y  С 31 x  C 4/3 , yo   x .442 z5z5 11  1 .8.(5) u  F  , x  , uˆ   x xy  5z y  5z  x110.(5) C1  (u 2  v 2  w2 )  x 2  r; C2  wr  w3  r.250ОТВЕТЫ ВАРИАНТ 42311.(5) y  С1  С2 x   С3 sin x  С4 cos x  e x  x 4  6 x3  9 x 2   24  12 x  e x  e 2 x .28x1  2cos 2t 2sin 2t2t  2.(4)  y   C1e 1   C2  3cos 2t  4sin 2t   C3  3sin 2t  4cos 2t  .z  0  2sin 2t 2cos 2t  3.(4) Положения равновесия: M1 (0;0) , M 2 (1;1) .2 111  , 1  1 , h1    , 2  5 , h2    , седло. 4 31 2 1) В M1 : A  1 211  , 1  1, h1    , 2  5 , h2    , устойчивый узел, касание 3  41 3 2) В M 2 : A  к h1 .4.(5) y  C1e4 x  C2e4 x ln x  e4 x (2ln 2 x  x) .3 /2 1  cos x  1  cos x 25.(5)  y' sin x '  0, y  C ln   C1 , yˆ ln  ,  J    h'  sin x dx  0 , 1  cos x  1  cos x 4 /3max.6.(5) y'  p( y) , 2  y  2  p'   2 y  1 p3  p , p  3x  1 y  2 23y2, C1  6 ,y 2  y  C13.7.(5) y  C  2e(C  x)/2 , yo  x  2 .8.(5) u  F 3 y 2  z 3 , xy 7 z , uˆ 3 xy 7 z3y  z 123.110.(5) C1  (u 2  v 2  w2 )  rx; C2  wr  r 2  r.251ОТВЕТЫ ВАРИАНТ 431 111.(5) y  С1 sin 2 x  С2 cos 2 x  С3e x  С4e x  x cos 2 x  e2 x .4 203  1  0  x6 12t  3t  3t      2.(4)  y   C1e  8   C2e 1  C3e t  1   1   .z7 1  1  0     3.(4) Положения равновесия: M1 (2; 4) , M 2 (2;12) .141 1  , 1  4 , h1    , 2  1 , h2    , седло. 0  1 5 01) В M1 : A  1 43i 7, неустойчивый фокус, по часовой стрелке. , 1,2 2 8  1 2) В M 2 : A  4.(5) y  C1 ( x  1)  C2 ( x  1)ln x  ( x  1)ln  ln x  .5.(5)  y'ctg x '  0, y  C ln cos x  C1 , yˆ  2ln  2cos x  ,  J 5 /62  h'  ctg x dx  0 , max.2 /3x( x 2  3)6.(5) y'  z ( x) y , x  3x z'  3 x  1 z  2 xz  0 , z  2, C1  0 ,x  C1322 x2 y  x exp   . 2 37.(5) y 51 x  C 6/5  C , yo  x  .662x1 ( y  x)( z 2  1) .8.(5) u  F   arctg z, ( x  y )( z 2  1)  , uˆ 1  x arctg zx110.(5) C1  (u 2  v 2  w2 )  x  r 2 ; C2  wr 2  r.252ОТВЕТЫ ВАРИАНТ 445331.(5) y  С1  С2 x   С3 sin 2 x  С4 cos 2 x  e x  x 4  2 x3  x 2  15x  30  e  x  e 2 x455x 0 2cos t 2sin t3t  2.(4)  y   C1e 1   C2  3cos t  sin t   C3  cos t  3sin t  .z 1  2cos t  2sin t  2cos t  2sin t   3.(4) Положения равновесия: M1 (0;1) , M 2 (2;0) . 0  331 , 1  1 , h1    , 2  3 , h2    , неустойчивый узел, касание к41 1 11) В M1 : A  h1 .3 0 , 1,2  1  i 5 , устойчивый фокус, по часовой стрелке. 2  2 2) В M 2 : A  14.(5) y  C1x 2  C2 x 2 ln( x  1)  x 2 ln 3 ( x  1) .31  1  sin x  1  sin x 5.(5)  y' cos x '  0, y  C ln   C1 , yˆ  ln ,2  1  sin x  1  sin x 2J 2  h'  cos x dx  0 , min.11 /66.(5) y'  p( y) , 2 y 2  y p'  p  y 2  8 p3  0 , p  3xy    12  223y 1, C1  9 ,y  8  C1 y28.7.(5) y  C  ln(C  x) , yo  x  1.8.(5) u  F ex y , e yz , uˆ  e2 x yz22x(e  x  y 2 ) 2.4110.(5) C1  (u 2  v 2  w2 )  rx 2 ; C2  w(r 3  1).253.

Характеристики

Список файлов книги