Ипатова В.М. Методические указания по решению задач (1179584), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Первую постоянную C1рекомендуется определять сразу после её появления, поскольку это упрощает дальнейшиевыкладки.Замечание. В ответе должно быть указано только одно решение задачи Коши. К примеру,нельзя давать ответ y 2  3x  1 , нужно точно выбрать y  3x  1 или y   3x  1 .Методы понижения порядкаДля краткости запишем уравнение (1) в виде F  x, y, y' , y''   0 и рассмотрим для него дваосновных метода понижения порядка.1. Уравнение называется однородным по y и его производным, если оно не изменяется приодновременной замене y на ky , y' на ky' , y'' на ky'' , то естьF  x, ky, ky' , ky''   k s F  x, y, y' , y''  k  0 , где s - степень однородности.В этом случае порядок уравнения понижается заменой y  z ( x) y , где z ( x) - новая искомаяфункция. Вторая производная заменяется по правилу y''  ( zy)'  z'y  zy'  ( z'  z 2 ) y .

Послезамены уравнение сокращается на y s . Из (2) вытекает начальное условие z ( x0 )  b / a .2. Если уравнение не содержит явно независимую переменную x, то есть имеет видF  y, y' , y''   0 , то порядок понижается заменой y  p( y) , где y – новая независимаяпеременная, p( y ) – новая искомая функция. При этом y dp( y ) dp dy p p . Из (2)dxdy dxследует начальное условие p(a)  b .Уравнение БернуллиУравнением Бернулли называется уравнение 1 порядка, которое можно представить в видеy'   ( x) y   ( x) y n  0,(3)где n  , n  1, n  0 ;  ( x) и  ( x) – заданные непрерывные функции.Разделив (3) на y n , получаем уравнениеy'y'1,u' .nnn 1yyyВ результате (3) сводится к линейному уравнениюСделаем замену u 1y'  ( x)  ( x)  0.y n y n1n1 u'   (n  1)341u'   ( x)u   ( x)  0.n 1Примеры решения задач, предлагавшихся на письменном экзаменеЗадача 41-6. Решить задачу Кошиx2 2 x yy"   3x  4  yy'  x x 2  3x  2  y'   0 , y (3) 211, y' (3) 3.3 3Решение.

Уравнение является однородным по y и его производным.Замена y  z ( x) y  y''  ( z'  z 2 ) y . Подставив эти формулы в уравнение, имеемx2 2 x y 2 ( z'  z 2 )   3x  4  y 2 z  x x 2  3x  2 y 2 z 2  0 .Сократим на y 2 , так как y  0 не подходит по начальным условиям,x2 2 x ( z'  z 2 )   3x  4  z  x x 2  3x  2 z 2  0 .Порядок понижен. Теперь подсчитаем коэффициент при z 2 :x2  2 x  x3  3x2  2 x   x3  4 x2  4 x   x( x2  4 x  4)   x( x  2)2 .Таким образом, получаем уравнение Бернуллиx2 2 x z'   3x  4  z  x  x  2  z 2  0 .2Поделим его на z 2 , так как из начальных условий z(3)  1/ 3  0 ,x2 2x zz'  3x  4 1z  x  x  222 0 . Сделаем стандартную замену u z'1, тогда u'   2 ,zzуравнение сводится к линейному x2  2 x u'   3x  4  u  x  x  2   0 или2x( x  2) u'  (3x  4) u   x( x  2)2 .(4)Решение линейного уравнения (4) найдем по методу вариации постоянной.1.

Решаем линейное однородное уравнение. x( x  2) u'  (3x  4) u  0 . Разделяем переменныеdudu (3x  4)x  2( x  2)2 1 (3x  4) u ,dx dx    dx . Проинтегрировав,dxux( x  2)x( x  2) x2 xполучаем ln | u |  ln | x  2 | 2ln | x | Cˆ , u  C ( x  2) x 2 .x( x  2)2. Неоднородное: u  C ( x)( x  2) x 2 , u'  C' ( x)( x  2) x2  C ( x)(3x 2  4 x)подставим эти равенства в (4)x( x  2) C' ( x  2) x 2  C (3x 2  4 x)   (3x  4) C ( x  2) x2   x( x  2)2 ,x3 ( x  2)2 C'   x( x  2)2 ,C'  1,x2C ( x) 1 C1 .xТаким образом,1u  C ( x)( x  2) x 2    C1  ( x  2) x 2  1  C1x  ( x  2) x.xТогдаz ( x) 11,u 1  C1 x  ( x  2) xy  z ( x) y y.1  C1x  ( x  2) x35Постоянную C1 найдем из начальных условий, полагая в последнем равенстве x  3 , т.е.13 31 C1  0 ,3 1  3C1  (3  2)3y dyy,dx ( x  2) xdydx1 11   dx .y ( x  2) x 2  x  2 x x21. ln | x  2 |  ln | x |  Cˆ2 , y  C22xЗдесь мы учли, что решаем задачу в окрестности x  3 , поэтому модуль под корнем можноне ставить.

Постоянную C2 найдем из первого начального условия:Проинтегрировав, имеем ln | y |13Ответ: y  C23 2 C2  1 ,3yx2.xx2.xЗадача 42-6. Решить задачу Коши2  y  2  y''   2 y  1 y'    y'  ,42y  5  7, y'  5 12.Решение. Уравнение не содержит явно независимую переменную x.Замена y  p( y)  y''  pp' , где y – новая независимая переменная. Из начальных условийследует, что p(7)  1/ 2 . После подстановкидифференциальное уравнение принимает видформулдляy иy''исходное2  y  2  pp'   2 y  1 p 4  p 2 .Сократив его на p (значение p  0 не подходит по начальным условиям), получаемуравнение Бернулли2  y  2  p'   2 y  1 p3  p .Стандартная замена u Уравнение2  y  2  p'p312, u'   3 p' .2pp 2 y 1 1переходит в уравнение   y  2  u'  2 y  1  u илиp2 y  2 u'  u  2 y 1 – неоднородное линейное уравнение первого порядка относительноu,которое решаем методом вариации постоянной.1) Сначала решаем однородное уравнение:  y  2  u'  u  0 – переменные разделяются. y  2duCdudyдает ln u   ln y  2  C0 и u . u ,dyy2uy22) Полагая C  C  y  , подставляем u C'  y  C  y C  y, u' в линейное неоднородноеy  2 ( y  2)2y2 C'C C 2 y  1 , что дает C  2 y  1 ,уравнение:  y  2  2y2y2(y2)т.е.

C  y    (2 y  1) dy  y 2  y  C1 .363) Используя найденное значение C  y  , получаем1y2y 2  y  C1, т.е. p 2 ( y )   2uu y  y  C1y2 y' 2 y2.y  y  C12Для определения постоянной C1 используем начальные условияy  5  7, y'  5  . Таким12образом,172y2y212, 42  C1  36, C1  6 ,  y'   24 49  7  C1y  y  6 ( y  2)( y  3) y  3иy  1, так как y  0 при x  5 , то выбираем знак плюс: y y 31– уравнение сy 323( y  3)3/2  x  Cˆ 2 , ( y  3)3/2  x  C2 .32151Подставляя сюда начальное значение y(5)  7 , имеем 8   C2 , отсюда C2 и22разделяющимися переменными, т.е.( y  3)3/2y  3 dy  dx и3x  1 3x  1 , то есть y  3  2 2  3x  1 Ответ: y  3   2 223.3.377.

Уравнения, не разрешенные относительно производнойРассмотрим уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производнойF  x, y, y   0 ,(1)где F – заданная функция, непрерывно дифференцируемая в области G Решение (1) находится по методу введения параметра:1. Пусть из (1) можно выразить y или x , т.е. записать уравнение в видеy  f  x, y (2)3.или x  f  y, y  .2. Введем параметр p  y (2а)dydx dy  p dx, dx dyи представим уравнение какpy  f  x, p (3)или x  f  y, p  .(3а)3.

Возьмем полный дифференциал от обеих частей (3), заменив dy  p dx , либо возьмем полный дифференциал от обеих частей (3а) и заменим dx pdx dy. В результате получимpf ( x, p)f ( x, p)dx dpxp(4)dy f ( y, p)f ( y, p)(4а)dy dp .pyp4. Найдем решение (4) и подставим его в (3).а) Если решение (4) найдено в виде p  p( x) , то, подставляя его в равенство y  f  x, p  ,илисразу получаем y  f  x, p( x)  – решение уравнения (1).б) Если решение (4) найдено в виде x  x( p) , то после подстановки в (3) получим решение x  x( p),(1) как функцию, заданную параметрически Далее нужно исключить из y  f  x( p), p  .этой системы параметр p и получить решение уравнения (1) в явном виде.Аналогично решение уравнения (4а) нужно подставить в равенство (3а).1 dxЗамечание.

В некоторых задачах удобно вводить параметр p  , тогда dx  pdy ,y dydy dx.pОпределение. Функция y  yo ( x) называется особым решением уравнения (1) на промежуткеI  , если:1) она является решением (1) на этом промежутке;2) при каждом x0  I графика функции y  yo ( x) касается график другого решения (1),отличного от yo ( x) в сколь угодно малой окрестности x0 .Дискриминантной кривой уравнения (1) называется геометрическое место точек наплоскости ( x, y) , для которых разрешима система38 F  x, y, p   0,(5) F  x, y, p 0.pИз общей теории следует, что все особые решения уравнения (1) лежат на егодискриминантной кривой.Процесс решения экзаменационной задачи содержит четыре обязательных этапа:1.

Решить уравнение (1).2. Найти дискриминантную кривую, исключив параметр p из системы (5), и отобрать терешения уравнения (1), которые лежат на дискриминантной кривой.3. Для отобранных решений проверить выполнение определения особого решения, т.е. y ( x)  y  x,C проверить выполнение условий касания  o, где y  x, C  - семейство решений yo ( x)  y  x,C (1), не совпадающих с yo  x  .4. Нарисовать интегральные кривые уравнения.

Характеристики

Список файлов книги