Ипатова В.М. Методические указания по решению задач (1179584), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

 an1  an  0 .(3)Обозначим через 1, 2 , ... , s различные корни (3), вообще говоря, комплексные. Пустьлевая часть (3) представляется в видеa0 n  a1 n1  ...  an1  an  a0    1  1    2 kтогда k j k2   s ks ,называется кратностью корня  j . В случае k j  1 корень называется простым.I. Действительный корень.1) Если  простой действительный корень характеристического уравнения (3), то в общеерешение (2) входитC1e x .(4)2) Если  действительный корень (3) кратности kвыражениеC  C x 1где C1, C2 ,2 k  2  , то в общее решение (2) входит Ck x k 1 e x ,(5), Ck – произвольные действительные постоянные.II. Пусть корнем характеристического уравнения (3) является     i , где  ,  ,   0,i – мнимая единица (т.е.

i 2  1). Тогда комплексно сопряженное число     i такжекорень этого уравнения (по свойству алгебраических уравнений с действительнымикоэффициентами).Напомним, что для комплексного числа z  x  iy , где x, y  , его действительной имнимой частью называются соответственно Re z  x , Im z  y . Кроме того, справедливаформула Эйлераe i   x e x  cos  x  i sin  x  .3) Если     i простые корни характеристического уравнения (3), то в общее решение(2) входит выражение8C1e x cos  x  C2e x sin  x ,(6)где C1, C2 – произвольные действительные постоянные.4) Если среди корней (3) есть корень     i кратности k k  2 ,то и комплексносопряженный ему корень     i имеет ту же кратность k .

В общее решение (2) входитвыражениеC  C x 1где C1, C2 , Ck x k 1 e x cos  x  D1  D2 x 2, Ck , D1, D2 , Dk x k 1 e x sin  x ,(7), Dk – произвольные действительные постоянные.Общее решение (2) находится суммированием выражений вида (4)-(7) для всех корней1, 2 , ... , s .Общее решение уравнения (2) всегда зависит ровно от n произвольных постоянных.Например, пусть n  20 и характеристическое уравнение (3) имеет вид 3 (  25) (  6)4 (  2i) (  2i) (  10  7i)5 (  10  7i)5  0,тогда общим решением (2) являетсяx eyo ( x)  C1  C2 x  C3 x 2  C4e 25 x  C5  C6 x  C7 x 2  C8 x 3 e 6 x C9 cos 2 x  C10 sin 2 x  C11  C12 x  C13 x 2  C14 x 3  C15410 xcos 7 x  C16  C17 x  C18 x 2  C19 x3  C20 x 4 e 10 x sin 7 x.где C1, C2 ,, C20 – произвольные действительные постоянные.Построение частного решения неоднородного уравненияЕсли правая часть f  x  линейного неоднородного дифференциального уравнения спостоянными коэффициентами является квазимногочленом, т.е.

f  x  состоит из сумм ипроизведений функций b0  b1x  bm x m ,e x , cos  x , sin  x , то частное решение (1)следует искать методом неопределенных коэффициентов.III. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид f ( x)  Pm ( x) e x , где Pm ( x)  bm x m  b0 –многочлен степени m.5) Если  не является корнем характеристического уравнения (3), то говорят, что имеетместо нерезонансный случай. Частное решение неоднородного уравнения (1) ищется в видеy  Qm ( x) e x ,(8)где Qm ( x) – многочлен той же степени m.6) Если  является корнем характеристического уравнения (3) кратности k , то говорят, чтоимеет место резонанс кратности k .

Частное решение (1) ищется в видеy  xk Qm ( x) e x .(9)Для определения коэффициентов многочлена Qm  x  следует (8) или (9) подставить в (1),сократить на e x и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правойчастях уравнения. Из получившейся системы алгебраических уравнений найдем этикоэффициенты.9IV. Пусть правая часть уравнения (1) имеет видf ( x)  Pm1 ( x) cos  x  Pm2 ( x)sin  x e x ,(10)здесь Pm1 ( x) и Pm2 ( x) – многочлены степени m1 и m2 соответственно, допускаетсяPm1 ( x)  0 либо Pm2 ( x)  0 .Синус и косинус можно выразить через показательную функцию по формулам Эйлераcos  x ei  x  e  i  x,2sin  x ei  x  ei  x,2iпоэтому правой части вида (10) сопоставляются значения     i .7) Если   i не является корнем характеристического уравнения (3), то говорят, что имеетместо нерезонансный случай.

Частное решение неоднородного уравнения (1) ищется в видеy   Rm ( x) cos  x  Tm ( x) sin  x  e x ,(11)где Rm ( x) и Tm ( x) – многочлены степени не выше m , равной наибольшей из степенеймногочленов Pm1 ( x) и Pm2 ( x) .8) Если   i является корнем (3) кратности k , то говорят, что имеет место резонанскратности k .

Частное решение (1) разыскивается в видеy  xk  Rm ( x) cos  x  Tm ( x) sin  x  e x .(12)Чтобы найти коэффициенты многочленов Rm ( x) и Tm ( x) , надо подставить (11) или (12) вуравнение (1), приравнять коэффициенты при подобных членах и решить полученнуюсистему алгебраических уравнений.9) Дифференцирования синусов и косинусов можно избежать, если воспользоватьсяследующим методом. Представимcos  x  Re ei  x , sin  x  Im ei  x   Re i ei  x ,f ( x)  Re F ( x), гдеF ( x)  Pm1 ( x)  i Pm2 ( x) e( i ) x . Найдем частное решение z ( x) уравненияnn1a0 z    a1z    ...  an1z'  an z  F  x  ,(13)тогда y( x)  Re z ( x) будет частным решением (1).

Аналогично можно представитьcos  x  Re ei  x  Im i ei  x , sin  x  Im ei  x ,f ( x)  Im F ( x), гдеF ( x)  iPm1 ( x)  Pm2 ( x) e( i ) x .Найдем для этой функции частное решение z ( x) уравнения (13), тогда y( x)  Im z ( x) будетчастным решением (1). Способ построения частного решения уравнения (13) описан в пунктеIII, но в этом случае коэффициенты многочлена Qm ( x) будут комплексными.Если правая часть уравнения (1) представлена в виде суммы нескольких функцийf  x   f1  x   f 2  x   ...

 fl  x  , то частное решение неоднородного уравнения (1) состоитиз суммы частных решений y j неоднородных уравненийnn1a0 y j    a1 y j    ...  an1 y j'  an y j  f j  x  ,j  1,, l.10Напомним, что для вычисления производных второго порядка может быть полезна формулаЛейбница( gh)''  g'' h  2 g' h'  g h'' .(14)Примеры решения задач, предлагавшихся на письменном экзаменеЗадача 41-1. Найти все действительные решения уравненияxx 2y  8 y''  9 y  5  sin  cos   4e x .22Решение. 1.

Найдем общее решение однородного уравнения. ХарактеристическоеIVуравнение: 4  8 2  9  0   2  4  16  9  4  5  {9;  1}, 1  3,2  3,3  i ,4  i .Общее решение однородного уравнения в действительной формеyo ( x)  С1e3x  С2e3x  С3 sin x  С4 cos x ,где C1, C2 , C3 , C4 – произвольные действительные постоянные.2.

Частное решение неоднородного уравнения.xxxxf  x   5  sin 2  2sin cos  cos 2   4e x  5  5sin x  4e x ,2222т.е. f  x   f1  x   f 2  x   f3  x  , где f1  x   5 , f 2  x   5sin x , f3  x   4e x .1) f1  x   5  5 e0x . Значение   0 не является корнем характеристического уравнения резонанса нет, частное решение ищем в виде y( x)  a . Подставляя его в исходноедифференциальное уравнение при f  x   f1  x   5 , получаем559a  5, a   , y1 ( x)   .992) f 2  x   5sin x . Значение   iявляется корнем характеристического уравнениякратности 1  имеет место резонанс кратности 1.1 способ.

Частное решение ищем в виде y( x)  x  A cos x  B sin x  . Используя формулуЛейбница (14) и равенства  sin x ''   sin x ,  cos x ''   cos x , вычислимy'' ( x)  2   A sin x  B cos x   x  A cos x  B sin x  ,y IV ( x)  2  A sin x  B cos x   y'' ( x)  4  A sin x  B cos x   x  A cos x  B sin x  .Подставив полученные выражения в исходное уравнение при f  x   f 2  x   5sin x , имеем4  A sin x  B cos x   x  A cos x  B sin x   16   A sin x  B cos x  8 x  A cos x  B sin x   9 x  A cos x  B sin x   5sin x.Приравняем коэффициенты при sin x и cos x в обеих частях уравнения:sin x : 4 A  16 A  5,  A  1/ 4,x cos x.y2 ( x)  cos x :  4 B  16 B  0,  B  0,42 способ. Воспользуемся методом, описанным в пункте 9). f 2  x   5sin x  5Im eixи перейдем к уравнению zIVПредставим 8z''  9 z  5 e .

Посколькуixимеет место резонанс кратности 1, то будем искать частное решение в виде z ( x)  b x ei x .11Тогда z'' ( x)  2bi ei x  b x ei x ,z IV ( x)  2bi ei x  z'' ( x)  4bi ei x  b x ei x . Здесь мы вновьприменили формулу Лейбница (14). Подставив полученные выражения в уравнение для z исократив его на ei x , имеемiix ei x4bi  b x  16bi  8b x  9bx  5   20bi  5, b   , z ( x)  .44Теперь частное решение (1) находим по формулеxx cos x.y2 ( x)  Im z ( x)   Im  i cos x  sin x   443) f3  x   4e x . Значение   1 не является корнем характеристического уравнения резонанса нет, частное решение ищем в видеПодставив эти выраженияв исходноеy( x)  a e x  y'' ( x)  y IV ( x)  a e x .дифференциальное уравнение приf  x   f3  x   4 e x и сократив его на e x , получаем1a  8a  9a  4,  16a  4, a  ,43.

Общее решение неоднородного уравненияe xy3 ( x) .45 11y  yo ( x)  y1 ( x)  y2 ( x)  y3 ( x)  С1e3 x  С2e3 x  С3 sin x  С4 cos x   x cos x  e x .9 44Задача 42-1. Найти все действительные решения уравненияy IV  2 y'''  2 y''  6 x  e x2.Решение. 1. Найдем общее решение однородного уравнения. Характеристическоеуравнение:  4  2 3  2 2   2  2  2  2  0. 2  2  2  0 ,   1  1  2  1  i,1,2  0, 3  1  i , 4  1  i .Общее решение однородного уравнения в действительной формеyo ( x)  С1  С2 x   С3 sin x  С4 cos x  e x ,где C1, C2 , C3 , C4 – действительные произвольные постоянные.2. Частное решение неоднородного уравнения.f  x   36 x2  12 xe x  e2 x  f1  x   f 2  x   f3  x  ,где f1  x   36 x 2 , f 2  x   12 xe x , f3  x   e2 x .1) f1  x   36 x 2  36 x 2 e0x .

Характеристики

Список файлов книги