l9 (1175281)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

579. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИМакроскопические свойства систем, состоящих из очень большого числа частиц, изучаютсястатистическим методом. В подобных системах существуют некоторые средние значения физическихвеличин, которые характеризуют всю совокупность частиц в целом (в газе это средние значенияскоростей теплового движения молекул, их энергий и т.д.). В системе частиц выполняются законысохранения энергии, импульса и момента импульса.

Все физические процессы в системе протекаютнепрерывно в пространстве и времени. Любую частицу в системе можно отличить от остальных таких жечастиц. Она может иметь произвольные значения координат и импульсов (скоростей).9.1. Элементарные сведения из теории вероятностейСтатистический метод основан на использовании теории вероятностей и определенных моделейстроения изучаемых систем. Основное понятие теории вероятностей – событие, явление, о которомможно говорить, что оно либо произошло, либо нет. Вероятностью данного события P называетсяотношение числа n  благоприятных исходов опытов (таких, в которых интересующее нас событиепроизошло) к полному числу опытов n, когда полное число опытов стремится к бесконечности:n*.n nP = limСуммой двух событий A и B называется событие AB, заключающееся в том, что произошло либособытие A, либо событие B.

Вероятность суммы двух несовместных (одновременное осуществлениекоторых невозможно) событий равна сумме вероятностей этих событий.Произведением двух событий A и B называется событие AB, состоящее в появлении совместно исобытия A, и события B. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностипервого события на вероятность второго (вычисленную в предположении, что первое событиепроизошло).Если при измерении физической величины a возможны k исходов: с вероятностью P1 в опытеполучается а  а1 , с вероятностью P2 а  а2 и т.д., то среднее значение величины a определяетсявыражениема  а1Р1  а2 Р2  ... аk Pk ,где Р1  Р2  ... Pk  1 .Среднее значение функции измеряемой величины a вычисляется следующим образом:(а)   (а1 ) Р1   (а2 ) Р2  ...  (аk ) Pk .Объектом статистической физики является система, содержащая очень большое число N молекул илиатомов.Пусть каждый из элементов системы имеет определенное значение какого-либо физическогопараметра z.

Функцией распределения f(z) элементов системы по параметру z называется отношениеdNf z =,(9.1)N dzгде dN – число частиц, у которых физический параметр лежит в пределах от z до z + dz; N – полное числочастиц ансамбля.Среднее значение параметра z по системе определяется формулойz2z =  z f  z  dz ,(9.2)z1где z1 и z2 – минимальное и максимальное значения параметра в системе.Среднее значение  (z) произвольной функции параметра z:z2 z  =   z  f  z  dz .(9.3)z19.2. Распределение молекул по скоростямРассмотрим поведение молекул идеального газа в замкнутом объеме V.

Если число частиц(молекул) достаточно велико, то любая молекула с одинаковой вероятностью может быть найдена в58любом месте объема V. Выделим внутри объема V бесконечно малый элемент объемом dV. Обозначимвероятность того, что молекула находится внутри этого элемента следующим образом:d P  G( x , y, z)  d V . Функция G(x,y,z) называется плотностью вероятности обнаружения молекулы.Чтобы определить вероятность нахождения молекулы в объеме V0 , необходимо просуммировать(проинтегрировать) элементарные вероятности по этому объему:P   d P   G( x, y, z ) d V .V0V0Поскольку вероятность того, что молекулу можно обнаружить во всем объеме V равна 1 (онаобязательно присутствует в этом объеме), то последнее равенство в таком случае приобретает вид: G( x, y, z) d V  1(9.4)VВыражение (9.4) называется условием нормировки плотности вероятности.Можно ли из равновероятного распределения молекул в пространстве сделать вывод оравновероятном распределении значений их скоростей? Одинаковы ли вероятности обнаружениямолекул с различными скоростями? Нет.

В рассматриваемом объеме всегда число молекул с большими ималыми скоростями относительно невелико. Молекулы изменяют свои скорости при взаимодействиях,происходящих по законам абсолютно упругого соударения. При таких соударениях число молекул,увеличивающих свои скорости всегда равно числу молекул, уменьшающих свои скорости, так как приабсолютно упругих соударениях одинаковые молекулы обмениваются скоростями. В этом состоитпринцип детального равновесия системы молекул: число “прямых” ударов (выводящих молекулу вдиапазон бóльших значений скоростей) равно числу “обратных” ударов (выводящих молекулу вдиапазон меньших значений скоростей). Поставим своей задачей определить распределение молекул поскоростям движения. Такая задача была решена Д.

Максвеллом, а поэтому полученный закон называетсямаксвелловским распределением молекул по скоростям.Обозначим вероятность того, что выбранная молекула имеет значение модуля проекциискорости на какое-либо направление ОХ в интервале vx  vx   vx как Fx   vx . Иначе говоря, это –вероятность того, что скорость выбранной молекулы имеет определенное направление. Найдем2плотность вероятности Fx в виде Fx  A  e vх , где А – некоторая постоянная величина.

Условиенормировки такойплотности вероятности запишем в виде:A e2 vxd vx  1 .(9.5)Пределы интегрирования в (8.5) определяются исходя из того, что, согласно классической физике,скорости всех молекул в некотором объеме могут быть любыми как по модулю, так и по направлению.Интеграл (8.5) называется интегралом Пуассона: A e2vx v2xd vx  A   ed vx  A1 ..Поскольку все направления движения молекул (в трехмерной системе координат это ОХ, ОY иOZ) одинаковы, то для плотностей вероятностей по всем направлениям составим выраженияИз последнего выражения получаем, что A   v2xe,2  vyFy e,  v2zFz e.Fx Если модуль скорости молекулы равен v, то это значит, что проекции ее скорости одновременнопринимают определенные значения vx , v y , vz .

Следовательно, плотность вероятности обнаружениямолекулы, проекции скорости которой лежат в интервалах vx  vx   vx , vy  vy   vy , vz  vz   vzможно по свойству умножения вероятностей найти таким образом:59322322   ( vx  vy  vz )    2 v .f xyz  Fx F y Fz    2 e  e  Рассмотрим так называемое “пространство скоростей” (рис.8.1). В нем поVyосям координат вместо привычных пространственных координат x, y, zОоткладываются значения проекций скоростей молекул на выбранныенаправления.В пространствескоростей поведение молекулыописывается не положением радиуса-вектора r , а положением вектораскорости v .

Все молекулы, значения проекций скоростей которых лежатVxв интервалах vx  vx  vx , vy  vy   vy , vz  vz   vz , в пространствеРис. 9.1скоростей характеризуются набором векторов v , у которых концы лежатвнутри объема V . Этот объем образует сферический слой (на рис. 8.1 сечение этого слоя показаноштриховкой). Слой имеет радиус v и толщину v . Следовательно, объем такого слояVz2V  4v  v .В результате вероятность того, что молекула имеет скорость в диапазоне v  v   v ,определяется следующим образом (произведение плотности вероятности на объем в пространствескоростей):322 vW  f xyz  V    2 e(9.6) 4v  v . Общее число таких молекул может быть найдено умножением концентрации молекул (число молекул вединице объема) на вероятность W:3NN    2 v2 2N  W  4v v .  eVV  Теперь найдем .Хаотичные соударения молекул со стенками сосуда создают давление газа.

Пусть молекулалетит по направлению оси ОХ перпендикулярно стенке. При абсолютно упругом соударении со стенкойсосуда молекула, имеющая проекцию скорости vx , изменяет свой импульс на величину p  2m0 vx ,где m 0 – масса молекулы. Давление газа определится числом ударов молекул на выделенный элементстенки площадью S в единицу времени.

Это число Z равно числу молекул, находящихся в объемеNV  vx S  t , где t =1 с (произведению концентрации молекул на этот объем): Z  nV  vx S .VОднако полученное выражение необходимо еще умножить на вероятность попадания молекулы в этотобъем, т.е. на вероятность того, что скорость молекулы лежит в интервале vx  vx   vx .

Этавероятность равна Fx vx . Итак,Z NNvx S Fx vx =vx SVV vx2e vx .Поскольку при каждом ударе стенка получает от молекулы импульс p  2m0 vx , то суммарныйимпульс, передаваемый стенке за единицу времени, определится как p  Z . Давление газа численноравно суммарному импульсу, передаваемому единице площади стенки за единицу времени:p  Z 2m0 vx N vx2pvx Se vx ;SSVp  2m0NV vx2e vx .(9.7)Выражение (9.7) позволяет найти давление, которое оказывают на стенки сосуда толькомолекулы, летящие в положительном направлении оси ОХ. Чтобы найти полное давление газа,необходимо проинтегрировать полученное выражение по всем неотрицательным значениям проекцийскоростей:60f(v)p  2m0NV  vx2 2vx d vx .e 0(9.8)Результат вычисления интеграла в (9.8) берем из справочника:e0dvvvx20vx2 d vx 1 .

Поэтому4 3p  2m 0Рис. 9.2NV 1 431N 1.m02V m0 N. При2 pVтепловом равновесии идеального газа справедливо уравнение егоm N m n m nmсостояния p  nkT , поэтому   0  0  0  0 .2 pV2p2nkT 2kTВернемся к выражению (9.6):Таким образом, найдено значение :  f(v)T1T2T3 > T2 > T1T333v0Рис. 9.3m v202 m 2 2  2W    e v 4v  v =  0  e 2kT 4v2  v . 2kT (9.9)Полученное выражение позволяет определить вероятность того, что молекула имеет скорость вдиапазоне v  v   v . Такое распределение получено при следующих допущениях: все молекулыодинаковы; газ – идеальный, в отсутствии силовых полей; в газе наблюдается состояние тепловогоравновесия (принцип детального равновесия). Рассматривая бесконечно малый диапазон скоростей,можно (9.6) записать следующим образом:3m v20 m 2 dW   0  e 2kT 4v2 d v . 2kT (9.10)Тогда плотность вероятности попадания молекулы в интервал скоростей v  v  d v составит3m v20 m 2 f   0  e 2kT 4v2 . 2kT (9.11)График распределения этой плотности вероятности представлен на рис.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций