l7 (1175279)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 76.5. Затухающие колебанияРассмотрим пружинный маятник, на который действует сила сопротивления, линейно зависящая отскорости Fт р = −μv = −μx . Векторное уравнение второго закона Ньютона в этом случае примет видGGK Gma = mg + Fуп р + Fт р .В скалярном виде запишем его следующим образом:mx = mg − k (Δl + x) − μx .Тогда дифференциальное уравнение затухающих колебаний выглядит следующим образом:μkx + x + x = 0 .mmμk= 2β ( β – коэффициент затухания);= ω 02 ( ω 0 – собственная частота свободныхгдеmmгармонических колебаний).Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид2d x2+ 2βdx2+ ω0x = 0 .dtdtЕсли затухание невелико ( β < ω0 ), решением этого однородного линейного дифференциальногоуравнения является функцияx( t) = A0 e −β t sin (ωt + ϕ 0 ) ,т.е. затухающие колебания не являются периодическими, однако величина x(t) обращается в нуль, атакже достигает максимальных и минимальных значений через равныепромежутки времениxT =2π=ω2πω 20 − β 2,где T – период затухающих колебаний;t(6.10)ω =ω 20 − β 2– частотазатухающих колебаний.Рис.

6.8Величина x( t) = A0 e −β t называется амплитудой затухающих колебаний;A0 – начальная амплитуда. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается стечением времени тем быстрее, чем больше коэффициент затухания β.Если сравнить амплитуды колебаний системы в моменты времени t и t + τ , то можно получить,чтоA ( t)βτ=e .A ( t + τ)Если за промежуток времени τ амплитуда колебаний уменьшается в е раз, то β = 1/τ , т.е.коэффициент затухания – величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитудазатухающих колебаний уменьшается в e раз.Также для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающихколебаний вводится понятие логарифмического декремента δ:δ = lnA ( t)βT= ln e = βT .A( t + T )Если за время NT система совершит N колебаний, и их амплитуда уменьшится в е раз, тоT1δ = βT = = .

Таким образом, логарифмический декремент – безразмерная величина, обратная числуτ Nколебаний N, в течение которых амплитуда уменьшается в e раз.22Из выражения (5.10) следует, что при ω 0 ≤ β колебания в системе не возникают. В этом случаенаблюдается апериодический процесс (рис. 5.8), в результате которого вся запасенная в системемеханическая энергия расходуется на работу против сил сопротивления. Каким из двух способов,показанных на рис. 5.8, система вернется в положение равновесия, зависит от начальных условий.6.6. Вынужденные колебания.

РезонансВынуждающей силой называется переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающаяее вынужденные механические колебания. Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническомузакону F = F0 cos(ω t + ϕ 0 ) . Тогда дифференциальное уравнение вынужденных колебаний запишемследующим образом:2d x2dt+ 2βFdx2+ ω 0 x = 0 cos (ω t + ϕ0 ) .mdt(5.11)Общее решение этого уравнения имеет видx( t) = A0 e − β t sin (ω t + φ 0 ) + A cos ( ω t) .В этом выражении первое слагаемое играет роль только на начальной стадииустановления процесса колебаний. В дальнейшем этой составляющей решенияможно пренебречь. Второе слагаемое (6.11) описывает установившиесяtвынужденные колебания (рис. 6.9).Подставим x ( t) = A cos(ω t) в уравнение (5.11).

Для этого найдемπпроизводные x( t) по времени: x ′( t) = − Aω sin (ωt) = Aω cos (ωt + ) иРис.Рис.5.96.92x′′( t)= − Aω2 cos(ω t)=Aω2 cos(ω t + π) . Тогда получимxFπ2Aω 2 cos (ωt + π) + 2β A ω cos (ωt + ) + ω 0 A cos(ω t) = f 0 cos (ωt + ϕ 0 ) , где f0 = 0 . Используя методm2векторных диаграмм, представим левую часть последнего уравнения в виде2βAωf0суммы трех векторов (рис. 6.10), модули которых указаны на рисунке.Результат сложения этих трех векторов – вектор, модуль которого равен f0 .Из рис.

6.10 следует, что2βωϕ0tgϕ 0 = − 2.2ω0 − ω22ω0ААωИспользуя теорему Пифагора, найдем амплитуду вынужденныхРис. 6.10колебаний:f0A=.(6.12)(ω20−ω)2 22 2+ 4β ωИз (6.12) следует, что при ω = 0 амплитуда колебаний принимает значение A =f02ω0, но в системепроисходит статическое смещение из положения равновесия под действием постоянной силы F0(рис.6.11).Aβ1β=0ω0β2 > β1f02ω00ω р2 ω р1ωРис.

6.11При неограниченном возрастании частоты внешнего воздействия (ω→∞) амплитуда колебанийстремится к нулю, tg ϕ 0 → 0 и ϕ 0 → − π .Дифференцируя выражение (6.12) по переменной ω, и приравнивая полученную производную кнулю, можно определить такую частоту внешнего воздействия ω = ω р , при которой амплитуда2колебаний достигает максимума: ω р = ω 0 − 2β2.Явление резкого возрастания амплитудывынужденных колебаний при определенной частоте внешнего воздействия называется резонансом.График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приразличных коэффициентах затухания системы приведен на рис. 6.11.

Из формулы (6.12) следует, чтоF0.2m βωС явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различных сооружений.Собственная частота колебаний этих устройств не должна быть близка к частоте возможных внешнихвоздействий, иначе может произойти разрушение конструкции. Вместе с тем явление резонанса частооказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике и т.д.Amax = A (ω р ) =.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций