l9 (1175281), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

9.2. Посколькуэлементом графика f ( v) будетопределять вероятностьd W  f ( v) d v , то площадь подобнаружения молекулы со скоростью, численное значение которой лежит в интервале v  v  d v (на рис.9.2 эта площадь заштрихована).Условие (9.5) нормировки плотности вероятности f ( v) f ( v) d v = 1(9.12)0физически означает то, что всегда найдется молекула, скорость которой лежит в интервале 0   .С изменением температуры распределение плотности вероятности от скорости изменяет свой вид.Например, на рис.9.3 показано, что с увеличением температуры максимум функции становится менеевыраженным и переходит в область бóльших скоростей. Это означает, что увеличивается доля молекул,обладающих большими скоростями.Теперь по определению (9.1) запишем Максвелловский закон распределения молекул газа помодулям скоростей, который определяет, какое число dN молекул газа из общего числа его молекул N вединице объема имеет при данной температуре скорости, заключенные в интервале от v до v  d v :23m0 vm0  2 2kTd N  N d W  N f ( v) d v = N  e 2kT 2 4 v d v .(9.13)C помощью такого распределения можно, например, рассчитать среднюю кинетическую энергиюсистемы молекул.

Воспользуемся определением (9.3). Кинетическая энергия молекулы – это функция ее61скорости  ( z ) m0 v2, поэтому23m v2m0 v2m v2m v2  m  2  03  0 f (v) d v   0  0  e 2kT  4 v2 d v  kT .222  2kT 2009.3. Наиболее вероятная, средняя и среднеквадратичнаяскорости молекулПроанализируем поведение функции распределения молекул по скоростям. Найдем, при какойскорости наблюдается максимальное значение функции f ( v) . Такую скорость vн назовем наиболеевероятной скоростью молекул.

В единичном интервале скоростей вблизи vн будет находиться большевсего молекул. Для того, чтобы найти vн продифференцируем выражение f ( v) :223m vm v 0 0m2 0 22kT2kT  2vm0  f   4 v e 2v e . 2kT   2kT  Приравняв полученную производную к 0, найдем значение vн :2vн vн3 m0 0  vн kT2kT.m0(9 .14)Средняя арифметическая скорость всех молекул будет отличаться от vн , поскольку, всоответствии с (9.2)2m0 v3m 2 3v =  v f  v d v =   0  e 2kT  4 v d v =00 2kT8kT.m0(9.15)Очень часто в молекулярной физике используется понятие среднеквадратичной скоростимолекул. Так называется скорость, равная квадратному корню из среднего значения квадратаскоростеймолекул vср.кв v2 .

По определению (9.2) найдем2v 223m0 vm0  2 2kT  v f  v d v =   e00 2kT4 4 v d v =3kT.m0Тогдаvср.кв v2 =3kT.m0(9.16)Сравнивая между собой (9.14), (9.15), и (9.16), отметим, что vн  v  vср.кв . Эти скоростинанесены на график плотности вероятности на рис. 9.4.Рассматривая кривую плотности вероятности распределения молекул по скоростям, можносделать следующие выводы:1. Функция распределения плотности вероятности (9.11) позволяет найти не число молекул,скорости которых лежат в определенном интервале скоростей, а только долю от общего числа молекул.2.

Относительное число молекул (доля от общего количества молекул), обладающих скоростямив определенном интервале, зависит не только от размера интервала скоростей, но и от того, какомуучастку принадлежит данный интервал. Например, на рис. 9.5 видно, что при одном и том же размереинтервала скоростей (его ширина составляет v ) относительное число молекул, скорости которыхпопадают в интервал I, будет больше, чем относительное число молекул, скорости которых попали винтервал II.623. Максвелловское распределение молекул по скоростямнельзя использовать для анализа систем молекул при очень высокихтемпературах.

При таких температурах максимум кривойраспределения резко “сдвигается” в область больших скоростей, искорости молекул могут даже превысить скорость света.4. Максвелловское распределение молекул по скоростямнельзя использовать для анализа систем молекул при очень низкихтемпературах. При таких температурах максимум кривойраспределения резко “сдвигается” в область малых скоростей, икривая сильно сужается. Тогда в рассматриваемом интервалескоростей может оказаться очень мало молекул, следовательно, ктакому числу частиц нельзя применять методы теории вероятностей.Для примера рассмотрим поведение молекул азота (основнойгаз, составляющий земную атмосферу) при температуре T = 273 К.Напомним, что молярная масса азота  = 0,028 кг/моль.

При такойтемпературе наиболее вероятная скорость молекул, в соответствии с(8.14), составитf(v)vvн vср vср. кв0Рис. 9.4f(v)Iv0IIvvvн Рис. 9.52kT2 RT2  8,31  273 403 м/с.m00, 028Подставим выражение для наиболее вероятной скорости (9.14) в функцию распределения (9.11):32m0v 1 m 2 f   0  e 2kT  4v2  4 v 2kT нf=4 v2 vн3m v2 0e 2 kT32  m0v 2 e 2kT v ;.Используя последнее выражение, очень легко находить ответы на вопросы о распределениичастиц по скоростям. Найдем долю молекул азота, скорости которых принимают значения от 403 м/с до413 м/с (ширина интервала скоростей составляет 10 м/с, а середина интервала – 408 м/с):m v2m v2413N v+ d v4 v2  20kT4 1 413 2  20kT  f dv edv=dv.ve3N vн3 403v403  vнДля вычисления последнего интеграла учтем, что показатель экспоненты можно записать следующимm0 v2 v2 2 .2kTvнКроме того, воспользуемся теоремой о среднем:образом:N4 1 413 2veN vн3 403v2vн2dv =41 4033 408  e240824032 (413  403)  0,02 .Таким образом, только 2 % от общего числа молекул имеют скорости, значения которых лежат ввыбранном интервале.

Если сместить интервал в другой участок скоростей, например, выбрать диапазон1000 1010 м/с (ширина интервала скоростей по-прежнему составляет 10 м/с, а середина интервала –1005 м/с), то только 0,07 % от общего числа молекул попадут в этот интервал скоростей.Весьма любопытен вывод, который получается при ответе на вопрос: “Может ли Земля потерятьатмосферу?” Поскольку вторая космическая скорость (скорость “убегания” от поля тяжести планеты) дляЗемли равна 11200 м/с, то приведенным выше способом можно определить долю молекул, скоростикоторых лежат в диапазоне 11 200  20 000 м/с (ширина интервала скоростей составляет 8800 м/с, асередина интервала – 15 600 м/с). Вычисления в этом случае дают ответN4 1215600eN 403315 60024032 8800  1,8 10 29 .Следовательно, в земной атмосфере все-таки существуют молекулы, скорость которых позволяет импокидать пределы тяготения Земли.

Однако сделанный расчет, конечно же, является только оценочным,63так как температура на границе атмосферы не равна 273 К. Кроме того, разреженность атмосферы в ееверхних слоях не позволяет говорить о справедливости методов теории вероятности в подобныхусловиях.9.4. Барометрическая формулаp+dpРаспределение Максвелла – это распределение молекул поскоростям, или по кинетическим энергиям.Действительно, вdhпоказателе экспоненты в (9.11) стоит отношение кинетической энергиимолекулы к kT .

Произведение постоянной Больцмана и температурыхарактеризует среднюю кинетическую энергию движения молекул, т.е.pэнергию их теплового движения.p = p 0;Установим теперь распределение молекул по потенциальнымEп = 0энергиям. Больцман получил барометрическую формулу – зависимостьРис. 9.6давления газа от высоты в потенциальном поле тяжести Земли.Рассмотрим равновесие некоторого объема газа, находящегося на высоте h от поверхностиЗемли, уровень которой выберем за условный ноль отсчета потенциальной энергии (рис. 9.6).Атмосферное давление на данном уровне обозначим как p0 .

Пусть объем газа – это цилиндр высотойdh . На рис. 9.6 указаны давления, действующие на рассмотренный газовый цилиндр со стороны выше- инижележащих слоев атмосферы. Поскольку столбик газа находится в равновесии, то( p  d p)S  dmg  pS  0 ,где S – площадь основания столбика; dm – его масса.Выразив массу объема газа через его плотность как dm  S dh , получим дифференциальноеуравнениеSg dh  d pS  0 .(9.17)Плотность газа, в соответствии с уравнением состояния идеального газа, определяется как  pm,VRTтогда уравнение (9.17) запишется в видеpg dh .RTЗнак “–” в этом уравнении показывает, что давление газа уменьшается с ростом высоты слоя отgdpdh ,поверхности Земли.

Разделим переменные в уравнении:pRTа потом проинтегрируем левую и правую части:dp  ghhghpdpgRT. p    RT dh ; ln p   RT ; p  p0 e0p00pТак как m0, а m0 gh  Wп , то последнее выражение перепишем следующим образом:Rkp  p0 eW пkT.(9.18)Полученное соотношение и есть барометрическая формула, которая определяет зависимость давленияидеального газа от потенциальной энергии его молекул (от высоты).pПоскольку p  nkT , то ее можно записать в видеT1 > T2 > T3n  n0 e312h0Рис. 9.7W пkT.(9.19)Уравнение (9.19) – это распределение концентрации молекул взависимости от их потенциальной энергии. Из него следует, чтонаибольшая концентрация молекул там, где Wп  0 , т.е. вблизиповерхности Земли. График зависимости (9.18) представлен на рис.9.7.64Справедливость установленного Л. Больцманом закона для земной атмосферы не могла бытьEпроверена в XIX в.: для изменения атмосферного давления в е раз (т.е.

п  1 ) необходимо поднятьсяkTнад уровнем Земли на высоту примерно 9 км.9.5. Распределение энергии молекулы по степеням свободыZZZi = iпост + iврi = 3+3=6i = iпостi=3ОXРис. 9.8YОi = iпост + iврi = 3+2=5YXОYXРис. 9.10Рис. 9.9Механическая энергия любой молекулы идеального газа – это кинетическая энергия еедвижения, так как потенциальное взаимодействие между такими молекулами отсутствует. Энергиядвижения молекулы определяется, в свою очередь, энергией ее поступательного движения, энергией еевращения и энергией колебания атомов в молекуле:Wк  Wпост  Wвращ  Wкол .Будем рассматривать в дальнейшем только “жесткие” молекулы, атомы в которых не совершаютколебаний, т.е.

Е кол  0 . Ранее (см. §9.2) определено, что Wк m0 v23 kT . Это22выражениебыло получено для системы молекул, которые представлялись в виде шариков, упругосоударяющихсядруг с другом. Такие шарики двигались поступательно вдоль любого из направлений трехмернойдекартовой системы координат. Положение такой молекулы в пространстве определяется набором трехнезависимых переменных – координат центра масс шара x, y, z (рис. 9.8). Можно сказать, чтошарообразная молекула способна совершать в пространстве три независимых перемещения.

Вращениемшара вокруг любого из его диаметров при этом можно пренебречь, так как поворот шара вокругдиаметра не изменяет его положения в пространстве.Минимальное число независимых переменных, однозначно определяющих положение тела впространстве (или минимальное число независимых перемещений тела в пространстве)называется числом степеней свободы тела. Из приведенных рассуждений ясно, что число степенейсвободы шарообразной молекулы равно 3. В дальнейшем будем обозначать число степеней свободычерез i. Ясно, что шарообразной молекулу можно считать, если она состоит из одного атома (He, Ar, Ne).Таким образом, для одноатомной молекулы i  3 .Больцман предположил, что кинетическая энергия молекулы равномерно распределена постепеням ее свободы, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций