Конспект лекций_ФИЗИКА_1сем (1175197), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Из этого можно сделать вывод, что между ними существует связь.Энтропия S – аддитивная величина:, где- сумма энтропий тел,входящих в систему.Вероятность сложного события, есть произведение вероятностей состояний:,где W1 – первое состояние; W2 – второе состояние.Аддитивной величиной является логарифм термодинамической вероятности:.Поэтому Л. Больцман предложил:,(1.3.82)где k – коэффициент Больцмана.С этой точки зрения энтропия выступает, как мера беспорядочности, хаотичностисостояния.Например, в ящике черные и белые шары.
Они порознь, есть порядок и W невелика.После встряхивания – шары перемещаются, W увеличивается и энтропия тоже. И сколько102бы не встряхивать потом ящик, никогда черные шары не соберутся у одной стенки, абелые у другой, хотя эта вероятность не равна нулю.Связь между S и W позволяет несколько иначе сформулировать второе началотермодинамики: наиболее вероятным изменением энтропии является ее возрастание.Энтропия – вероятностная статистическая величина.
Утверждение о возрастанииэнтропии потеряло свою категоричность. Её увеличение вероятно, но не исключаютсяфлуктуации.На основе этих рассуждений Р. Клаузиус в 1867 г. и выдвинул гипотезу о тепловойсмерти Вселенной (о ней сказано ранее).Л. Больцман один из первых опроверг эту гипотезу и показал, что закон возрастанияэнтропии – статистический закон, т.е. возможны отклонения.Российские физики Я.Б. Зельдович и И.Д. Новиков так же опровергли эту теорию ипоказали, что Р. Клаузиус не учел, что Вселенная не стационарна и в будущем не перейдетк одному состоянию, так как она эволюционирует, не остается статичной.Энтропия замкнутой системы – максимальна, при достижении системойравновесного состояния.1.3.21. Вероятность события.
Понятие о распределении молекул газа поскоростямС точки зрения атомно-молекулярного строения вещества величины, встречающиеся вмакроскопической физике, имеют смысл средних значений, которые принимаютнекоторые функции от микроскопических переменных системы. Величины такого роданазываются статистическими. Примерами таких величин являются давление, температура,плотность и др.
Большое число сталкивающихся атомов и молекул обуславливает важныезакономерности в поведении статистических переменных, не свойственные отдельныматомам и молекулам. Такие закономерности называются вероятностными илистатистическими.Математическое определение вероятности: вероятность какого-либо события – этопредел, к которому стремится отношение числа случаев, приводящих к осуществлениюсобытия, к общему числу случаев, при бесконечном увеличении последних:.Здесь n´ - число раз, когда событие произошло, а n - общее число опытов.
Отсюдаследует, что Р может принимать значения от нуля до единицы.По определению Лапласа, вероятность можно представить как отношение числаблагоприятных случаев к числу возможных случаев.Определить распределение молекул по скоростям вовсе не значит, что нужноопределить число молекул, обладающих той или иной заданной скоростью. Ибо числомолекул, приходящихся на долю каждого значения скорости равно нулю. Вопрос нужно103поставить так: сколько молекул обладает скоростями, лежащими в интервале,включающем заданную скорость? Так всегда ставятся статистические задачи.Например: на переписи населения, когда указывается возраст 18 лет – это не значит,что 18 лет, 0 часов, 0 минут. Эта цифра свидетельствует, что возраст лежит в интервале от18 до 19 лет.Итак, молекулы движутся хаотически.
Среди них есть и очень быстрые, и оченьмедленные. Благодаря беспорядочному движению и случайному характеру их взаимныхстолкновений, молекулы определённым образом распределяются по скоростям. Этораспределение оказывается однозначным и единственно возможным, и не только непротиворечит хаотическому движению, но именно им и обусловлено.Мы будем искать число частиц (Δn), скорости которых лежат в определённоминтервале значения скорости Δυ (от υ до υ+Δυ). То есть Δn – число благоприятныхмолекул, попавших в этот интервал.Очевидно, что в единице объёма число таких благоприятных молекул тем больше, чембольше Δυ.Ясно также, что Δn должно быть пропорционально концентрации молекул (n). ЧислоΔn зависит и от самой скорости, так как в одинаковых по величине интервалах, но приразных абсолютных значениях скорости, число молекул будет различным.
Смыслсказанного легко понять из простого примера: неодинаково число людей в возрасте от 20до 21 года и от 90 до 91 года. Таким образом,,где f(υ) – функция распределения молекул по скоростям. Перейдя к пределу, получим,что число молекул, попавших в интервал скоростей от υ до υ+Δυ:(1.3.83),Физический смысл f (υ) в том, что это отношение числа молекул, скорости которыхлежат в определенном интервале скоростей, к общему числу молекул в единичноминтервале скоростей:(1.3.84),Таким образом, f(υ) имеет смысл вероятности, то есть показывает, каковавероятность любой молекулы газа в единице объёма иметь скорость, заключённую вединичном интервале, включающем заданную скорость υ. В данном случае f(υ) называютплотностью вероятности.1.3.22. Функция распределения МаксвеллаПусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочноготеплового движения при определенной температуре. После каждого акта столкновениямежду молекулами, их скорости меняются случайным образом.
В результатеневообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесноесостояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.104В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытываютслучайное изменение на Δυx, Δυy, Δυz, причем изменения каждой проекции скоростинезависимы друг от друга. Будем предполагать, что силовые поля на частицы недействуют. Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеетскорость в интервале от υ до υ+Δυ.
При этом мы не можем ничего определенного сказатьо точном значении скорости той или иной частицы υi, поскольку за столкновениями идвижениями каждой из молекул невозможно проследить ни в опыте, ни в теории. Такаядетальная информация вряд ли имела бы практическую ценность.Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было полученознаменитым английским ученым Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью методов теориивероятностей.Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик.
Работыпосвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике,оптике, механике, теории упругости. Установил статистический закон,описывающий распределение молекул газа по скоростям. Самымбольшим достижением Максвелла является теория электромагнитногополя, которую он сформулировал в виде системы несколькихуравнений,выражающихвсеосновныезакономерностиэлектромагнитных явлений.Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-й составляющейскорости) из (1.3.83) имеемтогда(1.3.85)где А1 – постоянная, равнаяГрафическое изображение функции показано на рисунке 1.3.20.
Видно, что долямолекул со скоростьюне равна нулю. При,(в этом физическийсмысл постоянной А1).105Рис. 1.3.20. Распределение молекул газа по скоростямПриведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по xкомпонентам скорости. Очевидно, что и по y- и z-компонентам скорости также можнополучить:Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трёмусловиям: x-компонента скорости лежит в интервале от υх до υх+dυх; y-компонента, винтервале от υy до υy+dυy; z-компонента, в интервале от υz до υz+dυz будет равнапроизведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности:где, или(1.3.86)Формуле (1.3.86) можно дать геометрическое истолкование: dnxyz – это число молекулв параллелепипеде со сторонами dυx, dυy, dυz, то есть в объёме dV=dυxdυydυz(рис.
1.3.21),находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей.Эта величина (dnxyz) не может зависеть от направления вектора скорости . Поэтомунадо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от ихнаправления, то есть по абсолютному значению скорости.Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых заключены винтервале от υ до υ+dυ по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через однусекунду в шаровом слое толщиной dυ и радиусом υ (рис. 1.3.22). Этот шаровой слойскладывается из тех параллелепипедов, о которых говорилось выше.106Рис. 1.3.21Рис. 1.3.22Объём этого шарового слояОбщее число молекул в слое, как следует из (1.3.86)Отсюда следует закон распределения молекул по абсолютным значениямскоростей Максвелла:(1.3.87)где– доля всех частиц в шаровом слое объема dV, скорости которых лежат винтервале от υ до υ+dυ.При dυ = 1 получаем плотность вероятности, или функцию распределениямолекул по скоростям:(1.3.88)Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скоростикоторых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.Обозначим:тогда из (1.3.88) получим:(1.3.89)График этой функции показан на рисунке 1.3.23.107Выводы:Рис.
1.3.23.•Вид распределения молекул газа по скоростям для каждого газа зависит от родагаза (m) и от параметра состояния (Т). Давление P и объём газа V нараспределение молекул не влияют.•В показателестепени стоит отношение , т.е. кинетической энергии,соответствующей данной скорости υ к (kТ) – средней энергии тепловогодвижения молекул при данной температуре, значит распределение Максвеллахарактеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (тоесть показывает, какова вероятность при данной температуре иметь именнотакое значение кинетической энергии).Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц поскоростям. Для этого воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга.Согласно этому соотношению координаты и импульс частицы не могут одновременноиметь определенное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
