Диссертация (1172964), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

4.2, выделить расчетную ячейку′′ (рисунок 4.2) и проинтегрировать уравнения по площади этой ячейки.Интегрирование уравнения неразрывности (первого уравнения системы(4.32)) позволяет перейти от дифференциальной формы к виду (4.10), откуда,+∆ =( ∙ ), − [( ∙ ∙ )′ − ( ∙ ∙ )′ ] ∙,+∆∆∆ .(4.33)Проинтегрируем по площади ячейки ′′ уравнение количества движения(второе уравнение системы (4.32):( ∙ ∙ ) ( ∙ + ∙ 2 ∙ + ∙ ∙ ∙ cos )∬ [+] =′′(4.34)= − ∬ (, ) ∙ ∙ ,′ ′ где ∙ ||(, ) = ∙ ∙ ∙ (+ sin ).г ∙ ш 2По формуле Грина заменим двойной интеграл в левой части (4.34) интеграломпо замкнутому контуру ′′:134∮ [( ∙ + ∙ 2 ∙ + ∙ ∙ ∙ cos ) ∙ − ∙ ∙ ∙ ] =′′= − ∬ (, ) ∙ ∙ ′ ′ или′∫ − ∙ ∙ ∙ + ∫ ( ∙ + ∙ 2 ∙ + ∙ ∙ ∙ cos ) ∙ +′+ ∫ − ∙ ∙ ∙ + + ∫( ∙ + ∙ 2 ∙ + ∙ ∙ ∙ cos ) ∙ =′(4.35)′= − ∬ (, ) ∙ ∙ .′ ′ Также уравнение (4.35) можно записать в виде:+∆ ⁄2∫+∆−( ∙ ∙ ) ∙ + ∫ ( ∙ + ∙ 2 ∙ + ∙ ∙ ∙ cos )−∆ ⁄2+∆⁄2+∫+∆2∙ ++∆( ∙ ∙ )+∆ ∙ − ∫ ( ∙ + ∙ 2 ∙ + ∙ ∙ ∙ cos )−∆⁄2∆−2∙ == − ∬ (, )′ ′ или∆+2∫ [( ∙ ∙ )+∆ − ( ∙ ∙ ) ] ∙ +∆−2+∆( ∙ + ∙ 2 ∙ + ∙ ∙ ∙ cos ) ∆ −+2+∫ [] =2−( ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ cos ) ∆−2= − ∬ (, ) ∙ ∙ .′ ′ (4.36)135В конечно-разностном виде через средние значения параметров на сторонахячейки ′′ уравнение (4.36) запишется как:[( ∙ ∙ ),+∆ − ( ∙ ∙ ), ] ∙ ∆ +( ∙ + ∙ 2 ∙ + ∙ ∙ ∙ cos )′ −+[] ∙ ∆ =−( ∙ + ∙ 2 ∙ + ∙ ∙ ∙ cos )′= −, ∙ ∆ ∙ ∆или1∙ ⟦( ∙ ∙ ), −( ∙ ),+∆( ∙ )′ − ( ∙ )′ + ( ∙ 2 ∙ )′ − ( ∙ 2 ∙ )′ + ∆−[]− (4.37)+ ∙ cos ∙ 〈( ∙ )′ − ( ∙ )′ 〉∆,+∆ =−, ∙ ∆⟧.Таким образом, с учетом полученных соотношений (4.33) и (4.37), системауравнений (4.32) для расчета параметров потока жидкости в самотечной ячейке вконечно-разностном виде записывается как,+∆ = у ,,+∆ = 0 ∙ [1 +,+∆ =1у − 0],∙ ⟦( ∙ ), − [( ∙ ∙ )′ − ( ∙ ∙ )′ ] ∙∆⟧,∆ (4.38),+∆1,+∆ =∙ ⟦( ∙ ∙ ), − , ∙ ∆ −( ∙ ),+∆( ∙ )′ − ( ∙ )′ + ( ∙ 2 ∙ )′ − ( ∙ 2 ∙ )′ + ∆−[] ∙ ⟧,+ ∙ cos , ∙ 〈( ∙ )′ − ( ∙ )′ 〉∆{где , = , ∙ ∙ , ∙ [, ∙ |, |г , ∙ ш , 2+ sin , ],г , и ш , определяются согласно формулам (4.26), (4.27).Для определения значений параметров на боковых гранях ′ и ′ самотечной ячейки ′ ′ нужны замыкающие уравнения, аналогичные уравнениям (4.20)136– (4.22), полученным для полностью заполненных ячеек.

Уравнения на гранях самотечной ячейки, в зависимости от того, граничит с ней самотечная или полностьюзаполненная ячейка будут получены в п. 4.4.4.4. Особенности сопряжения двух самотечных участков, самотечногоучастка с напорнымВоспользуемся решением задачи о распаде произвольного разрыва. Введемзначение р координаты границы разрыва течения жидкости.

Тогда скорость разрыва будет определяться как = р ⁄.Рассмотрим некоторую область жидкости, охватывающую разрыв и в некоторый момент времени заключенную между сечениями 1 () и 2 (). Для него справедлив закон сохранения массы [54]:2 ()= [ ∫ ∙ ∙ ] = 0.(4.39)1 ()Интеграл в формуле (4.39) разобьем на два интеграла:р− ()2 ()[ ∫ ∙ ∙ ] + [ ∫ ∙ ∙ ] = 0,1 ()р+ ()и продифференцируем каждое слагаемое по правилам математического анализа:р− ()[ ∫1 ()( ∙ )∙ + ( ∙ )− ∙ − ( ∙ )1 ∙ 1 ] +2 ()+[ ∫р+ ()(4.40)( ∙ )∙ + ( ∙ )2 ∙ 2 − ( ∙ )+ ∙ ] = 0,137где 1 = 1 ⁄, 2 = 2 ⁄ – скорости жидкости в сечениях, ограничивающихрассматриваемую область.В уравнении (4.40) и далее параметры потока жидкости слева от границы разрыва обозначены знаком (), справа от границы – знаком (+).В первой скобке уравнения (4.40) добавим и вычтем произведение ( ∙ )− ∙ − .

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница можно произвести заменур− ()( ∙ )− ∙ − − ( ∙ )1 ∙ 1 = ∫1 ()( ∙ ∙ )∙ .Аналогично во второй скобке добавим и вычтем произведение ( ∙ )+ ∙ + изаменим2 ()( ∙ )2 ∙ 2 − ( ∙ )+ ∙ + = ∫р+ ()( ∙ ∙ )∙ .Тогда с учетом уравнения неразрывности потока (первое уравнение в системе(4.6)), уравнение (4.40) можно записать как[( ∙ )− ∙ − ( ∙ )− ∙ − ] + [( ∙ )+ ∙ + − ( ∙ )+ ∙ ] = 0или, если принять, что − ≅ + , − ∙ ( − − ) = + ∙ ( + − ).(4.41)Запишем также для области жидкости, заключенной между сечениями 1 () и2 (), закон изменения количества движения [54]:2 ()[ ∫ ∙ ∙ ∙ ] = ∑ внеш.

,1 ()(4.42)138где ∑ внеш. – сумма всех внешних сил, действующих на область жидкости, заключенную между сечениями 1 () и 2 (), в проекции на ось .Выполнив дифференцирование левой части уравнения (4.42) аналогично тому,как это было сделано выше для уравнения (4.39), получим[( ∙ ∙ )− ∙ − ( ∙ ∙ )− ∙ − ] + [( ∙ ∙ )+ ∙ + − ( ∙ ∙ )+ ∙ ] == ∑ внеш.

.(4.43)Внешними силами для области жидкости, заключенной между сечениями1 () и 2 (), являются сила давления и сила тяжести. Проекция разности сил давления на торцах элемента жидкости, охватывающего разрыв, равна (− − + ) ∙ ,где – площадь поперечного сечения трубопровода. Разность сил тяжести на границе контакта ячеек возникает за счет различия уровней жидкости в ячейках. Еепроекция на ось зависит от взаимного расположения частично заполненной иполностью заполненной ячеек. Если полностью заполненная ячейка следует за заполненной частично по ходу движения жидкости, проекция разности сил тяжестиравна2(+ ∙ ∙ cos ∙ ∫ ∙ ℎ −− ∙ ∙ cos ∙ ∫ ∙ ℎ),00если наоборот, то2(+ ∙ ∙ cos ∙ ∫ ∙ ℎ − − ∙ ∙ cos ∙ ∫ ∙ ℎ).00Таким образом, при условии − ≅ + , уравнение (4.43) преобразуется к виду − ∙ − ∙ ( − − ) − + ∙ + ∙ ( + − ) =2(+ − − ) ∙ =± ∙ cos ∙ ∫ ∙ ℎ .(4.44)Вернемся к рассмотрению самотечной ячейки ′ ′ , имеющей координату.1391.

Грань ′ . Она является границей раздела между этой ячейкой и ячейкой скоординатой ( − ∆).Рассмотрим сначала случай 1, когда ячейка с координатой ( − ∆) заполненаполностью (рисунок 4.5). Тогда для грани ′ можно записать систему уравнений(4.41), (4.44) и уравнение на характеристике положительного наклона на левой(полностью заполненной) ячейке − ∙ ( − − ′ ) = + ∙ ( + − ′ ), − ∙ − ∙ ( − − ′ ) − + ∙ + ∙ ( + − ′ ) =2(+ − − ) ∙ −=+ ∙ cos ∙ ∫ ∙ ℎ ,−(4.45)−−−{ + ∙ ∙ = где+−∆ ,+ −∆ = −∆ +( ∙ ∙ )−∆ − 0,5 ∙ −∆ ∙ Δ.Рисунок 4.5 – Расчет параметров на границе ′ , если слева от ячейки ′ ′ находится полностью заполненная ячейкаа) Ситуация, показанная на рисунке 4.5 может возникать, если граница ′располагается на изломе профиля (обычно, в его вершине). В этом случае давлениена границе ′ = у , плотность ′ находится как функция у по формуле (4.11):′ = 0 ∙ [1 + (у − 0 )⁄ ], а в определении скорости ′ и площади сеченияпотока ′ на границе ′ возможны несколько случаев.140Параметры справа от границы равны + = , + = , скорость слева от границы может быть определена из последнего уравнения системы (4.44): − =(+ −∆ − у )⁄( ′ ∙ ), а площадь − = 0 ∙ [1 + 0 ∙ (у − 0 )⁄( ∙ )].Если скорости − < 0 и + > 0, т.е.

направлены в стороны от границы, то скорость на границе ′ = 0. Площадь ′ сечения на границе является функциейудавленияиопределяютсяпоформуле(4.12):′ = 0 ∙ [1 +0 ∙ (у − 0 )⁄()].В ином случае следует определить направление скорости ′ движения границы из первое уравнение системы (4.45): ′ = ( − ∙ − − + ∙ + )⁄( − − + ).Если ′ < 0, то на границу приходят параметры справа: ′ = + , ′ = + , аесли ′ ≥ 0 – параметры слева: ′ = − , ′ = − .б) Если сечение находится не на изломе профиля, то также + = , + = у , + = . Кроме того, можно в первом приближении считать, что − ≅ −Δ , − ≅−Δ . Тогда систему уравнений (4.45) можно преобразовать к виду−Δ ∙ − − ∙ ′ =,−Δ − −Δ ∙ ( − )2 − −Δ ∙ ′ ∙ − − ∙ 2 + ∙ ′ ∙ =(+ −∆ − у ) ∙ −Δ−= −Δ ∙ ∙ −+ ∙ 1 ∙ cos ,−Δ{22(4.46)1 = ∫ ∙ ℎ = ∫ ∙ ℎ − ∫ ∙ ℎгде00или согласно (4.31)3 2 = (2) − () =∙ ( + ∙ cos − 2 ∙ sin + ∙ sin3 ).1622 321(4.47)Путем подстановки первого уравнения системы (4.45) во второе и несложныхпреобразований получаем квадратное уравнение относительно ( − − ):141( − − )2 +−Δ − −Δ − ∙ ∙ ( − − ) +∙ ∙ = 0,(4.48)где+ −∆ − у 1 = −+ ∙ ∙ 1 ∙ cos .−Δ ∙ Решение уравнения (4.48) имеет вид − = −2∙− 4 ∙ 1 + √1 − −Δ∙.(4.49)Вычисленная по формуле (4.49) скорость − жидкости может быть подставлена в первое уравнение системы (4.46), по которому определяется скорость ′разрыва как ′ = (−Δ ∙ − − ∙ )⁄(−Δ − ).

По знаку ′ можно определить, параметры слева или справа приходят на разрыв. Если ′ < 0 или ′ не удалось определить из-за отрицательного подкоренного выражения в формуле (4.49), то ударного повышения давления не происходит и подставляются значения параметров справа от разрыва: ′ = + = у ,′ = + = , ′ = + = , а плотность ′ находится как функция от у :′ = 0 ∙ [1 + (у − 0 )⁄ ]. Если ′ ≥ 0, но ′ < + , то ударного повышения давления также непроисходит: ′ = у , плотность ′ и площадь ′ сечения потока являютсяфункцией давления у и определяются как ′ = 0 ∙ [1 + (у − 0 )⁄ ], ′ =0 ∙ [1 + 0 ∙ (у − 0 )⁄( ∙ )], а скорость ′ определяется из последнего уравнения системы (4.45) как ′ = (+ −∆ − ′ )⁄( ′ ∙ ). Для остальных значений ′ скорость на границе ячеек ′ = − вычисляется по формуле (4.49), давление ′ = − определяется из последнего уравнения системы (4.45) как ′ = + −∆ − −Δ ∙ ∙ ′ , а плотность ′ и площадь142′сечения потока являются функцией давления ′ : ′ = 0 ∙ [1 +(′ − 0 )⁄], ′ = 0 ∙ [1 + 0 ∙ (′ − 0 )⁄( ∙ )].Рассмотрим случай 2, когда ячейка с координатой ( − ∆) также самотечная(рисунок 4.6).

Давление на границе двух самотечных ячеек ′ = у , а значитплотность жидкости определяется как ′ = 0 ∙ [1 + (у − 0 )⁄]. Кроме того,для этого случая характерны равенства − = −∆ , − = −∆ , + = , + = .Рисунок 4.6 – Расчет параметров на границе ′ , если слева от ячейки ′ ′ находится самотечная ячейкаа) Ситуация как на рисунке 4.6 может возникнуть на изломе профиля трубопровода. Если при этом скорости − < 0 и + > 0, т.е. направлены в стороны отграницы, то скорость на границе ′ = 0, а площадь ′ сечения на границе можетбыть определена как ′ = ( − + + )⁄2.б) В других случаях должен быть определен знак скорости ′ границы ′ ,величина которой определяется из первого уравнения системы (4.46) как ′ =( − ∙ − − + ∙ + )⁄( − − + ).

Если ′ < 0, то на границу приходят параметрыправой ячейки: ′ = + , ′ = + , а если ′ ≥ 0 – параметры левой ячейки:′ = − , ′ = − .1432. Грань ′. Она является границей раздела ячеек с координатами и( + ∆). Введем параметр ′ , отражающий скорость движения границы. Параметры потока жидкости слева от границы обозначим знаком (): − , − , − , справаот границы знаком (+): + , + , + .Рассмотрим случай 1, когда ячейка, имеющая координату ( + ∆), полностьюзаполнена (рисунок 4.7). Тогда для грани ′ можно записать систему уравнений − ∙ ( − − ′ ) = + ∙ ( + − ′ ), − ∙ − ∙ ( − − ′ ) − + ∙ + ∙ ( + − ′ ) =2(+ − − ) ∙ +=− ∙ cos ∙ ∫ ∙ ℎ ,+(4.50)+++{ − ∙ ∙ = −+∆ ,где− +∆ = +∆ −( ∙ ∙ )+∆ + 0,5 ∙ +∆ ∙ Δ.Рисунок 4.7 – Расчет параметров на границе ′, если справа от ячейки ′ ′ находится полностью заполненная ячейкаВ отличие от системы уравнений (4.45), в системе (4.50) во втором уравненииперед последним слагаемым стоит знак (-).

Это является следствием изменения взаимного расположения частично заполненной и полностью заполненной ячеек.Кроме того, последнее уравнение системы (4.50) является характеристикой отрицательного наклона на правой (полностью заполненной) ячейке.144Параметры слева от границы определяются как − = , − = у , − = .Кроме того, можно в первом приближении считать, что + ≅ +Δ , + ≅ +Δ .а) Если ситуация, показанная на рисунке 4.7, возникла тогда, когда граница′ располагается на изломе профиля (обычно в низине), а скорости − < 0 и + >0 (направлены в стороны от границы), давление на границе ′ = у , скоростьжидкости на границе ′ = 0, а плотность ′ и площадь ′ сечения находятсякаку :функции′ = 0 ∙ [1 + (у − 0 )⁄],′ = 0 ∙ [1 +0 ∙ (у − 0 )⁄( ∙ )].б) Для ситуаций, отличных от а), систему уравнений (4.50) можно преобразовать к виду+Δ ∙ + − ∙ ′ =,+Δ − ∙ 2 − ∙ ′ ∙ − +∆ ∙ ( + )2 + +∆ ∙ ′ ∙ + =(4.51)−( +∆ − у ) ∙ +Δ= +Δ ∙ ∙ + +− ∙ 1 ∙ cos ,+Δ{2где3 2 = ∫ ∙ ℎ =∙ ( + ∙ cos − 2 ∙ sin + ∙ sin3 ).1622 321Путем подстановки первого уравнения системы (4.51) во второе и некоторыхпреобразований получаем квадратное уравнение относительно ( + − ):( + − )2 −+Δ − +Δ − ∙ ∙ ( + − ) −∙ ∙ = 0,где− +∆ − у 1 = +− ∙ ∙ 1 ∙ cos .+Δ ∙ Решение уравнения (4.52) имеет вид(4.52)145 + = −2∙4∙1 + √1 +∙+Δ − .(4.53)Вычисленная по формуле (4.53) скорость + жидкости может быть подставлена в первое уравнение системы (4.51), по которому определяется скорость ′разрыва как ′ = (+Δ ∙ + − ∙ )⁄(+Δ − ).

Характеристики

Список файлов диссертации