Диссертация (1172964), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Они позволяют находить гидродинамические функции течения в момент времени + Δ, если известны значенияэтих функций в момент времени . Однако, это решение будет справедливымтолько тогда, когда давления жидкости во всех сечениях трубопровода всегда будут оставаться выше давления у упругости насыщенных паров этой жидкости, т.е.для случая непрерывных течений, когда в потоке гарантировано отсутствуют разрывы сплошности. В обратном случае оказывается необходимым разработка других методов расчета.4.2.

Альтернативная теория и метод расчета переходных процессов вмагистральных трубопроводахДля расчета как непрерывных течений, так и течений с разрывом сплошности,существует другой метод. Это метод сквозного счета, основанный на идеяхС. К. Годунова [18]. К решению задач данного типа этот метод был примененМ.

В. Лурье и Л. В. Полянской [65, 66].Как указано в п. 1.6, рассмотрение задач, связанных с переходными процессами в трубопроводе, основано на совместном решении двух уравнений. Это уравнение неразрывности (1.46) и уравнение количества движения (1.51):122( ∙ ) ( ∙ ∙ )+= 0,( ∙ ) ( + ∙ 2 )1 ∙ ∙ ||+=−(,)∙∙−∙∙.{ 2(4.6)Для реализации метода сквозного счета плоскость переменных (, ) разбиваем прямоугольной сеткой со сторонами ячейки ∆ и ∆. Шаг сетки должен выбираться таким образом, чтобы выполнялось условие ∆ ≥ ∆ (возьмем ∆ = 2 ∙ ∙∆). Выделим расчетную ячейку ′′ (рисунок 4.2) и проинтегрируем уравнениясистемы (4.6) по площади этой ячейки.Рисунок 4.2 – Метод сквозного счета1) Уравнение неразрывности.В результате интегрирования первого уравнения системы (4.6) по площадиячейки ′′ получаем:∬ [′′( ∙ ) ( ∙ ∙ )+] ∙ = 0.(4.7)123Формула Грина связывает двойной интеграл по плоской области с интеграломпо контуру этой области [13]:∮( ∙ + ∙ ) = ∬ ( − ) ∙ ∙ , где – замкнутая область, ограниченная контуром , причем криволинейный интеграл в левой части берется по контуру в направлении против часовой стрелки.В соответствии с формулой Грина интеграл (4.7) можно представить в качестве интеграла по замкнутому контуру ′′:∮ ( ∙ ∙ ∙ − ∙ ∙ ) = 0,′′который, в силу свойства аддитивности, записать в виде суммы четырех интегралов:′′∫ − ∙ ∙ + ∫ ∙ ∙ ∙ + ∫ − ∙ ∙ + ∫ ∙ ∙ ∙ = 0.′(4.8)′Уравнение (4.8) может быть записано в виде:∆+2+∆∆+2− ∫ ( ∙ ) ∙ + ∫ ( ∙ ∙ )+∆⁄2 ∙ + ∫ ( ∙ )+∆ ∙ −∆−2+∆∆−2− ∫ ( ∙ ∙ )−∆⁄2 ∙ = 0или+∆2∫ [( ∙ )+∆ − ( ∙ ) ] ∙ +−∆2(4.9)+∆+ ∫ [( ∙ ∙ )+∆⁄2 − ( ∙ ∙ )−∆⁄2 ] ∙ = 0.124Уравнение (4.9) с точностью до малых высшего порядка может быть записанов конечно-разностном виде через средние значения параметров на сторонах ячейки:[( ∙ ),+∆ − ( ∙ ), ] ∙ ∆ + [( ∙ ∙ )′ − ( ∙ ∙ )′ ] ∙ ∆ = 0или( ∙ ),+∆ = ( ∙ ), − [( ∙ ∙ )′ − ( ∙ ∙ )′ ] ∙∆.∆(4.10)Плотность , жидкости определяется с учетом поправки на давление (1.39)как, = 0 + Δ, = 0 ∙ [1 +, − 0],(4.11)а площадь , сечения трубопровода с учетом поправки на расширение под действием давления (1.44) как, = 0 + ∆, = 0 ∙ [1 +0 ∙ (, − 0 )].∙(4.12)Рассмотрим произведение зависимостей (4.11) и (4.12):, − 0 0 ∙ (, − 0 )+]=∙(4.13)0 0 ∙ 01= 0 ∙ [0 + (, − 0 ) ∙ ( +)] = 0 ∙ [0 + (, − 0 ) ∙ 2 ] .∙, ∙ , ≅ 0 ∙ 0 ∙ [1 +Следует заметить, что преобразования (4.13) выполнены в пренебрежении слагае2мым 0 ∙ (, − 0 ) ⁄( ∙ ∙ ) как малым высшего порядка, а также с использованием формулы (1.48) для скорости распространения волн в трубопроводе.В результате подстановки (4.13), уравнение (4.10) принимает вид:(,+∆ − 0 ) ∙00∆= (, − 0 ) ∙ 2 − [( ∙ ∙ )′ − ( ∙ ∙ )′ ] ∙2∆125или,+∆2∆= , − [( ∙ ∙ )′ − ( ∙ ∙ )′ ] ∙.0∆(4.14)2) Уравнение количества движения.Аналогично поступим со вторым уравнением системы (4.6).

Проинтегрируемего по площади ячейки ′′:( ∙ ) ( + ∙ 2 )∬ [+] ∙ ∙ = − ∬ (, ) ∙ ∙ ,(4.15)′ ′ ′′где(, ) = (, ) ∙1 ∙ ∙ ||∙+∙∙ .2По формуле Грина заменим двойной интеграл в левой части (4.15) интеграломпо замкнутому контуру ′′:∮ [( + ∙ 2 ) ∙ − ∙ ∙ ] = − ∬ (, ) ∙ ∙ ′ ′ ′′или′′∫ − ∙ ∙ + ∫ ( + ∙ 2 ) ∙ + ∫ − ∙ ∙ + ∫( + ∙ 2 ) ∙ =′= − ∬ (, ) ∙ ∙ .′ ′ Также уравнение (4.16) можно записать в виде:′(4.16)126∆+2++∆∆2∫ −( ∙ ) ∙ + ∫ ( + ∙ 2 )+∆⁄2 ∙ + ∫ ( ∙ )+∆ ∙ −∆−2−∆2+∆− ∫ ( + ∙ 2 )−∆⁄2 ∙ = − ∬ (, ) ∙ ∙ ′ ′ или+∆2∫ [( ∙ )+∆ − ( ∙ ) ] ∙ +−∆2+∆+ ∫ [( + ∙ 2 )+∆⁄2 − ( + ∙ 2 )−∆⁄2 ] ∙ == − ∬ (, ) ∙ ∙ .(4.17)′ ′ В конечно-разностном виде через средние значения параметров на сторонахячейки уравнение (4.17) запишется как:[( ∙ ),+∆ − ( ∙ ), ] ∙ ∆ + [( + ∙ 2 )′ − ( + ∙ 2 )′ ] ∙ ∆ == −, ∆∆или,+∆ =( ∙ ), − [( + ∙ 2 )′ − ( + ∙ 2 )′ ] ∙,+∆∆− , ∙ ∆∆.

(4.18)Таким образом, с учетом полученных уравнений (4.14), (4.11) и (4.18) запишемокончательный вид системы уравнений:127,+∆,+∆2∆= , − ∙ [( ∙ ∙ )′ − ( ∙ ∙ )′ ] ∙,0∆,+∆ − 0= 0 ∙ [1 +],,+∆ ={( ∙ ), − [( + ∙ 2 )′ − ( + ∙ 2 )′ ] ∙,+∆(4.19)∆− , ∙ ∆∆,где, = , ∙ [(, , ) ∙1 , ∙ |, |∙+ ∙ sin(, )],2sin() = ⁄ – синус угла наклона трубопровода к линии горизонта.Система (4.19) позволяет определять величины давления и скорости ,+∆ и,+∆ в зависимости от координаты в момент времени + ∆ по известным значениям тех же параметров , и , в момент времени .3) Замыкающие уравнения.Следует заметить, что в системе уравнений (4.9) используются неизвестныезначения параметров на боковых гранях ′ и ′ счетной ячейки ′ ′ (рисунок 4.2).

Для их нахождения используем метод характеристик, описание которогодано в п. 4.1.Рассмотрим ячейку ′ ′ и две соседние с ней слева и справа (рисунок 4.3).Проведем к боковым граням ′ и ′ характеристики положительного (+) и отрицательного (-) наклона.128Рисунок 4.3 – К выводу замыкающих уравненийТогда на грани ′ по характеристике положительного наклона′ + ( ∙ ∙ )′ = −∆, + ( ∙ ∙ )−∆, − 0,5 ∙ −∆, ∙ Δ,а по характеристике отрицательного наклона′ − ( ∙ ∙ )′ = , − ( ∙ ∙ ), + 0,5 ∙ , ∙ Δ.Складывая оба уравнения на характеристиках, затем вычитая из первого уравнениявторое и добавляя зависимость (4.11) плотности от давления, получаем системууравнений для определения параметров на грани ′ :′ =+ −∆, + − ,2,′ − 0],+ −∆, − − ,=,2 ∙ ∙ ′′ = 0 ∙ [1 + ′{ (4.20)где+ = + ( ∙ ∙ ) − 0,5 ∙ ∙ Δ,− = − ( ∙ ∙ ) + 0,5 ∙ .∙ Δ(4.21)129По аналогии для определения параметров на грани ′ можно получить:′ =+ , + − +∆,2′ = 0 ∙ [1 + ′={ ,′ − 0],+ , − − +∆,2 ∙ ∙ ′(4.22).Уравнения (4.20) – (4.22) дополняют уравнения (4.19) и все вместе составляютзамкнутую систему уравнений для решения задач переходных процессов на участках напорного течения, т.е.

при > у . Метод расчета участков безнапорного течения будет рассмотрен ниже в п. 4.3.4.3. Метод расчета самотечного течения жидкости при переходных процессахв магистральных трубопроводахЕсли во время переходных процессов в сечении магистрального трубопроводадавление опускается до давления у упругости насыщенных паров перекачиваемойжидкости, то возникает разрыв сплошности потока. На некотором участке возникает самотечное (безнапорное) течение, при котором жидкость движется неполнымсечением, а над ее поверхностью образуется парогазовая область.Для самотечных течений система уравнений (4.6) претерпевает изменения.Уравнение неразрывности потока (первое уравнение системы (4.6)) сохраняется втом же виде, а уравнение количества движения записывается в как( ∙ ∙ ) ( ∙ + ∙ 2 ∙ ) ( ∙ ∙ cos() ∙ ∙ ℎс )++= ∙ ∙ ∙ ∙ ||=−− ∙ ∙ ∙ sin().(4.23)г ∙ ш 2130Здесь – площадь поперечного сечения, занятого жидкостью; ℎс – глубина центратяжести смоченной части сечения трубопровода; г – гидравлический радиус; ш –коэффициент Шези.В левой части уравнения (4.23) первые два слагаемые такие же, как во второмуравнении системы (4.6), с тем лишь отличием, что в случае расчета самотечногоучастка ≠ .

Третье слагаемое в левой части уравнения (4.23) является движущей силой Буссинеска, связанной с тем, что свободная поверхность жидкости непараллельна нижней образующей трубы [7].Первое слагаемое в правой части уравнения (4.23) отражает силу трения жидкости о внутреннюю поверхность трубопровода. Для безнапорных течений коэффициент ш играет ту же роль, что и коэффициент для напорных. В первом приближении иногда используют формулу ш = √8 ∙ ⁄, заменяя (вследствие того,что сечение заполнено не полностью) диаметр значением 4 ∙ г . Второе слагаемоев правой части уравнения (4.23), как и во втором уравнении системы (4.6), определяет скатывающую составляющую силы тяжести.Для вычисления коэффициента ш Шези также можно использовать формулуПавловского, которая для гладких труб записывается какг 1⁄6ш =.0,012(4.24)Гидравлическим радиусом г называется отношение площади сечения, занятого жидкостью, к смоченному периметру с .

Если обозначить буквой центральный угол (0 ≤ ≤ 2) (рисунок 4.4), площадь сечения , занятого жидкостью,определится как 2 1 22 = ∙ ( ) − ∙ ( ) sin() =∙ ( − sin()),2 22 28смоченный периметр с как(4.25)131с =∙,2(4.26)а гидравлический радиусг = 2∙ sin()== ∙ (1 −).с ∙ 4(4.27)Рисунок 4.4 – Сечение трубопровода на самотечном участкеДля полностью заполненного сечения = 2 ∙ и г = ⁄4.Определим функцию() = ∙ ℎс = ∫ ∙ ℎ ,(4.28)0входящую в движущую силу Буссинеска.Уровень ℎ жидкости в сечении трубопровода (рисунок 4.4) определяется какℎ=∙ (1 − cos ( )),22т.е.ℎ =∙ sin ( ) ∙ .42Подставляя выражения (4.29) и (4.24) в (4.28) получаем(4.29)1323() =3∙ ∫( − sin()) ∙ sin ( ) ∙ =∙ ∫( − sin()) ∙ sin ( ) ∙ =322322003=∙ ∫ ∙ sin ( ) ∙ − ∫ sin() ∙ sin ( ) ∙ .3222⏟⏟0012()(4.30)Проинтегрируем выражения 1 и 2 , входящие в уравнение (4.30):1 = ∫ ∙ sin ( ) ∙ = −2 ∙ ∫ ∙ cos ( ) =2200= −2 ∙ ∙ cos ( ) + 2 ∙ ∫ cos ( ) ∙ == −2 ∙ ∙ cos ( ) + 4 ∙ sin ( ),222202 = ∫ sin() ∙ sin ( ) ∙ = 2 ∙ ∫ sin2 ( ) ∙ cos ( ) ∙ = 4 ∙ ∫ ∙ sin ( ) =222200=04∙ sin3 ( ).32Получаем() =1∙ 3 ∙ (1 − 2 ) =3232=∙ (− ∙ cos ( ) + 2 ∙ sin ( ) − ∙ sin3 ( )).162232(4.31)Итак, система дифференциальных уравнений для расчета самотечного теченияжидкости во время переходных процессов в трубопроводе имеет вид:133( ∙ ) ( ∙ ∙ )+= 0,( ∙ ∙ ) ( ∙ + ∙ 2 ∙ + ∙ ∙ ∙ cos())(4.32)+= ∙ ∙ ∙ ∙ ||=−− ∙ ∙ ∙ sin(){г ∙ ш 2где определяется в зависимости от центрального угла по формуле (4.31).Для того, чтобы уравнения системы (4.32) привести к конечно-разностномувиду, нужно, аналогично тому, как это сделано в п.

Характеристики

Список файлов диссертации