FN_Alg09 (1172023), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. . , uk , v k будет базисом этогоподпространства. Матрица линейного оператора в указанном базисе будет иметь видC(α0 , β0 )E00 ...000C(α0 , β0 )E0 ...0000C(α0 , β0 ) E . . .00,Ck (α0 , β0 ) = ..................................0000 . . . C(α0 , β0 )E0000 ...0C(α0 , β0 )ÌÃÒÓÔÍ-12*ÌÃÒÓAv 1 = β0 u1 + α0 v 1 .С учетом равенств Aej = ej−1 + λ0 ej , Aej = ej−1 + λ0 ej заключаем, чтоAuj = uj−1 + α0 uj − β0 v j ,ÔÍ-12Случай, когда характеристическое уравнение линейного оператора имеет комплексные корни, можно рассмотреть в рамках комплексного линейного пространства.

В отличиеот действительного линейного пространства элементы комплексного линейного пространства можно умножать на комплексные числа. Все восемь аксиом линейного пространстваостаются неизменными. Сохраняются и все результаты, полученные в действительном случае. В частности, любую квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как матрицулинейного оператора, записанную в данном базисе.В комплексном линейном пространстве характеристическое уравнение имеет ровно n корнейс учетом их кратности, а любой линейный оператор приводится к жордановой форме.Если в действительном линейном пространстве характеристическое уравнение линейногооператора имеет комплексные корни, то канонический вид такого оператора можно построитьс выходом в комплексное линейное пространство.

Это можно выполнить следующим образом.Матрицу линейного оператора можно интерпретировать как матрицу другого линейногооператора, действующего в комплексном линейном пространстве Cn . Построив каноническийбазис, нужно модифицировать его таким образом, чтобы векторы нового базиса выражалисьчерез векторы стандартного базиса с помощью действительных коэффициентов. В этом случаепостроенный базис можно интерпретировать и как базис действительного арифметическогопространства.

При этом преобразование матрицы линейного оператора не будет зависеть оттого, в каком, комплексном или действительном, линейном пространстве выполняется переход.Предположим, что матрица с действительными элементами имеет характеристическое уравнение с комплексными корнями. Комплексные корни группируются на пары комплексно сопряженных, причем в кратность комплексно сопряженных корней одинакова. Эту матрицу считаем матрицей линейного оператора в n-мерном комплексном пространстве Cn . Рассмотримпару комплексно сопряженных корней λ0 и λ0 . Если e1 , e2 , . . . , ek — жорданова цепочка, построенная для собственного значения λ0 , т.е. ej = (A − λ0 I)ej+1 , j = 1, k − 1, то e1 , e2 , .

. . ,ek — жорданова цепочка, отвечающая собственному значению λ0 . Учитывая это, можно таквыбрать канонический базис, что жордановы цепочки будут группироваться парами, в каждойпаре цепочки получаются друг из друга комплексным сопряжением* . Пару жордановых цепочекe1 , e2 , . . . , ek и e1 , e2 , . . . , ek заменим системой векторов u1 , v 1 , u2 , v 2 , . . . , uk , v k , где11ei − ei ,ui = ei + ei , v i =22iВновь построенные векторы в стандартном базисе будут иметь действительные координаты и могут рассматриваться как векторы действительного арифметического пространстваRn . Если λ0 = α0 + iβ0 , то легко проверить, чтоÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ199.3. Комплексные корниAu1 = α0 u1 − β0 v 1 ,ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ФОРМА ÌÃÒÓ9.

ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯÌÃÒÓC(α0 , β0 ) =α0 β0−β0 α0,E=1 00 1ÌÃÒÓ20.Выполняя описанные преобразования для всех пар сопряженных жордановых цепочек, мыпридем к каноническому виду линейного оператора в действительном случае.Блочно-диагональную матрицуCr1 (α1 , β1 )...Crm (αm , βm )J =Js1 (µ1 )...Jsk (µk )0ÌÃÒÓÌÃÒÓгдеÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ФОРМА ÌÃÒÓ9. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯназывают жордановой нормальной формой.Теорема 9.6. Любой линейный оператор в действительном линейном пространстве приводится к жордановой нормальной форме.ÔÍ-12ÔÍ-120p(A) = a0 I + a1 A + a2 A2 + . . .

+ ar Ar .(A − λ1 I)m1 (A − λ2 I)m2 . . . (A − λr I)mrсоответствующий многочленуqA (t) = (t − λ1 )m1 (t − λ2 )m2 . . . (t − λr )mr ,ÔÍ-12Для данного линейного оператора A среди всех многочленов выделим такие многочленыp(t), для которых линейный оператор p(A) является нулевым. Такие многочлены называютаннулирующими многочленами.Аннулирующие многочлены можно строить, используя жорданову нормальную форму линейного оператора. Из изложенного выше вытекает, что если λ1 — собственное значениеи m1 — максимальный порядок жордановых клеток, отвечающих λ1 , то линейный оператор(A − λ1 I)m1 оказывается нулевым в корневом подпространстве, соответствующем собственномузначению λ1 .Пусть λi , i = 1, k, полный перечень собственных значений линейного оператора A, а mi —максимальные размеры соответствующих жордановых клеток в каноническом виде оператора.Тогда линейный операторÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12В качестве значения переменного t можно использовать не только числовые значения, но и матричные или операторные.

Важно, чтобы было определено произведение объектов, рассматриваемых как значение переменного, и чтобы это произведение обладало свойством ассоциативности. Итак, для произвольного линейного оператора A, действующего в линейном пространствеL, определен линейный операторÌÃÒÓÌÃÒÓp(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + . . . + ar tr .ÔÍ-12ÔÍ-12Пусть p(t) — произвольный многочлен с действительными коэффициентами:ÌÃÒÓÌÃÒÓ9.4. Теорема Кэли — ГамильтонаÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12будет нулевым в каждом корневом пространстве.

Поэтому qA (A) будет нулевым на всем линейном пространстве, так как линейное пространство есть прямая сумма корневых подпространств. Следовательно, многочлен оказывается аннулирующим.Отметим, что аннулирующим будет и любой многочлен, делящийся на qA (t). Но верно иобратное: любой аннулирующий многочлен делится на qA (t). Действительно, пусть p(A) —нулевой оператор. Выберем жорданов базис и рассмотрим в нем некоторую жорданову цепочкуe1 , e2 , . . . , em , отвечающую собственному значению λ0 .

Вектор e1 собственный с собственнымзначением λ0 . Поэтому p(A)e1 = p(λ0 )e1 . Следовательно, равенство p(A)e1 = 0 возможно толькопри p(λ0 ) = 0, т.е. когда λ0 — корень многочлена p(t). В этом случае p(A) = p1 (A)(A − λ0 I).Поэтому для вектора e2 получаемp(A)e2 = p1 (A)(A − λ0 I)e2 = p1 (A)e1 = p1 (λ0 )e1 .Теорема 9.7 (теорема Кэли —Гамильтона). Характеристический многочлен линейного оператора является для него аннулирующим.J Доказывать эту теорему удобнее всего в рамках комплексного линейного пространства. Представим характеристический многочлен χA (t) в видеÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12где σi , i = 1, r, — алгебраические кратности собственного значений λi линейного оператора.Ранее было установлено, что размерности mi корневых подпространств, равные максимальнымпорядкам жордановых клеток, не превышают алгебраических кратностей σi , т.е.

mi 6 σi , i =1, r. Из этого вытекает, что характеристический многочлен χA (t) делится на минимальныймногочлен qA (t). Поэтому характеристический многочлен является аннулирующим. IÔÍ-12χA (t) = (t − λ1 )σ1 (t − λ2 )σ2 . . . (t − λr )σr ,ÌÃÒÓЗначит, равенство p(A)e2 = 0 означает, что p1 (λ0 ) = 0 и кратность корня λ0 многочлена p(t) неменее 2. Продолжая рассуждения, заключаем, что кратность корня λ0 многочлена p(t) не менееm — длины жордановой цепочки.Из приведенных рассуждений следует, что корнями аннулирующего многочлена p(t) линейного оператора A являются все собственные значения A, причем кратность каждого собственного значения λj не меньше, чем максимальная длина жордановых цепочек, отвечающих этомусобственному значению, или размерность mj корневого подпространства.

Поэтому аннулирующий многочлен делится на степени (t − λj )mj , а следовательно, на многочлен qA (t).Из доказанного вытекает, что многочлен qA (t) имеет наименьшую степень среди всех многочленов, аннулирующих A, и его называют минимальным аннулирующим многочленомлинейного оператора A.ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ21ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ФОРМА ÌÃÒÓ9. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ...............................................................................................9. Жорданова нормальная форма9.1.

Корневые подпространства . . .9.2. Жорданова нормальная форма9.3. Комплексные корни . . . . . . .9.4. Теорема Кэли — Гамильтона .........................................................................................121214192013. Операции над тензорами13.1. Понятие тензора . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.2. Матричная запись тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3. Преобразование тензоров, записанных в матричной форме . . . . . . . . . . . . . .2222232414. Множества и отношения14.1. Алгебра множеств . . . . .

Характеристики

Список файлов лекций