FN_Alg17 (1172027)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаÌÃÒÓФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»ÌÃÒÓÀ.Í. ÊàíàòíèêîâÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ËÅÊÖÈÈÏÎ ÀËÃÅÁÐÅÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà ÔÍÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1217. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВÔÍ-12ÌÃÒÓ{ai } + {bi } = {ai + bi }.Произведением двух последовательностей {ai } и {bi } назовем последовательность {ci }, членыкоторой вычисляются в соответствии с правиломiXak bi−k .k=0Непосредственная проверка аксиом кольца показывает, что с введенными операциями множество K f является коммутативным кольцом с единицей, причем множество последовательностей,у которых отличен от нуля только начальный член, т.е.
последовательностей вида {a0 , 0, 0, . . .}образует в K f подкольцо, изоморфное кольцу K. В кольце K f выделим последовательности ei ,ÔÍ-1243ÔÍ-12ci = a0 bi + a1 bi−1 + . . . + ai b0 =ÌÃÒÓзадает функцию, тождественно равную нулю, поскольку при любом значении переменной zзначением многочлена является нуль.С алгебраической точки зрения многочлен — это просто формальная сумма, полностью определяемая набором коэффициентов. Совокупность многочленов можно ввести аксиоматически как некую алгебраическую систему, например, следующим образом.Рассмотрим множество K f последовательностей элементов кольца K, в которых члены последовательности, начиная с некоторого, равны нулю (так называемые финитные последовательности). Самый последний ненулевой член финитной последовательности будем называть ее степенью.
Начальному члену последовательности присвоим номер 0. На множестве K fвводим операции сложения и умножения по следующим правилам. Сложение покомпонентно:ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓz(z − 1) . . . (z − p + 1)ÔÍ-12ÔÍ-12в котором ai , i = 0, n, — элементы кольца K, а x — формальный символ, называемый переменной многочлена.Многочлен можно рассматривать с разных точек зрения. С функциональной точкизрения многочлен — это специального вида функция, или, точнее, отображение кольца Kв себя, значение которой для данного элемента кольца получается вычислением выражения.Такой подход уже использовался в теории квадратичных форм, когда квадратичная форматакже рассматривалась как функция на линейном пространстве.Однако в теории колец функциональная точка зрения не всегда допустима. Дело в том, чтов некоторых кольцах разные многочлены могут задавать одну и ту же функцию.
Например, вкольце Zp остатков в Z по модулю p многочленÌÃÒÓÌÃÒÓПусть K — коммутативное кольцо с единицей. Многочленом над кольцом K называютвыражение видаa0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + an x n ,ÔÍ-12ÔÍ-12Кольцо многочленов над коммутативным кольцом с 1. Алгебраическая и функциональная точкизрения на понятие многочлена.
Многочлены и расширения основного кольца. Алгебраические итрансцендентные элементы кольца. Кольцо многочленов от нескольких переменных. Теорема: еслиA — целостное кольцо, то и A[x1 , . . . , xn ] — целостное кольцо. Следствие: deg(f g) = deg f + deg g.ÌÃÒÓÌÃÒÓ17.1. Определение кольца многочленовÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ44{a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, .
. .},что выполняется равенство a0 + a1 t + . . . + an tn = 0. В противном случае элемент t называетсятрансцендентным. Каждый трансцендентный элемент t порождает кольцо K[t], изоморфное кольцу многочленов K f .Пример 17.1. Рассмотрим множество отображений кольца K в себя. С операциями поточечного сложения и умножения, т.е.(f g)(x) = f (x)g(x),множество отображений является коммутативным кольцом с единицей, включающим в себякольцо K (как постоянные функции).
Выбрав в качестве t тождественное отображение, получимподкольцо K[t] функций, порождаемых многочленами над кольцом K. Если K — бесконечноекольцо, а t — бесконечного порядка, то t — трансцендентный элемент. Иначе он являетсяалгебраическим. #Теорема 17.1. Если K — целостное кольцо, то K[x1 , x2 , . . . , xn ] — тоже целостное кольцо.ÔÍ-12Кольцо K[x] — это кольцо многочленов одной переменной. Аналогично можно ввести кольцоK[x1 , . . . , xn ] многочленов от n переменных.
Непосредственное построение такого кольца, подобное построению K f , сложное. Однако отметим, что кольцо K[x1 , . . . , xn ] можно рассматриватькак расширение кольца K[x1 , . . . , xn−1 ], полученное с помощью переменной xn . Мы получаемрекуррентное построение колец многочленов с любым числом переменных.ÌÃÒÓ(f + g)(x) = f (x) + g(x),ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓпричем сумме элементов соответствует сумма многочленов, а произведению — произведениемногочленов.
Таким образом, возникает гомоморфизм ϕt , который финитной последовательности {a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, . . .} ставит в соответствие элемент p = a0 + a1 t + . . . an tn . Очевидно,что этот гомоморфизм является эпиморфизмом (отображением на“). Если он является изомор”физмом, то мы имеем кольцо K[t], изоморфное кольцу K f .b \ K называется алгебраическим, если существует такой многочленЭлемент t ∈ KÌÃÒÓÔÍ-12p = a0 + a1 t + . .
. an tn ,ÔÍ-12ÌÃÒÓМы построили кольцо, включающее в себя кольцо K (как говорят, расширение кольцаK), каждый элемент которого естественным образом ассоциируется с некторым многочленом.Мы могли бы заявить, что кольцо многочленов и есть построенное нами кольцо K f , однакоформально существуют и другие способы построения, приводящие к аналогичным результатам. Нам следует назвать кольцом многочленов любое расширение кольца K, полученное добавлением одного элемента, изоморфное кольцу K f . Более общий подход к построению такихрасширений такой.b — какое-либо расширение кольца K.
Выберем некоторый элемент t ∈ Kb \K иПусть Kb порожденное множеством K ∪ {t}. Нетрудно показать, чторассмотрим подкольцо K[t] в K,каждый элемент p ∈ K[t] имеет представлениеÌÃÒÓÔÍ-12Элемент e0 является единицей в кольце K f . Полагая x = e1 , заключаем, что ei = xi . Отождествив каждый элемент {a, 0, 0, } с элементом a ∈ K, мы можем записатьÔÍ-12ÔÍ-12{a0 , . .
. , an , 0, . . .} = a0 + a1 x + . . . + an xn .{a0 , . . . , an , 0, . . .} = a0 e0 + a1 e1 + . . . + an en .ÌÃÒÓу которых отличен от нуля только один член с номером i, причем этот член равен 1. Нетрудноубедиться в том, что ei · ej = ei+j и, следовательно, ei = (e1 )i .
Также легко установить, чтоÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-1217. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ45J Доказательство строится по индукции по числу переменных многочлена. Достаточно доказать утверждение для n = 1. Непосредственно из определения произведения многочленоввытекает, что еслиp = a0 + a1 x + . . . + an x n ,q = b0 + b1 x + . . .
bm x m ,ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1217. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВpq = a0 b0 + (a1 b0 + a0 b1 )x + . . . + an bm xn+m(все остальные члены финитной последовательности равны нулю). Из условия целостностикольца K заключаем, что an bm 6= 0, т.е. многочлен pq отличен от нулевого и, более того, егостепени равна сумме степеней сомножителей. IÌÃÒÓÌÃÒÓгде an 6= 0 и bm 6= 0, то17.2. Деление с остатком и его свойстваМногочлен одной переменной над полем.
1) p ... q ⇒ deg p > deg q; 2) p ... q, q ... r ⇒ p ... r;3) p1 ... q, p2 ... q ⇒ p1 ± p2 ... q; 4) p ... q ⇔ pr ... qr. НОД и алгоритм Евклида. Два следствия изалгоритма Евклида.свойства: 5) НОД(pr, qr) = r НОД(p, q); 6) r — общий делитель ДальнейшиеНОД(p, q)p q=; 7) pr ... q, НОД(r, q) = 1 ⇒ p ... q; 8) НОД(r, q) = 1 ⇒p и q ⇒ то НОД ,r rrНОД(pr, q) = НОД(p, q); 9) p ... q, p ... r, НОД(q, r) = 1 ⇒ p ... qr. НОД трех и более многочленов. НОКдвух многочленов. Связь с НОД. НОК трех многочленов.Рассмотрим кольцо P [x] многочленов над некоторым полем P .p = αq + β.(17.1)задан и фиксирован. Если deg p < deg q = m, то представление (17.1) будет выполняться приα = 0, β = p.
Пусть доказано, что представление (17.1) существует для любых многочленов p,степень которых не превышает k > m. Выберем произвольный многочленp(x) = a0 + a1 x + . . . + ak xk + ak+1 xk+1ÔÍ-12J Доказательство существования представления (17.1) проводится методом математическойиндукции по степени многочлена p.Пусть многочленq(x) = b0 + b1 x + . .
. + bm xmÌÃÒÓТеорема 17.2. Для любых многочленов p, q ∈ P [x], q 6= 0, существует такая, и притомединственная, пара многочленов α, β ∈ P [x], причем deg β < deg q, чтоÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПроизведение pn qm есть однородный многочлен степени n + m, отличный от нуля, поскольку вкольце K[x1 , . . . , xn ] нет делителей нуля. Значит, и призведение pq имеет степень n + m. IÌÃÒÓÔÍ-12где многочлен pi — совокупность слагаемых многочлена p степени i, т.е. однородный многочлен порядка i. Представив таким же образом другой многочлен q степени m, заключаем,чтоpq = p0 q0 + (p1 q0 + p0 q1 ) + .
. . + pn qm .ÔÍ-12ÌÃÒÓp = p0 + p1 + . . . pk ,ÌÃÒÓÔÍ-12J Любой многочлен p ∈ K[x1 , . . . , xn ] степени k можно представить в видеÔÍ-12ÔÍ-12Следствие 17.1. Если K — целостное кольцо, то при перемножении многочленов их степени складываются.ÌÃÒÓÔÍ-12степени k + 1. Несложно убедиться в том, что многочлен pe(x) = p(x) −ÌÃÒÓ46ak+1 k+1−mxq(x) имеетbme Ностепень не выше k.
Поэтому для него имеет место представление (17.1), т.е. pe = αeq + β.тогдаaak+1 k+1−mk+1 k+1−mexq(x) =x+αe(x) q(x) + β(x),p(x) = pe(x) +bmbmт.е. имеет место представление (17.1).Согласно методу математической индукции, любой многочлен p может быть разложен помногочлену q в виде (17.1). Существование представления (17.1) доказано.Пустьp = αq + β = α1 q + β1 .ТогдаÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1217. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓВторое свойство означает, что рассматриваемое отношение транзитивно. Очевидно, что онои рефлексивно, но не является симметричным или антисимметричным. Можно утверждать, чтоесли p ...
q, q ... p, то эти многочлены имеют одинаковую степень и один получается из другогоумножением на элемент поля P (многочлен нулевой степени). Если ограничиться многочленами,у которых старший коэффициент равен 1, называемыми унитарными многочленами, тоотношение делимости становится антисимметричным, а значит, отношением порядка. Далееговоря о делителях многочленов, мы будем иметь в виду унитарные многочлены.Среди всех делителей данных многочленов p и q существуют общие делители. Ясно чтостепень таких делителей не превышает минимальной из степеней p и q.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
