FN_Alg16 (1172026)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаÌÃÒÓФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»ÌÃÒÓÀ.Í. ÊàíàòíèêîâÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ËÅÊÖÈÈÏÎ ÀËÃÅÁÐÅÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà ÔÍÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ16. КОЛЬЦА И ПОЛЯОпределение. Ядро и образ. Изоморфизм колец. Идеалы. В Z все подкольца являются идеалами.В Mn (Z) множество верхних треугольных матриц — подкольцо, но не идеал.
Идеалы, порожденныемножеством элементов. Главные идеалы (с одним образующим). Понятие факторкольца и канонический гомоморфизм. Пример: факторкольцо Z/mZ — кольцо Zm вычетов по модулю m. Теорема:Zm является полем тогда и только тогда, когда m — простое число. Мультипликативная группавычетов по простому модулю. Теорема Ферма. Примеры: а) факторкольцо R[x]/(x2 + 1)R[x] естьполе, изоморфное полю комплексных чисел; б) кольцо фундаментальных рациональных последовательностей, факторизованное подкольцом б.м.
последовательностей.16.4. Модули и алгебрыÔÍ-1236ÔÍ-12Умножение элементов модуля на элементы кольца представляет собой многосортную операцию. Под многосортной n-арной операцией понимают отображение ϕ: A1 × A2 × . . . × An → A0 ,элементы множеств Ai называют сортами. Мы видим, что аргументы многосортной операции являются объектами разной природы.
Многосортные операции обозначают общепринятымспособом — точкой по центру или вообще опускают знак операции, если для операндов используются однобуквенные обозначения. При таком обозначении аксиомы левого умножения имеютследующий вид:M∗1 ) α(u + v) = αu + αv;M∗2 ) (α + β)u = αu + βu;ÌÃÒÓОпределение 16.1.
Пусть K — кольцо, а M — абелева группа, для которой будем использовать аддитивную запись. Эта группа называется левым K-модулем (левым модулем надкольцом K), если задано левое умножение элементов группы на элементы кольца, т.е. отображение ϕ: K × M → M , удовлетворяющее аксиомам (α, β ∈ K, u, v ∈ M ):M1 ) ϕ(α, u + v) = ϕ(α, u) + ϕ(α, v);M2 ) ϕ(α + β, u) = ϕ(α, u) + ϕ(β, u);M3 ) ϕ(αβ, u) = ϕ(α, ϕ(β, v)).ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ16.3.
Гомоморфизмы колец и факторизацияÔÍ-12ÔÍ-12Тело — кольцо с делением (все ненулевые элементы обратимы). Поле — коммутативное тело.Мультипликативная группа поля. Проблема расширения полугруппы до группы и кольца до тела(поля). Коммутативное кольцо без делителей нуля — целостное кольцо. Теорема: конечное целостное кольцо есть поле. Пример: Z есть коммутативное кольцо без делителей нуля, но не поле.ÌÃÒÓÌÃÒÓ16.2.
Специальные типы колецÔÍ-12ÔÍ-12Определение: а) (K, +) — группа, б) (K, ·) — полугруппа, в) дистрибутивность умножения.Неассоциативные кольца. Аддитивная группа и мультипликативная полугруппа кольца. Кольцос единицей. Коммутативное кольцо. Понятие подкольца. Подкольцо, порожденное множествомэлементов. Примеры: Z; Mn (R); кольцо функций (отображений) f : X → K, где K — кольцо;кольцо линейных операторов в ЛП. Свойства: 1) a0 = 0a = 0; 2) 0 6= 1, если в кольце более одногоэлемента; 3) (−a)b = a(−b) = −ab; 4) (−1)a = −a в кольце с единицей; 5) (a − b)c = ac − bc,c(a − b) = ca − cb; 4) бином Ньютона в коммутативном кольце.
Подкольца в Z.ÌÃÒÓÌÃÒÓ16.1. КольцаÌÃÒÓПример. а. Первым примером модуля является действительное или комплексное линейноепространство. Анализ аксиом линейного пространства показывает, что в них используютсятолько две основные арифметические операции (сложение и умножение), выполняемые над числами. Поэтому не представляет трудностей ввести общее понятие линейного пространства над произвольным полем P . Это понятие — частный случай модуля над коммутативным кольцом.б. Любая абелева группа G имеет структуру Z-модуля, в котором произведение na естьвычисление n-кратного для элемента a ∈ G:na = a{z. . .
+ a} .|+a+n разÌÃÒÓÔÍ-12Отметим, что если алгебраическая система K = (K0 , {+, ·}) есть кольцо, то и алгебраиe = (K0 , {+, ∗}) с операцией a ∗ b = ba тоже будет кольцом. Любый левыйческая система KeeK-модуль является правым K-модулем,а правый K-модуль — левым K-модулем.Таким образом, двойственные понятия правый“ и левый“ взаимозаменяемы. Вернемся к примеру в. В””зависимости от интерпретации композиции (под f ◦ g можно понимать и f (g(x)), и g(f (x)), т.е.отображения могут применяться и справа налево, так и слева направо) абелева группа будетили левым EG -модулем, или правым.Если K — кольцо с единицей, то к трем аксиомам модуля уместно добавить аксиомуM∗1 ) 1 · a = a (умножение любого элемента на единицу кольца не изменяет этого элемента).Модуль над кольцом с единицей, удовлетворяющий этой аксиоме, называется унитарныммодулем.
Модули, рассмотренные в примерах а–в, д являются унитарными. Модуль в примере г является унитарным в случае кольца с единицей и неунитарным, если кольцо не имеетединицы. Эти примеры показывают, что требование унитарности естественное, но автоматически не выполняется: несложно привести пример неунитарного модуля над кольцом с единицей,например, взяв унитарный модуль и заменив исходное умножение αu на элементы кольца другим умножением α∗u = (α+α)u. Если единица кольца имеет порядок (по сложению), отличныйот 2, то получим неунитарный модуль.ÔÍ-12Действительно, вычисление n-кратного можно рассматривать как бинарную многосортную операцию. Не составляет труда проверить выполнение аксиом модуля.в.
Множество EG автогомоморфизмов“ (они называются эндоморфизмами) заданной”абелевой группы G, т.е. гоморфизмов G в себя, есть кольцо относительно операций поточечного сложения и композиции как умножения, а сама группа G является EG -модулем, если подумножением эндоморфизма ϕ на элемент группы a понимать значение ϕ(a).г. Любое кольцо K является K-модулем (сравните: R есть ЛП над R).
Пример можнообобщить: n-я декартова степень K n кольца K с операциями покомпонентного сложения ипокомпонентного умножения на скаляр“ есть K-модуль.”д. В кольце K структуру левого (правого) K-модуля имеет любой левый (правый) идеал.В этом примере умножение произвольного элемента кольца справа (слева) на элемент идеаламожно рассматривать как многосортную операцию. #ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓМожно сказать, что при левом умножении внешним (вторым) множителем является левый, апри правом умножении — правый.
Если кольцо K коммутативно, то понятия левого и правогоK-модулей совпадаютÔÍ-12ÔÍ-12u(βα) = (uβ)α.ÌÃÒÓÌÃÒÓM∗3 ) (αβ)u = α(βu).Наряду с понятием левого модуля существует понятие и правого модуля. Правым K-модулем над кольцом K называется абелева группа, в которой введено правое умножение наэлементы кольца. Правое умножение отличается от левого третьей аксиомой:ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ37ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1216.
КОЛЬЦА И ПОЛЯÌÃÒÓÔÍ-12ПодмодулиÔÍ-12ÌÃÒÓ38Пусть K — кольцо и M есть K-модуль. Множество H ⊂ M называется подмодулеммодуля K, если H замкнуто относительно групповых операций и относительно умножения наэлементы кольца, т.е.1) u, v ∈ H ⇒ u + v ∈ H;2) u ∈ H ⇒ −u ∈ H;3) u ∈ H, α ∈ K ⇒ αu ∈ H.Из второго условия вытекает, что подмодуль всегда включает нуль (нейтральный элементпо операции сложения). Само второе условие вытекает из первого и третьего, если кольцоимеет единицу.
В этом случае верно равенство (−u) = (−1)u, посколькуÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1216. КОЛЬЦА И ПОЛЯÌÃÒÓ0 · u + 0 · u = (0 + 0)u = 0 · u,откуда 0 · u = 0.Как и в случае линейных пространств, можно утверждать, что пересечение двух подмодулей, как, впрочем, и пересечение любого числа подмодулей, является подмодулем. Это позволяет ввести понятие подмодуля порожденного заданным множеством элементов.
В частности,если H1 и H2 — подмодули, то их объединение не является подмодулем, однако определен минимальный подмодуль, содержащий и H1 , и H2 . Этот подмодуль называется суммой подмодулейH1 и H2 и обозначается H1 + H2 . Несложно показать, чтоH1 + H2 = {x ∈ M : x = h1 + h2 , h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 } ,ÔÍ-12т.е., как и в случае линейных пространств, сумма подмодулей — это множество всевозможных сумм элементов двух подмодулей.
Сумма подмодулей является прямой, если для любогоэлемента u ∈ H1 + H2 разложение u = h1 + h2 , h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 , единственно. Сумма двухподмодулей прямая тогда и только тогда, когда пересечение этих подмодулей нулевое (доказательство повторяет соответствующее доказательство из линейной алгебры).Понятие прямой суммы можно перенести на любое конечное число подмодулей. Сумма nnPподмодулей Hi , i = 1, n, представляет собой множество всевозмозможных сумм видаhi ,ÌÃÒÓÔÍ-12а в силу свойств умножения на элементы кольцаÔÍ-12ÔÍ-12u + (−1)u = 1 · u + (−1)u = (1 − 1)u = 0 · u,ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓi=1где hi ∈ Hi , i = 1, n.
Такая сумма называется прямой, если указанное представление любогоэлемента суммы единственно. Сумма n подмодулей является прямой тогда и тогда, когдапересечение любого из n подмодулей с суммой остальных нулевое.Среди подмодулей выделим так называемые конечно порожденные подмодули, т.е.подмодули, порожденные конечным множеством, и циклические подмодули, порожденныеодним элементом. В унитарном левом модуле M циклический подмодуль, порожденный элементом u имеет вид Ku. Действительно, любой подмодуль, содержащий u, содержит и любой элемент вида αu, т.е. любой подмодуль, содержащий u, включает в себя множество Ku.Само множество Ku является подмодулем, поскольку для элементов α1 u и α2 u их сумма есть(α1 +α2 )u ∈ Ku. Для любого β ∈ K и v = αu ∈ Ku имеем βv = (βα)u ∈ Ku.
Если v = αu ∈ Ku,то −v = (−α)u ∈ Ku. Наконец, в унитарном модуле u ∈ Ku. Поэтому Ku — минимальныйподмодуль, содержащий u, или, иначе, подмодуль, порожденный элементом u.Аналогично в унитарном модуле подмодуль, порожденный элементами u1 , . . . , un , представляет собой сумму Ku1 +. . .+Kun . Проверка этого аналогично случаю циклического подмодуля.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ39Гомоморфизмы модулейПусть K — кольцо и M , N — модули над K.
Отображение ϕ: M → N называется гомоморфизмом K-модулей, если оно сохраняет операции K-модулей, т.е.ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v),ϕ(αu) = αϕ(u).Если K — поле, то K-модуль представляет собой линейное пространство над полем K, апонятие гомоморфизма K-модулей сводится к понятию линейного оператора. Как и в случаелинейного оператора множество Im ϕ = ϕ(M ) есть подмодуль в N , называемый образом гомоморфизма ϕ, а множество Ker ϕ = ϕ−1 (0) = {u ∈ M : ϕ(x) = 0} — подмодуль, называемыйядром гомоморфизма ϕ.Пусть M — K-модуль и H ⊂ M — его подмодуль.
Тогда H есть подгруппа в абелевойгруппе M . Возможна факторизация. Оказывается, что фактор-группа G/H имеет естественную структуру K-модуля. В самом деле, факторизация аддитивной группы K-модуля определяется отношением эквивалентности u ∼ v ⇔ u−v ∈ H. Легко убедиться в том, что если u ∼ v,то для любого α ∈ K будет αu ∼ αv. Значит, на фактор-группе G/H можно задать умножениена элементы кольца в соответствии с равенствомα(u + H) = αu + HХарактеристики модуля и его элементовАннулятором (кручением) элемента модуля называется множество AnnK (u) элементов кольца, аннулирующих элемент модуля, т.е.ÌÃÒÓ(т.е. для умножения класса смежности a + H на элемент α достаточно в этом классе взятьпроизвольный элемент u и умножить на элемент α; результат определит класс смежности,который и будет произведением a + H на α).Подчеркнем, что в то время как в теории групп и теории колец факторизация требует дополнительного условия на знаменатель“ факторизации, в теории модулей фактоизация возможна”по любому подмодулю.ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1216.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
