FN_Alg09 (1172023), страница 2
Текст из файла (страница 2)
0 0 0 λ1 1 0 . . . 0 0 0 0 λ1 1 . . . 0 0 J(λ1 ) = . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 . . . λ1 1 0 0 0 0 . . . 0 λ1ÌÃÒÓÔÍ-129.2. Жорданова нормальная формаÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ14ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ФОРМА ÌÃÒÓ9. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯÌÃÒÓÌÃÒÓ15ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓЭта коротенькая теорема порождает большие последствия. Вот как можно разложить линейное пространство в прямую сумму подпространств.
Напомним, что в рассматриваемоммонопольном“ (с одним собственным значением) случае Am1 = 0, т.е. Dm = L.”(1)Выберем в Dm прямое дополнение H1 к подпространству Dm−1 и с помощью него получим(1)(1)(2)подпространства Hk = Ak−11 (H1 ), k = 1, m. Затем в Dm−1 выберем прямое дополнение H1 к(1)(2)(2)подпространству Dm−2 ⊕ H2 и с помощью него построим подпространства Hk = Ak−11 (H1 ),k = 1, m−1. Схематично построение цепочек подпространств показано на рис. 9.1.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ФОРМА ÌÃÒÓ9. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯH(1)1H(1)2H(2)1H(1)2H(2)2ÔÍ-12ÔÍ-12H(3)1Hm(1)(2)Hm-1…(3)Hm-2…= Dm−2 ⊕(2)H1⊕(1)H2⊕(1)H1= ...
=m m−k+sXXk=1Hs(k) ,s=1в R3 , имеющий в стандартном базисе ма16−6 .−7ÔÍ-12Пример 9.1. Рассмотрим линейный оператортрицу13 16A = −5 −7−6 −8ÔÍ-12где знак суммы обозначает прямую сумму.(k)(1)В подпространствах H1 выберем базисы. Пусть, например, e1 , . . . , et — базис в H1 .
Тогда(1)A1 e1 , . . . , A1 et — базис в H2 , и т.д. Нетрудно увидеть, что каждый вектор ei порождает жорданову цепочку векторов ei , A1 ei , . . . , Am−1ei длины m, протянутую“ сквозь цепочку пространств1”(1)(1)(1)H1 , H2 , . . . , Hm . В совокупности все базисы образуют базис линейного пространства L, состоящий из жордановых цепочек.(1)(2)(k)Обратим внимание, что dim H1 = sm = dm − dm−1 dim H1 = sm−1 − sm и вообще dim H1 == sm−k+1 − sm−k , где sk = dk − dk−1 . Размерность подпространства H1k определяет количествов базисе жордановых цепочек длины m − k + 1.
Кроме того, величины dk могут быть найденыиз соотношений dk = n − rk , где rk = rang Ak1 , а величины sk — как разности sk = rk−1 − rk .Дадим некоторую сводку характеристик, получаемых в процессе построения жордановойнормальной формы:m+1• параметр m, начиная с которого rang Amопределяет максимальный порядок1 = rang A1жордановых клеток, отвечающих собственному значению λ1 ;• размерность корневого подпространства, или алгебраическая кратность собственного значения определяет сумму порядков жордановых клеток, отвечающих собственному значению λ1 ;• размерность собственного подпространства, отвечающего собственному значению λ1 , определяет количество жордановых клеток этого собственного значения.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12L = Dm = Dm−1 ⊕(1)H1ÌÃÒÓÌÃÒÓИз этих построений вытекает, чтоÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓРис. 9.1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ16Характеристическое уравнение рассматриваемого линейного оператора имеет вид −3 + 5λ −− λ2 − λ3 = 0.
Его корни λ1 = 1 кратности 2 и λ2 = −3 кратности 1.Решая систему 12 16 16x −5 −8 −6 y = 0,−6 −8 −8zÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ФОРМА ÌÃÒÓ9. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯÌÃÒÓÌÃÒÓтнаходим один собственный вектор u1 = (−4, 1, 2) , отвечающий собственному значению λ1 = 1.Поскольку собственное пространство для этого собственного значения одномерно, то ему соответствует одна двумерная жорданова клетка. В базис войдут найденный собственный вектори еще один присоединенный вектор первого порядка. Чтобы найти присоединенный вектор,достаточно решить систему (A − λ1 I)x = u1 , имеющую видСоставив расширенную матрицу системы, приведем ее к ступенчатому виду: 3 4 4 −112 16 16 −4 −5 −8 −61 ∼ 1 0 2 −1 ∼−6 −8 −820 0 001 02 −10 1 −12!.12т1Отсюда видно, что одним из решений системы является вектор u2 = −1, , 0 .2Для собственного значения λ2 = −3, решая систему (A + 3I)x = 0, находим вектор u3 =т= (−2, 1, 1) .В базисе u1 , u2 , u3 рассматриваемый линейный оператор имеет матрицуÌÃÒÓÌÃÒÓ 12 16 16x−4 −5 −8 −6 y = 1 .−6 −8 −8z2ÔÍ-12ÔÍ-12U = (u1 , u2 , u3 ) = −4 −1 −21121.201Непосредственная проверка показывает, что произведение U −1 AU , дающее матрицу оператораe #в новом базисе, приводит к записанной выше матрице A.Рассмотренный пример несложный, поскольку в жордановой форме оказалась единственнаяклетка второго порядка.
Рассмотрим более сложный пример.ÔÍ-12Пример 9.2. Рассмотрим в R4 линейный оператор, имеющий в стандартном базисе матрицу1 2 3 20 1 0 3A= 0 0 1 2 .0 0 0 1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓМатрицей перехода в новый базис являетсяÌÃÒÓÔÍ-121 10e=0 10 .A0 0 −3ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ21200(j)а) вычисляем ранги ri линейных операторов (A−λj I)i до того момента i = mj , при котором(j)(j)ri+1 = ri ;ÔÍ-12Рассмотренный пример показывает, что построение жорданова базиса начиная от собственных векторов с последующим добавлением присоединенных векторов более высокого порядкане всегда приводит к успеху.
Более эффективным является схема выявления старших присоединенных векторов с последующим восстановлением всех предыдущих векторов цепочки.С учетом сказанного получаем следующую схему построения канонического базиса.1. Определяем все собственные значения λj линейного оператора A.2. Для каждого собственного значения λj выполняем следующее:ÌÃÒÓНетрудно убедиться в том, что она не имеет решений. Поэтому этому вектору соответствуетжорданова цепочка из одного вектора.В результате вычислений мы получили три вектора, хотя для базиса необходимо четыре.В чем была допущена ошибка? Дело в том, что собственные векторы можно выбирать по-разному и этот выбор влияет на успешность построения базиса. Предложенная схема построенияжорданова базиса не всегда приводит к успеху.
#ÔÍ-12и не имеет решений. Следовательно, первая жорданова цепочка содержит векторы u1 и v 1 .Для вектора u2 получаем систему (A − I)x = u2 , имеющую вид0 2 3 20 0 0 0 3 −3 0 0 0 2200 0 0 0ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ0 0 0 30 0 0 20 0 0 0ÌÃÒÓÔÍ-120 2 3 2 0ÌÃÒÓÔÍ-12т1Отсюда получаем одно из ее решений v 1 = 0, , 0, 0 . Система (A − I)x = v 1 имеет видÔÍ-12имеет матрицу ранга 2. Значит, фундаментальная система решений должна содержать дваттвектора, например u1 = (1, 0, 0, 0) , u2 = (0, −3, 2, 0) .Строим жорданову цепочку для вектора u1 . Система (A − I)x = u1 дает (промежуточныепреобразования опущены):0 2 3 2 131!0 0 0 3 001022.0 0 0 2 0∼0 0 0 1 00 0 0 0 0ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ17Характеристическое уравнение для представленной матрицы очевидно: (1 − λ)4 = 0.
Такимобразом, мы имеем единственное собственное значение λ1 = 1 кратности 4. Найдем собственныевекторы, отвечающие собственному значению. Система уравнений 0 2 3 2x1 0 0 0 3 x2 0 0 0 2 x3 = 00 0 0 0x4ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ФОРМА ÌÃÒÓ9. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯÌÃÒÓÌÃÒÓуказанная СЛАУ равносильна одному уравнению x4 = 0, а ФСР состоит, например, из векторовттт(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) .Матрица (A − I)3 имеет нулевой ранг, так как это нулевая матрица. Множество решенийсовпадает со всем линейным пространством R4 , а в качестве дополнительного вектора в ФСРтсистемы (A−I)3 x = 0 можно взять u1,2 = (0, 0, 0, 1) . Этому вектору соответствует жордановацепочкаттu1,1 = (A − I)u1,2 = (2, 3, 2, 0) , u1,0 = (A − I)u1,1 = (12, 0, 0, 0) .Следовательно, в качестве канонического базиса можно взять систему векторов 00212 0 , u1,1 = 3 , u1,2 = 0 , u2 = −3 .u1,0 = 0 2 2 0 1000ÔÍ-12ÔÍ-12В этом базисе матрица линейного оператора будет иметь вид:1 1 0 0e = 0 1 1 0 .A0 0 1 00 0 0 1ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Пример 9.3.
В примере 9.2 для единственного собственного значения λ = 1 мы имелиr1 = 2, r2 = 1, r3 = 0, r4 = 0. Следовательно, m = 3. Поскольку sm = rm−1 − rm = r2 − r3 = 1,в жордановой форме присутствует жорданова клетка порядка 3, и для нее необходимо выбратьприсоединенный вектор порядка 2. Далее s2 = r1 − r2 = 1 = s3 , так что жордановых цепочек,заканчивающихся присоединенными векторами порядка 1 (цепочек длины 2) нет. Далее s1 == r0 − r1 = 4 − 2 = 2 > s2 .
Разность s1 − s2 = 1 указывает на то, что в жордановой форме естьжорданова цепочка длины 1, т.е. цепочка, состоящая из одного собственного вектора. Такуюцепочку в примере 9.2 составил вектор u2 .Чтобы завершить построение канонического базиса для рассматриваемого линейного оператора, найдем жорданову цепочку длины 3. Сперва найдем фундаментальную систему решенийСЛАУ (A − I)2 x = 0. Поскольку0 0 0 120 0 0 0(A − I)2 = 0 0 0 0 ,0 0 0 0ÌÃÒÓÌÃÒÓsi ,mjmj − 1. Для этого находим фундаментальную систему решений (ФСР) СЛАУ (A − λj E)i−1 x =0 и определяем любой набор векторов, который дополняет найденную ФСР до ФСР СЛАУ(A − λj E)i x = 0.(j)г) последовательно уменьшая номер i до i = 1, определяем присоединенные векторы e1,i =(j)= (A − λ1 I)e1,i+1 порядка i − 1, порождаемые старшими присоединенными векторами, а затемпополняем эту систему новыми присоединенными векторами так, чтобы какая-либо ФСР СЛАУ(A − λj E)i−1 x = 0 плюс вся совокупность присоединенных векторов порядка i − 1 составлялаФСР СЛАУ (A − λj E)i x = 0.3.
Объединяем в единую систему все найденные присоединенные векторы, причем жордановы цепочки записываем от младших присоединенных векторов к старшим. Общая системабудет каноническим базисом.ÌÃÒÓÔÍ-12(j)jб) составляем последовательность si = ri−1− ri , i = 1, mj , определяющую количестваприсоединенных векторов разных порядков в каноническом базисе (под r0j понимается нулевоезначение как ранг оператора A01 = I);(j)(j)в) полагая i = mj , строим набор e1,mj , . . . , e (j)присоединенных векторов порядка i − 1 =ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ18ÌÃÒÓÔÍ-12(j)ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ФОРМА ÌÃÒÓ9. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Здесь имеется в виду, что координаты векторов в стандартном базисе являются комплексно сопряженными.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Av j = v j−1 + β0 uj + α0 v j ,Следовательно, линейная оболочка векторов uj , v j , j = 1, k, есть инвариантное подпространство линейного оператора, а система векторов u1 , v 1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
