Ответы на экзаменационные вопросы (1163657), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, íàïðèìåð,x = ±qptXαk q −k = ±q p (α1 , ..., αt );k=1ïîðÿäîê ÷èñëà p óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó |p| ≤ p0 . Òèïè÷íû çíà÷åíèÿ q = 2, t =36, p0 = 64.Àáñîëþòíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè - ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêèå, ê ÝÂÌèìåþò îòíîøåíèå òàêîå æå, êàê è êî âñåìó äðóãîìó.• a òî÷íîå çíà÷åíèå ÷èñëà, a∗ ïðèáëèæåííîå:• ∆(a∗ ) - àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü, åñëè |a∗ − a| ≤ 4(a∗ )¯¯ ∗¯a − a¯∗• δ(a ) - îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü, åñëè ¯¯ ∗ ¯¯ ≤ δ(a∗ ).a2Ïîñòàíîâêà çàäà÷è èíòåðïîëèðîâàíèÿ.Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà,îöåíêà îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà.Ïîñòàíîâêà çàäà÷è èíòåðïîëèðîâàíèÿ:7f (x) çàäàíà íà îòðåçêå [a, b]; èçâåñòíû f (xi ), i = 1, n, xi ∈ [a, b].Õîòèì ïîëó÷èòü ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ f (x) â äðóãèõ òî÷êàõ îòðåçêà [a, b].Âîçüìåì ϕ1 (x), ..., ϕn (x), ...
ëèíåéíî-íåçàâèñèìûå ôóíêöèè íà îòðåçêå [a, b] èïîëîæèìnXf (x) ≈Cj ϕj (x)j=1Ñïîñîá âûáîðà êîýôôèöèåíòîâ Cj èç óñëîâèÿ ñîâïàäåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè è ååïðèáëèæåíèÿ íàçâàåòñÿ èíòåðïîëÿöèåé!Ñàìîå ïðîñòîå - àëãåáðàè÷åñêàÿ èíòåðïîëÿöèÿ:ϕj = xj−1, j = 1, n ⇒ f (x) ≈nXCj xj−1j=1Ïîäñòàâëÿÿ x = x1 , x2 , ..., xn ïîëó÷èì ñèñòåìó äëÿ êîýôôèöèåíòîâ CjnPj=1Cj xj−1= f (xj ), i = 1, niÝòà ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå è åäèíñòâåííîå. Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû1x1 x21 . . . xn−11 1 Yx2 x22 . . . xn−12det (xk − xn ) 6= 0 ··· ··· ··· ··· ··· =k>n1xn x2n .
. . xn−1nïðè óñëîâèè, ÷òî âñå òî÷êè ðàçëè÷íû.Ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ýòîãî íå äîñòàòî÷íî:1Ïðèìåð: f (x) =225x + 1[ | | || | ] óçëû ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû ïî îòðåçêó........-11×èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû íàñòîëüêî áîëüøîå ïðè n → ∞, ÷òîf (x) −nXCj xj−1 → ∞ (n → ∞)j=1Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà.Äàíî: a = x1 < x2 < .
. . < xn = b; f (x1 ), . . . , f (xn ). Ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà èìååò âèäLn−1 (x) =nXi=1f (xi )nYj=1j 6= i8nXx − xjfi Φi (x).=xi − xji=1Êîëü óæ ýòîò ìíîãî÷ëåí âûïèñàí, íåò âîïðîñîâ î åãî ñóùåñòâîâàíèè. Âîïðîñ îåäèíñòâåííîñòè ìíîãî÷ëåíà Ëàãðàíæà áîëåå äåëèêàòåí. Åñëè ìíîãî÷ëåí êàêîé-íèáóäüñòåïåíè, íàïðèìåð íóëåâîé, íà÷àòü ïðèáëèæàòü ïî áîëüøîìó êîëè÷åñòâó òî÷åê, òîïîëó÷èì èìåííî èñõîäíûé ìíîãî÷ëåí íóëåâîé ñòåïåíè, à íå êàêîé-òî âûñîêîé ñòåïåíè.Êðîìå àëãåáðàè÷åñêîé èíòåðïîëÿöèè èçó÷åíû òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïîëÿöèÿ- ôàêòè÷åñêè êîíå÷íûå îòðåçêè ðÿäîâ Ôóðüå; èíòåðïîëÿöèÿ ðàöèîíàëüíûìèôóíêöèÿìè; êóñî÷íî-ìíîãî÷ëåííûå èíòåðïîëÿöèè - íàïðèìåð, ñïëàéí-èíòåðïîëÿöèèè äð.Åñëè ôîðìàëüíî óñòðåìèòü îäèí óçåë ê äðóãîìó xk → xk+1 , òî â ôîðìóëåèíòåðïîëÿöèè ïîÿâèòñÿ f 0 (xk ).
Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ èíòåðïîëÿöèÿ ñ êðàòíûìèóçëàìè.Åñëè èñïîëüçîâàòü èíòåðïîëÿöèîííóþ ôîðìóëó çà ãðàíèöàìè îòðåçêà [a, b],òî ïîëó÷èì ýêñòðàïîëÿöèþ. Ïðè âûñîêèõ ñòåïåíÿõ ìíîãî÷ëåíà ýêñòðàïîëÿöèÿ,î÷åâèäíî, èìååò î÷åíü áîëüøóþ ïîãðåøíîñòü.Ïîãðåøíîñòü èíòåðïîëÿöèè Ëàãðàíæà îöåíèâàåòñÿ ïðè ïîìîùè n êðàòíîãîïðèìåíåíèÿ òåîðåìû Ðîëëÿf (n) (ξ)ωn (x),f (x) − Ln−1 (x) =n!ωn (x) =defnY(x − xi ).i=1×òîáû òàêàÿ îöåíêà áûëà âåðíà òðåáóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîéf (n) íà ðàññìàòðèâàåìîì îòðåçêå.(n)Âåëè÷èíà f n!(ξ) ωn (x) íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì. Îöåíèâàòü åãî ìîæíî èñâåðõó è ñíèçó.Åñëè âñå èíòåðïîëÿöèîííûå óçëû óñòðåìèòü ê îäíîé òî÷êå, òî èçèíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëû Ëàãðàíæà ïîëó÷èì ôîðìóëó Òåéëîðà â ýòîéòî÷êå.
Ñîîòâåòñòâåííî, ôîðìóëà ïîãðåøíîñòè èíòåðïîëÿöèè ïåðåéäåò â ôîðìóëóîñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ôîðìóëû Òåéëîðà.Ïóñòü èìååòñÿ Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 , {a0 , ..., an } - èçâåñòíû. Íóæíîíàéòè Pn â êàêîé-ëèáî òî÷êå• 1 ïóòü: âû÷èñëèòü ïîñëåäîâàòåëüíî a0 , a1 x, ..., an xn - ÷èñëî îïåðàöèé ∼ O(n2 )• 2 ïóòü: âû÷èñëèòü x, x·x, ..., xn ïîòîì óìíîæèòü íà a1 , a2 , ..., an - ÷èñëî îïåðàöèèéO(n) (â ãëàâíîì ÷ëåíå 3n + O(1)) (òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîé ïàìÿòè)• 3 ïóòü: ñõåìà Ãîðíåðà((((an x + an−1 )x + an−2 )x + an−3 )x + an−4 )...(íå òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîé ïàìÿòè, ÷èñëî îïåðàöèé ìåíüøå (ïîðÿäêà 2n))93Óðàâíåíèÿ â êîíå÷íûõ ðàçíîñòÿõ.Óðàâíåíèÿ â êîíå÷íûõ ðàçíîñòÿõ.êóñî÷åê èç Ëåêöèè 5.Îïðåäåëåíèå.
Ëèíåéíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå k -ãî ïîðÿäêà - ýòî:kXai (n)y(n + i) = f (n),(3)i=0ãäå {ai }, f - çàäàííûå ôóíêöèè öåëî÷èñëåííîãî àðãóìåíòà (áóäåì ñ÷èòàòü n ∈OO)Îáîçíà÷èì:kXLy =ai (n)y(n + i).i=0Ly = 0 - îäíîðîäíîå óðàâíåíèå.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî y = y(C1 , . . .
, Cm , n) äàåò îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3), åñëèâàðüèðîâàíèåì Ci ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ∀ ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è.Ïóñòü y - îáùåå ðåøåíèå, v(n) - êàêîå-òî ÷àñòíîå ðåøåíèå, òîãäày(C1 , . . . , Cm , n) − v(n) - îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé çàäà÷è.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:Îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé çàäà÷è + ÷àñòíîå ðåøåíèå.Ïóñòü Ly = 0,y1 , ..., ym - ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è.÷òî {y1 , ..., ym } ëèíåéíî çàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∃C1 , ..., Cm :P Ñêàæåì,2Ci 6= 0, òàê ÷òîmXCi yi (n) ≡ 0 ∀ n.i=1y1 (n) = 1- ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûìè.y2 (n) = 2Ïóñòü y1 , ..., ym - ëèíåéíî-íåçàâèñèìûé íàáîð ðåøåíèé Ly = 0Ïðèìåð:y(n + 1) − y(n);⇒mXCi yi (n) − òîæå ðåøåíèå Ly = 0.i=1Áóäåì ñ÷èòàòü n ≥ 0.Òåîðåìà.
Ïóñòü ak (n) > 0, òîãäà îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé çàäà÷èLy = 0ìîæåò áûòü âûïèñàíî â âèäåy(n) =kPi=110Ci yi (n),ãäå y1 ...yk − ∀ ëèíåéíî-íåçàâèñèìûé íàáîð ðåøåíèé Ly = 0.k−1P ai (n)y(n + i).Äîêàçàòåëüñòâî. y(n + k) = −i=0 ak (n)Åñëè íàéäåì ðåøåíèå â òî÷êàõ 0, 1, ..., k − 1 ⇒ äàëüøå ñ÷èòàåì ïî ýòîé ôîðìóëå./åñëè n < 0, òî íàäî òðåáîâàòü ïîëîæèòåëüíîñòü îò 1-îãî êîýôôèöèåíòà/âðîäå áû íàäî òðåáîâàòü íåðàâåíñòâî íóëþ ïðàâîãî êîýôôèöèåíòà ðàçíîñòíîãîóðàâíåíèÿ ïðè ðåøåíèè âïðàâî n > 0a0 (n) y(n) + a1 (n)y(n + 1) + .
. . + ak (n) y(n + k) = 0| {z }| {z }ïðàâûéëåâûéè ëåâîãî ïðè ðåøåíèè âëåâî n < 0. Ïîõîæå òðåáîâàíèå íåîòðèöàòåëüíîñòè âñåõêîýôôèöèåíòîâ â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû èçëèøíå.Åñëè çàäàòüy(0), y(1), ..., y(k − 1) ⇒ ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ è îäíîçíà÷íî.Ïîñòðîèì òàêèå yk :yi (n) : 1) yi (j − 1) = δij j = 1, ..., k2)Lyi = 0⇒ y1 , ..., yk - ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé çàäà÷è.Ïðåäïîëîæèì îíè ëèíåéíî çàâèñèìû: ∃ C1 ...Ck òàêèå, ÷òîkXCi yi (n) ≡ 0 ∀ n(4)i=1èkPCi2 6= 0 ⇒ (4) âûïîëíÿåòñÿ ∀ n = 0, 1, ..., k − 1.
Ïîëàãàÿ n = j (j = 0, ..., k − 1)ïîëó÷èìkXCi yi (j) = Cj+1i=1i=1⇒ Cj = 0 ∀ j = 1, ...k.Ïîêàæåì, ÷òî ∀ ðåøåíèå ïðåäñòàâèìî â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè yi :äëÿ âû÷èñëåíèÿ y(n) íóæíî çàäàòü y(0), ..., y(k − 1)y(n) =kPCi yi (n)i=1Ci := y(i − 1) ⇒ y(i) = y(i) ∀ i = 0, .., k − 1 ÷.ò.ä.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ai (n) ≡ ai , êîãäà êîýôôèöèåíòû ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿïîñòîÿííûkXly =ai y(n + i) = 0.i=011Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå (ïî àíàëîãèè ñ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè eλx )à k!q = 0 − íå èíòåðåñíîXnnikPy(n) = q , ⇒ qai q = 0, →q 6= 0 →ai q i = 0 õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåi=0i=0Ïóñòü êîðíè q1 , ..., qk ∈ R ïîïàðíî ðàçëè÷íûå.
Òîãäàíåçàâèñèìû.! Ò.å. ñèñòåìà ôóíêöèéyl (n) = qlnyp (n) = qpn- ëèíåéíîyi (n) = qin- ëèíåéíî íåçàâèñèìà.i = 1, k⇒ îáùåå ðåøåíèå:y(n) =kXCi qin .i=1Ïðåäïîëîæèì ñðåäè êîðíåé q1 , ..., qk ∈ R åñòü êðàòíûå.Òåîðåìà.Ïóñòü q1 - êîðåíü êðàòíîñòè s. Òîãäà ∃ s ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèéâèäàãäå Cnk =q1n , Cn1 q1n , ..., Cns−1 q1n ,n!.k!(n − k)!Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü q1 = q2 = ... = qs . Çàïèøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîåóðàâíåíèåkXai q i = aki=0kY(q − qj )(5)j=1Ââåäåì ïàðàìåòð ε > 0, êîòîðûé ïîòîì óñòðåìèì ê íóëþ, è ïîñòðîèìïîñëåäîâàòåëüíîñòü {qjε }j=1,k òàêóþ, ÷òî1. qjε - ðàçëè÷íû ïðè j = 1, s2.
qjε → qj ïðè ε → 0, j = 1, k, ïðèìåð : q1 = . . . qs = 1 ,q1ε = 1 + εq2ε = 1 + 2ε...ïîñòðîèì äëÿ íèõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí:0 ≡ akkY(q − qjε ) ≡j=1kXaiε q i(6)i=0òåïåðü ε → 0, aiε → ai (ñì. (5) è (6))(6) ↔kXaiε yε (n + i) = 0i=012(8)Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ðàçëè÷íû, ñëåäîâàòåëüíî îáùåå ðåøåíèåèìååò âèäkXnyε (n) =Ci qiε(7)i=1Íàäî ïðè ε > 0 íàéòè yε (n) :yε (n) → y(n)(ε → 0)(â (7) íåëüçÿ "â ëîá" ïåðåõîäèòü ê ïðåäåëó, ïîëó÷èì íåâåðíûé ðåçóëüòàò).Ðàññìîòðèì ñëó÷àé s = 1, q1 = q2y2ε (n) := q n (q1ε ; q2ε )°= ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü äëÿ ôóíêöèè q nnnq − q1ε°= - ýòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8)°= 2εq2ε − q1εn−1n−2n−1°= q2ε+ q2εq1ε + .
. . + q1ε−→ n · q1n−1ε→0q1n - ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, n · q1n−1 - äîïîëíèòåëüíîå ðåøåíèå. Ìîæíîäîìíîæèòü åãî íà q : Cn1 q1n .! äîêàçàòü, ÷òî îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé s > 2q1 = q2 = . . . = qs .(n)yεn= q (q1ε ; . . . ; qsε ) =sPj=1!°=Pn1 +...+ns =n+1−sn1q1εnqjεQ°=(qjε − qiε )i6=jns. . . qsε(ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (8))×èñëî ñëàãàåìûõ Cns−1 . Ïåðåõîä ê ïðåäåëó:−→ Cns−1 q1n+1−s (ε → 0)Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì (äîìíîæèâ íà q s−1 ) ðåøåíèå Cns−1 q1n−1 .Àíàëîãè÷íî ñòðîèì äðóãîå ðåøåíèå (ìåíüøå àðãóìåíòîâ â ðàçäåëåííîé ðàçíîñòè)yε(n) = q n (q1ε ; .
. . ; q(s−1)ε ) −→ Cns−2 q1n (ε → 0)è ò.ä.Ïîëó÷èìíàáîðôóíêöèé(9);îíèëèíåéíîíåçàâèñèìû(áåçäîêàçàòåëüñòâà).Íà ïðàêòèêå: s - êðàòíîñòü êîðíÿ q1 ↔ q1n , nq1n , . . . , ns−1 q1n - ëèíåéíî íåçàâèñèìûåðåøåíèÿ.( Cns−1 - ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè (s − 1) îò n.)÷.ò.ä.13Åñëè 2 êîðíÿ êîìïëeêñíî ñîïðÿæåíû:q1,2 = r(cos ϕ ± i sin ϕ)Ðåøåíèÿ q1n , q2n - ëèíåéíî íåçàâèñèìû.(ðàáîòàòü â C ïëîõî)Ìîæíî çàïèñàòü ðåøåíèå â äðóãîì âèäå:yn = C1 q1n + C2 q2n , q1n = rn (cos nϕ + i sin nϕ)C1 , C2 := 1/2 ⇒ yn1 = rn cos nϕ12⇒ yN= rn sin nϕ − ëèíåéíî íåçàâèñèìûC1 = −C2 =2i⇒ yn = rn (α1 cos nϕ + α2 sin nϕ)! Åñëè êðàòíîñòü êîìïëåêñíîãî êîðíÿ > 1 → äîìà.Åñëè òðåáóåòñÿ ðåøèòü íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå âèäàly = µn · Pm (n)íàäî âî-ïåðâûõ ïðîâåðèòü: µ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èëèíåò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
