Ответы на экзаменационные вопросы (1163657), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Åñëè äà è êðàòíîñòü s ⇒yn∗ = ns · µnQm (n)ïðîèçâ.ìí-íêîýôôèöèåíòû Q íàõîäÿòñÿ èç ïîäñòàíîâêè.4Ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà è èõ ñâîéñòâà. çíàê ïðèçíàíèÿ çíà÷èìîñòè òðóäîâ Ïàôíóòèÿ Ëüâîâè÷à ×åáûøåâà ìíîãèåìàòåìàòèêè ïðîèçíîñÿò åãî ôàìèëèþ ñ óäàðåíèåì íà ïîñëåäíåì ñëîãå, óòâåðæäàÿ,÷òî ñàì îí òàê ñåáÿ íàçûâàë.Îïðåäåëåíèå.T0 (x) = 1, T1 (x) = x, Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x).Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëàTn (x) = cos(n arccos x).Ýòà ôîðìóëà óäîáíà ïðè −1 ≤ x ≤ 1. Èñïîëüçóÿ ìåòîä ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãîóðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ëåãêî ïîëó÷èòü ôîðìóëó´n ´´n ³√√1 ³³,x + x2 − 1 + x − x2 − 1Tn (x) =214êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ âíå îòðåçêà [−1, 1].Èç òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìû Tn (x) íàõîäÿòñÿ êîðíèxk = cosπ(2k − 1), k = 1, .
. . , n.2nÒàêèì îáðàçîì, íàéäåíî n êîðíåé ó ìíîãî÷ëåíà n-íîé ñòåïåíè, òàê ÷òî äðóãèõ êîðíåéáûòü íå ìîæåò.Ìåæäó íóëÿìè íàõîäÿòñÿ ýêñòðåìóìû Tn (x). Åñëè äóãó, îïèðàþùóþñÿ íàîòðåçîê [−1, 1], ðàâíîìåðíî ðàçáèòü íà n ÷àñòåé è èç ïîëó÷åííûõ òî÷åê îïóñòèòüïåðïåíäèêóëÿðû íà îñü àáñöèññ, ïîëó÷èì òî÷êè ýêñòðåìóìîâ ìíîãî÷ëåíà. Òî÷êèx = −1 è x = 1 ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ýêñòðåìóìà íà ñåãìåíòå [−1, 1]. Åñëè íàðèñîâàòüêàðòèíêó, ñòàíåò ÿñíî, ÷òî óçëû è ýêñòðåìóìû Tn (x) ñãóùàþòñÿ ê êîíöàì îòðåçêà[−1, 1], à â öåíòðå îòðåçêà ðàçðÿæàþòñÿ.
Íà êàðòèíêå - ãðàôèê ïðèâåäåííîãîìíîãî÷ëåíà ×åáûøåâà 20-é ñòåïåíè.1e–058e–06y6e–064e–062e–06–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0–2e–060.2 0.4 0.6 0.8x1–4e–06–6e–06–8e–06–1e–05Èç ðåêóððåíòíîé ôîðìóëû ñðàçó âèäíî, ÷òî ìíîãî÷ëåíû ÷åòíîé ñòåïåíè ÿâëÿþòñÿ÷åòíûìè ôóíêöèÿìè, à íå÷åòíîé ñòåïåíè - íå÷åòíûìè.Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ ïîìîæíî ïîëó÷èòü√ ÷àñòÿì,−12îðòîãîíàëüíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà ñ âåñîì p(x) = ( 1 − x ) :Z1Tn (x)Tm (x)p(x)dx = 0, åñëè n 6= m.−11Ïðèâåäåííûé ìíîãî÷ëåí ×åáûøåâà T̄n (x) = n−1 Tn (x) = xn + an−1 xn−1 + . .
. +2a0 , ò.å. ìíîãî÷ëåí ñ êîýôôèöèåíòîì 1 ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè, ÿâëÿåòñÿ íàèìåíååóêëîíÿþùèìñÿ îò íóëÿ ñðåäè âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ âèäà Pn (x) = xn + bn−1 xn−1 + . . . + b0íà îòðåçêå [−1, 1] :max |Pn (x)| ≥ max |T̄n (x)| = 21−n .[−1,1][−1,1]Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî â îäíó ñòðîêó.155Ìèíèìèçàöèÿ ïîãðåøíîñòè îñòàòî÷íîãî ÷ëåíàèíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëû.Ðàññìàòðèâàÿ ôîðìóëó îöåíêè ïîãðåøíîñòè èíòåðïîëÿöèè Ëàãðàíæàf (x) − Ln−1 (x) =f (n) (ξ)ωn (x),n!ωn (x) =defnY(x − xi ).i=1è ó÷èòûâàÿ, ÷òî î ïðîèçâîäíîé f (n) (x) îáû÷íî íè÷åãî õîðîøåãî íå èçâåñòíî, ïîëó÷àåìçàäà÷ó:Êàê âçÿòü x1 , ..., xn , ÷òîáû kωn kC áûëà íàèìåíüøåé? Ðàâíîìåðíîå ðàçáèåíèåîòðåçêà íå îïòèìàëüíî.1Ïðèìåð: äëÿ ðàâíîìåðíîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [−1, 1] è ôóíêöèè f (x) =225x + 1ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîlim kf − Ln kC = +∞n→∞Íàèáîëåå õîðîøåé ÿâëÿåòñÿ èíòåðïîëÿöèÿ ïî óçëàì ìíîãî÷ëåíà, íàèìåíååóêëîíÿþùåãîñÿ îò íóëÿ íà îòðåçêå èíòåðïîëèðîâàíèÿ [a, b], êîòîðûé ëåãêî ïîëó÷àåòñÿèç ïðèâåäåííîãî ìíîãî÷ëåíà ×åáûøåâà ñòàíäàðòíîé çàìåíîé ïåðåìåííûõ¶¶n µµ2x − (a + b)b−a[a,b].T̄nT̄n (x) =b−a2Äëÿ íîðìû ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé kgkC = max |g(x)| ïîëó÷èì[a,b]kf − Ln kC ≤kf (n) kC · kωn kC.n!ωn èìååò íóëè íà [−1, 1], êîýôôèöèåíò ïðè xn ðàâåí 1.⇒kf (n) kC (b − a)nn!22n−1kf − Ln kC ≤Åñëè â ïðèìåðå áðàòü òî÷êè xi - íóëè ìíîãî÷ëåíà ×åáûøåâà, òî âñå ïîëó÷èòñÿ:kf − Ln kC → 0 (n → ∞).6Ðàçäåëåííûå ðàçíîñòè è èõ ñâîéñòâà.Îïðåäåëåíèå.Ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü (ð.ð.)• ð.ð.
íóëåâîãî ïîðÿäêà â ò. xf (x)16• ð.ð. ïåðâîãî ïîðÿäêà:f (xi ; xj ) =f (xj ) − f (xi )xj − xi• ð.ð. âòîðîãî ïîðÿäêà:f (xj ; xk ) − f (xi ; xj )xk − xif (xi ; xj ; xk ) =(òî÷êè íå îáÿçàíû áûòü ðàçëè÷íûìè: åñëè ñîâïàäóò - ìîæíîäîîïðåäåëèòü ïðîèçâîäíîé (â ñëó÷àå 1-ãî ïîðÿäêà), åñëè îíà ñóùåñòâóåò)• ð.ð. k - ãî ïîðÿäêà:f (x1 ; ...; xk+1 ) =Ëåììà.f (x1 ; ...; xk ) =kPÃf (xj )j=1Qf (x2 ; ...; xk+1 ) − f (x1 ; ...; xk )xk+1 − x1!−1, (xi − ðàçëè÷íû).(xi − xj )i6=jÄîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ïî èíäóêöèè.èç Ëåêöèé:Äîêàçàòåëüñòâî : ïî èíäóêöèè: k = 1 - î÷åâèäíî.Ïóñòü ñïðàâåäëèâî äëÿ k ≤ m. Ðàññìîòðèì k = m ⇒f (x2 ; ...; xm+1 ) − f (x1 ; ...; xm )=f (x1 ; ...; xm+1 ) =xm+1 − x1ÃÃ!−1!−1 mm+1PQPQ1f (xj )f (xj )(xi − xj )−(xi − xj )=xm+1 − x1 j=2j=1i6=j,2≤i≤m+1i6=j,1≤i≤mïðèj = 1, j = m = 1 ⇒ f (xj ) : êîýôôèöèåíò ïðèj=1 ⇒111· − Q= Q(x1 − xi )(x1 − xi )xm+1 − x1m≥i≥11·j =m+1 ⇒xm+1 − x1Qi6=11(xm+1 − xi )2≤i≤m=QQ1−(xj − xi )2≤i≤m,i6=j(xm+1 − xi )i6=m+1ïðè 1 < j < m + 1 ⇒ êîýôôèöèåíò ïðè f (xj ) :1·xm+1 − x11Q11= Q(xj − xi )(xj − xi )1≤i≤m,i6=ji6=j÷.ò.ä.Ó ðàçäåëåííûõ ðàçíîñòåé åñòü ìíîãî õîðîøèõ è ïîëåçíûõ ñâîéñòâ.
Îäíî èç íèõÐàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà ñëåäîâàíèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ!177Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåíñ ðàçäåëåííûìè ðàçíîñòÿìè.Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà ìîæíî çàïèñàòü â âèäåLn−1 (x) = f (x1 ) + f (x1 ; x2 )(x − x1 ) + . . . + f (x1 ; . .
. ; xn )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 ),ïðè÷åì ìíîãî÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íàçûâàåòñÿ èíòåðïîëÿöèîííûéìíîãî÷ëåí Íüþòîíà, è îò ìíîãî÷ëåíà Ëàãðàíæà îí îòëè÷àåòñÿ òîëüêî ôîðìîéçàïèñè!Èç Ëåêöèè 5nPQ x − xi=f (x) − Ln (x) = f (x) −f (xi )i=1j6=i xi − xjµn¶nX f (x)Qf (xi )Q−=(x − xi ) nQ(x−x)(x−x)ijii=1(x − xi ) i=1j=i}{z| i=1f (x; x1 ; . . . ; xn )−ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòüïîëó÷èëè ïðåäñòàâëåíèåf (x) − Ln (x) = f (x; x1 ; . .
. ; xn )ωn (x);ωn (x) =nY(x − xi )(1)Ln (x) = L1 (x) + (L2 (x) − L1 (x)) + . . . + (Ln (x) − Ln−1 (x))(2)dfi=1Çàïèøåì î÷åâèäíîå òîæäåñòâî(L1 (x) = const, L2 − ëèíåéíûé è ò.ä.)Ïóñòü Lm (x)- èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí, ïîñòðîåííûé ïî x1 ...xm , (m < n).ÐàññìîòðèìLm (x) − Lm−1 (x)- ýòî ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè m − 1,x1 , ..., xm−1 - ÿâëÿþòñÿ íóëÿìè ýòîãî ìíîãî÷ëåíà, èõ âñåãî m−1, è âñå îíè ðàçëè÷íû⇒ Lm (x) − Lm−1 (x) = Am−1m−1Y(x − xk ) = Am−1 ωm−1 (x); Am−1 = const.k=1 òî÷êå xm f (xm ) = Lm (xm ) è ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïåðåïèøåì â âèäåf (x) − Lm−1 (x) = Am−1 ωm−1 (x).6=018 (1) ïîëîæèì n = m − 1, x = xm ⇒f (xm ) − Lm−1 (xm ) = f (xm ; x1 ; . .
. ; xm−1 )ωm−1 (x),èç äâóõ ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ⇒ Am−1 = f (xm ; x1 ; . . . ; xm−1 )òîãäàLm (x) − Lm−1 (x) = f (x1 ; . . . ; xm )ωm−1 (x).Ïîäñòàâèì â (2), ïîëó÷èì âåëè÷èíó, íå çàâèñÿùóþ îò çíà÷åíèÿ f â òî÷êå xLn (x) = f (x1 ) + f (x1 ; x2 )(x − x1 ) + . . .+f (x1 ; .
. . ; xn )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )- èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Íüþòîíà.ª äëÿ âû÷èñëåíèÿ f (x1 ; . . . ; xm ) íóæíû ðåêêóð. ñîîòíîøåíèÿ;⊕ ïðè äîáàâëåíèè xn+1 íàì íå íóæíî ïåðåñ÷èòûâàòü Ln (x), íàäî òîëüêî äîáàâèòüê íåìó ñëàãàåìîå f (x1 ; . . . ; xn+1 )(x − x1 ) . .
. (x − xn ).8×èñëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå.Ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ôîðìóë÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.Åñëè íà ñåòêå xi ∈ [a, b] çàäàíû çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (xi ), òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿñàìîé ôóíêöèè â ëþáîé òî÷êå îòðåçêà ìû óìååì ïðèìåíÿòü èíòåðïîëÿöèþf (x) ≈ Ln (x), Ln (x) èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí .Àíàëîãè÷íî, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé â ëþáîé òî÷êå îòðåçêà ìîæíî èñïîëüçîâàòüäèôôåðåíöèðîâàíèå èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíàf (k) ≈ L(k)n (x).Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ôîðìóë ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïîëó÷àåòñÿ èçîöåíêè îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà. ðàìêàõ ýòîãî êóðñà ÷àñòè÷íî èçó÷àåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïîëÿöèÿè äðóãèå ñïîñîáû ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé - íàèëó÷øåå ðàâíîìåðíîå, ïî ìåòîäóíàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ è äð. Çäåñü òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííûå ôîðìóëûäëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè èç äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõïðèáëèæåíèé.19Îñíîâíûì ñïîñîáîì ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèéïðîèçâîäíûõ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâf(k)(x) ≈nXci f (xi ),i=1ãäå êîýôôèöèåíòû ci ïîäáèðàþòñÿ èç êàêèõ-ëèáî ñîîáðàæåíèé.
Ïðîñòåéøèé ñïîñîá- ÷òîáû ôîðìóëà áûëà òî÷íà äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ íàèáîëåå âûñîêîé ñòåïåíè (âìåñòîf (x) ïîäñòàâëÿåì 1, x, x2 , x3 , ... - ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ci èç óñëîâèÿòî÷íîãî ðàâåíñòâà).  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àþòñÿ òàêèå æå ôîðìóëû, êàê ïðèäèôôåðåíöèðîâàíèè èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà Ëàãðàíæà.Ïóñòü ñåòêà ðàâíîìåðíàÿ xi = ih. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé ïåðâîéïðîèçâîäíîé â òî÷êå íà îòðåçêå [0, 1] ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó ïî äâóì òî÷êàì.Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Òåéëîðà ïîëó÷èì ïîãðåøíîñòü òàêîé ôîðìóëû O(h), x 6= xi + xi+1 ;f(x)−f(x)i+1i2x ∈ [xi , xi+1 ].+f 0 (x) = O(h2 ), x = xi + xi+1 ;h2Ïðîñòî èç ðàçëîæåíèÿ(xi+1 − x)2+ O(h3 ),f (xi+1 ) = f (x) + f 0 (x)(xi+1 − x) + f 00 (x)2âû÷èòàåì ðàçëîæåíèå(xi − x)2+ O(h3 ).f (xi ) = f (x) + f 0 (x)(xi − x) + f 00 (x)2Ïî äâóì òî÷êàì ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó íå âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè,ïðè÷åì âòîðîé ïîðÿäîê ïîëó÷àåòñÿ òîëüêî â ñëó÷àå ñèììåòðèè.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó½f (xi+1 ) − 2f (xi ) + f (xi−1 )O(h), x 6= xi ;00+, x ∈ [xi−1 , xi+1 ].f (x) =2O(h2 ), x = xi ;hÏðè ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè ïðèìåíÿþòîáåçðàçìåðèâàíèå òàê, ÷òîáû ôóíêöèè, êîòîðûå íàäî äèôôåðåíöèðîâàòü èèíòåãðèðîâàòü, áûëè áû ïîðÿäêà åäèíèöû.
Ñîîòâåòñòâåííî, ñåòêè è ñïîñîáûàïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ è èíòåãðàëîâ âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòüæåëàåìóþ òî÷íîñòü (íàïðèìåð, 0.1%). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî íàäîáðàòü ñåòêó h = 10−2 ∼ 10−4 . Æåëàíèå óìåíüøèòü øàã ñåòêè è ïîëó÷èòü áîëååòî÷íûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïðèâîäèò ê âû÷èñëèòåëüíîéïîãðåøíîñòè.
Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â ÝÂÌ õðàíÿòñÿ ñ òî÷íîñòüþ, íàïðèìåð 10−18 .Òîãäà ïðè âû÷èñëåíèè ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïî ïðèáëèæåííîé ôîðìóëå ïîëó÷èìâû÷èñëèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü ∼ 10−18 /h. ßñíî, ÷òî ïðè h ∼ 10−100 âû÷èñëèòåëüíàÿïîãðåøíîñòü íåäîïóñòèìî áîëüøàÿ.Ïðèìåð: ãðàôèê ôóíêöèè ðèñóåòñÿ, äàæå åñëè â çíàìåíàòåëå íîëü.20ππsin( + h) − sin( )3 , h = −.3.. .3, y = .3...73plot h0.70.6y 0.50.4–0.3–0.2–0.1 0.3 00.10.2hÅñëè ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ ñ îêðóãëåíèÿìè, ïîëó÷àåòñÿ:ππsin( + h) − sin( )33a := h →h1, | , a(h) = , 0.455901882h= ,101, | , a(h) = , 0.49566154h= ,1001, | , a(h) = , 0.4995666h= ,10001, | , a(h) = , 0.499954h= ,100001, | , a(h) = , 0.49996h= ,1000001, | , a(h) = , 0.4997h= ,10000001, | , a(h) = , 0.497h= ,10000000210.31, | , a(h) = , 0.471000000001, | , a(h) = , 0.2h= ,10000000001, | , a(h) = , −3.h= ,10000000000h= ,Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî áðàòü h ìåíüøå, ÷åì 10−4 ∼ 10−5 íåëüçÿ.9Âû÷èñëèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòüôîðìóë ÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.Ïðàâèëî Ðóíãå ïðàêòè÷åñêîé îöåíêèôîðìóë ÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.èç Ëåêöèè 8:Ïîãðåøíîñòü ôîðìóëû ïðèáëèæåííîãîïîëó÷àåòñÿ ïðè ïîìîùè ôîðìóëû Òåéëîðàâû÷èñëåíèÿïðîèçâîäíîéôóíêöèèhh21f (x + h) − f (x)= (f (x) + hf 0 (x) + f 00 (x) + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
