Ответы на экзаменационные вопросы (1163657), страница 4
Текст из файла (страница 4)
− f (x)) = f 0 (x) + f 00 (ξ);22hh2h2h1f (x + h) − f (x − h)+ ...) =(f (x) + hf 0 (x) + f 00 (x) + ... − f (x) + hf 0 (x) −=222h2h 20000000002f (ξ)f (ξ1 ) + f (ξ2 )hh.== f 0 (x) + f 000 (ξ1 ) + f 000 (ξ2 ) = f 0 (x) + αh2 , α =6121212Ïðè ðåàëüíûõ âû÷èñëåíèÿõ íà ÝÂÌ ñëåäóåò ó÷èòûâàòü âëèÿíèå ïîãðåøíîñòåéîêðóãëåíèÿ. Âñåãäà âìåñòî f (x) ïîëó÷àåòñÿ f˜(x)|f − f˜| ≤ ε ∼ 10−8 99K 10−16 .Ïîâåäåíèå ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè R(h) ñ èñïîëüçîâàíèåìîäíîñòîðîííåé ðàçíîñòè ïîêàçàíî íà ðèñóíêå.22R(h)r6¡¡¡C · h¡¡¡¡¡¡¡2ε¡¡h0 ¡¡¡hhR(h) = C · h +2εhoptÌèíèìàëüíîå çíà÷åíèå R(h), êàê ñóììû äâóõ âûïóêëûõ âíèç ôóíêöèé,ïîëó÷àåòñÿ, êîãäà ñëàãàåìûå ðàâíû.εR = C − 2 = 0 ⇒ hopt =h0r1ε, R(hopt ) = O(ε 2 ).CÄëÿ öåíòðàëüíîé ðàçíîñòè ïîëó÷àåòñÿεR(h) = c1 h2 +hεC1 h − 2 = 02h√2hopt = 3 ε, Ropt = O(ε 3 ).Äëÿ ôîðìóëû âû÷èñëåíèÿ k -òîé ïðîèçâîäíîé ïî ôîðìóëå ñ ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèèp ïîëó÷èòñÿmPCj f (xj )f (k) ≈j=1hkC2 εR(h) = C1 hp + khp1hopt ∼ ε p+k , Ropt ∼ ε p+kÏðàâèëî Ðóíãå îöåíêè ïîãðåøíîñòåé(k)f (k) (x) − Dp (h)f (x) = chp + O(hp+1 )(k)f (k) (x) − Dp (qh)f (x) = c̃(qh)p + O(hp+1 )23c ≈ c̃ ïðè äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ôóíêöèè f .(k)(k)Dp (h)f (x) − Dp (qh)f (x)+ O(hp+1 )ch =pq −1p(I)h(I) - ïåðâîå ïðàâèëî Ðóíãå: áåðåì ε > 0, ε ¿ 1, âû÷èñëÿåì D(h), D( ), èç (I) íàõîäèì2chp ; åñëè chp < ε µ- ïðîèçâîäíàÿíàéäåíà ñ íóæíîé òî÷íîñòüþ, èíà÷å óìåíüøàåì øàã¶phhè ò.ä.âäâîå D( ) ⇒ c24(II) ïðàâèëî Ðóíãå - ïîâûøåíèå ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèèf (x + h) − f (x − h)= Ch2 + O(h4 )2hf (x + h/2) − f (x − h/2)= C(h/2)2 + O(h4 )f 0 (x) −2hf (x + h/2) − f (x − h/2) f (x + h) − f (x − h)−f 0 (x) −2h2h+ O(h4 ) =Ch2 =1 − 1/414= (2f (x + h/2) − 2f (x − h/2) − f (x + h) + f (x − h)) + O(h4 )2h3f (x + h) − f (x − h) 2 140+ · ( .
. . ) + O(h ).f (x) =3 h2hf 0 (x) −Ðîìáåðã(k)Dp (h)h(k)Dp (h/2)h/2(k)Dp (h/4)h/4(k)Dp (h/8)h/8(k)h/16 Dp (h/16)10(k)Dp+1 (h/2)(k)Dp+1 (h/4)(k)Dp+1 (h/8)(k)Dp+1 (h/16)(k)Dp+2 (h/4)(k)Dp+2 (h/8)(k)Dp+2 (h/16)···(k)Dp+3 (h/8)Êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû Íüþòîíà-Êîòåñà.Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïðîñòåéøèõ êâàäðàòóðíûõôîðìóë.Áåðåì çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëàRbap(x)f (x)dx = I(x), ãäå p(x)òàê íàçûâàåìàÿ âåñîâàÿ ôóíêöèÿ. Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è áóäåìnPèñïîëüçîâàòü ôîðìóëû âèäàci f (xi ) = Sn (f ). Òàêèå ôîðìóëû è åñòü êâàäðàòóðíûå.i=124Ïðî âåñîâóþ ôóíêöèþ ñðàçó äóìàåì òàê, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà ëþáîéñòåïåíè îò x èíòåãðàëû ïî [a, b] áåðóòñÿ àíàëèòè÷åñêè â ÿâíîì âèäå, òàê ÷òî ïîîòíîøåíèþ ê ñëó÷àþ p(x) ≡ 1 òðóäíîñòåé íå äîáàâëÿåòñÿ.Óçëû êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû xi ∈ [a, b] âûáèðàåì ñàìè.
Ñòðîèì ïî ýòèìóçëàì èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà Ln−1 äëÿ ôóíêöèè f (x), çàìåíÿåìïîäèíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ íà åå èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí è ïîëó÷àåìRbçàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëàp(x)Ln−1 (x)dx, êîòîðàÿ àíàëèòè÷åñêè ðåøàåòñÿaâ ÿâíîì âèäå (òàêîå ñâîéñòâî ìû ïîòðåáîâàëè îò âåñîâîé ôóíêöèè). Ïîëó÷àåìêâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó èíòåðïîëÿöèîííîãî òèïà. Åñëè èíòåðïîëÿöèîííûå óçëû xiâçÿòü ðàâíîîòñòîÿùèìè, òî ïîëó÷èì êâàäðàòóðû Íüþòîíà-Êîòåñà.Îöåíêó ïîãðåøíîñòè èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëû Ëàãðàíæà ïîìíèì íàèçóñòüf (x) − Ln−1 (x) =f (n) (ξ)ωn (x), ωn (x) = (x − x1 ) · .
. . · (x − xn ).n!Èíòåãðèðóåì åå, óñèëèâàåì íåðàâåíñòâà, ãäå íàäî, è ïîëó÷àåì îöåíêó ïîãðåøíîñòèêâàäðàòóðíîé ôîðìóëû èíòåðïîëÿöèîííîãî òèïàkf (n) kI(x) − Sn (x) ≤n!Zb|p(x)| · |ωn (x)|dx.aÏðîñòåéøèå êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû (p(x) ≡ 1)RbaRbµf (x)dx ≈ (b − a)fa+b2¶ôîðìóëà ïðÿìîóãîëüíèêîâb−a(f (a) + f (b))ôîðìóëà òðàïåöèé2 µa¶¶µRba+bb−a+ f (b)ôîðìóëà Ñèìïñîíàf (a) + 4ff (x)dx ≈26af (x)dx ≈Îöåíêè ïîãðåøíîñòåé ýòèõ ôîðìóë ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç îöåíêè ïîãðåøíîñòèèíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà Ëàãðàíæà, ïðè÷åì â ôîðìóëå ïðÿìîóãîëüíèêîâìîæíî âçÿòü ìíîãî÷ëåí íóëåâîé ñòåïåíè èëè ïåðâîé ñòåïåíè, ïðè ýòîì óçåëa+báóäåò êðàòíûì.  ôîðìóëå Ñèìïñîíà ñðåäíèé óçåë òàêæå âûáðàíèíòåðïîëÿöèè2êðàòíûì(b − a)3(b − a)2,èëè R(f ) = max |f 00 (x)|[a,b][a,b]244(b − a)3,R(f ) = max |f 00 (x)|[a,b]12(b − a)5.R(f ) = max |f (4) (x)|[a,b]2880R(f ) = max |f 0 (x)|25Ïóñòü f (x) ïîëîæèòåëüíàÿ.
Ñîñòàâíàÿ ôîðìóëà ïðÿìîóãîëüíèêîâZbf (x)dx ≈nXci f (xi )i=1aèìååò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ñóììû ïëîùàäåé ïðÿìîóãîëüíèêîâ. ßñíî, ÷òî óíîðìàëüíîé êâàäðàòóðû êîýôôèöèåíòû (íàçûâàþòñÿ âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè)äîëæíû áûòü ïîëîæèòåëüíûìè.Êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû Íüþòîíà-Êîòåñà - íåíîðìàëüíûå. Ïðè êîëè÷åñòâå óçëîâáîëüøå 7 íåêîòîðûå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû ïîëó÷àþòñÿ îòðèöàòåëüíûå.
Òàê ÷òî èìèíå ïîëüçóþòñÿ.Ñëåäóþùàÿ ïðîñòåíüêàÿ ïðîãðàììêà â Mapl ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü êîýôôèöèåíòûêâàäðàòóð Íüþòîíà-Êîòåñà. Ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû äëÿ êâàäðàòóð íà îòðåçêå [−1, 1] ñâåñîâîé ôóíêöèåé p(x) ≡ 1 è êîëè÷åñòâîì óçëîâ îò 2 äî 11. Ïðè n = 9 ïîÿâëÿþòñÿîòðèöàòåëüíûå êîýôôèöèåíòû. Ïðè n = 10 âñå êîýôôèöèåíòû ïîëîæèòåëüíû. Ïðèn = 11 è áîëüøå îòðèöàòåëüíûå êîýôôèöèåíòû "ñêîðåå âñåãî" åñòü.>>restart;p(x):=1;for n from 2 to 11 do(i−1)end dofor i to n do xi := −1 + 2 n−1for m to n do eq m :=R1−1x(m−1) p(x) dx =Pn(m−1)' end do'i'=1 'ci xisolve({seq(eq[i],i=1..n)});end do;p(x) := 1{c2 = 1, c1 = 1}114{c2 = , c3 = , c1 = }3333131{c1 = , c2 = , c4 = , c3 = }44443273274{c3 = , c5 = , c4 = , c1 = , c2 = }4545454515252519252519, c5 = , c 4 = }, c 2 = , c3 = , c6 ={c1 =72481447248144918419184168}, c2 = , c3 =, c1 =, c6 = , c 5 =, c7 ={c4 =140354201403542010575175129894935772989493577}, c8 =, c1 =, c5 =, c6 =, c7 =, c4 =, c3 ={c2 =864086408640320864086403208640>26588898910496−9285888989−90810496,, c2 =, c1 =, c6 =, c7 =, c8 =, c9 =, c5 =141751417514175141751417514175283514175−928}c3 =1417515741285728572889120927157411209,, c9 =, c10 =, c1 =, c5 =, c4 =, c3 =, c2 ={c7 =4480044800448002240028001120448002800288927}, c6 =c8 =22400112017807−48255675−161752657516067−48255675,, c6 =, c5 =, c4 =, c3 =, c2 =, c1 =, c7 ={c8 =1247455446237997927484429937655446237−161752657516067}, c9 =, c10 =c11 =9979274844299376{c4 =Äàëåå äàíû ðåçóëüòàòû äëÿ òîãî æå îòðåçêà ñ äðóãîé âåñîâîé ôóíêöèåé èêîëè÷åñòâîì óçëîâ îò 8 äî 11p(x) := ex + e(−x){c7 = 1.105968, c8 = 0.256279, c4 = 0.754364, c2 = 1.105968, c3 = 0.23379, c6 = 0.23379,c1 = 0.256279, c5 = 0.754364}{c3 = −0.366, c4 = 1.962, c7 = −0.366, c8 = 1.140, c9 = 0.2070, c5 = −1.177, c1 = 0.2070,c2 = 1.140, c6 = 1.962}{c8 = −0.074, c10 = 0.1900, c9 = 0.972, c6 = 0.171, c3 = −0.074, c2 = 0.972, c1 = 0.1900,c7 = 1.092, c5 = 0.171, c4 = 1.092}{c2 = 1.1, c11 = 0.16, c8 = 3., c9 = −0.7, c1 = 0.16, c10 = 1.1, c6 = 7., c5 = −3., c4 = 3., c7 = −3.,c3 = −0.7}11Ïîíÿòèå îá îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíàõ.Êâàäðàòóðû Ãàóññà è îöåíêà èõ ïîãðåøíîñòè.Ïóñòü íà îòðåçêå [a, b] èìååòñÿ ñèñòåìa îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñ âåñîì p(x)½Zb1, ψ1 (x), ψ2 (x), ..., ψk (x), ...p(x)ψk (x)ψn (x)dx =aÏðèìåðû: Ëåæàíäðàµ[−1, 1], p(x) = 1, Ln (x) =27> 0, k = n;= 0, k =6 n.¶1 dn 2n(x − 1) ;2n n! dxn×åáûøåâඵ1, óæå âûó÷åíû íàèçóñòü ,[−1, 1], p(x) = √1 − x2Ëàãåððඵnn −x−xn x d(x e ) ;[0, ∞), p(x) = e , Ln (x) = (−1) edxnÝðìèòඵn−x2−x2n x2 d(e ) .(−∞, ∞), p(x) = e , Hn (x) = (−1) edxnÓòâðåæäåíèå 1.
Îðòîãîíàëüíûé ìíîãî÷ëåí ψn (x) èìååò íà (a, b) ðîâíî n ðàçëè÷íûõêîðíåé.Åñëè åñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, òî ìîæíî ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîãîíàëüíûõìíîãî÷ëåíîâ èç ëþáîé ñèñòåìû ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé ϕ0 (x), ϕ1 (x), ..., íàïðèìåðèç ñèñòåìû 1, x, x2 , x3 , ..., ïðè ïîìîùè ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàììà-Øìèäòàψ0 (x) = ϕ0 (x),(ϕ1 (x), ψ0 (x))ψ0 (x),ψ1 (x) ⊥ ψ0 (x),(ψ0 (x), ψ0 (x))···························k (ϕPk+1 (x), ψi (x))ψi (x),ψk+1 (x) = ϕk+1 (x) −(ψi (x), ψi (x))i=1k = 1, 2, 3, .....ψ1 (x) = ϕ1 (x) −Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî â âû÷èñëèòåëüíîì îòíîøåíèè ýòà ïðîöåäóðà ìîæåò îêàçàòüñÿíåóñòîé÷èâîé, ò.å. ìîæåò ïðîèñõîäèòü íàêîïëåíèå âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè.Îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû ìîæíî ïðîíîðìèðîâàòü êàê óãîäíî.
Ìîæíî ïîòðåáîâàòü,÷òîáû ñòàðøèé êîýôôèöèåíò áûë ðàâåí 1, èëè ÷òîáû íîðìû ìíîãî÷ëåíîâ áûëè ðàâíû 1,èëè åùå êàê-íèáóäü.Óòâåðæäåíèå 2 (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ âèäà ψn (x) =nx + an−1 xn−1 + . . . + a0 ñïðàâåäëèâî ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå ψn (x) = (x + bn )ψn−1 (x) −cn ψn−2 (x) ñ êîýôôèöèåíòîì cn > 0.Òàêèì îáðàçîì, îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû íå îáÿçàòåëüíî ñòðîèòü ïðè ïîìîùèãðîìîçäêîãî è âû÷èñëèòåëüíî íåóñòîé÷èâîãî îáùåãî ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè ÃðàìàØìèäòà, à ìîæíî èñïîëüçîâàòü òðåõòî÷å÷íûå ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ.Åñëè âåñîâàÿ ôóíêöèÿ p(x) > 0, òî ìîæíî ïîñòðîèòü êâàäðàòóðóZbp(x)f (x)dx ≈nXci f (xi )i=1aòî÷íóþ äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ íàèáîëåå âûñîêîé ñòåïåíè. Òàêàÿ êâàäðàòóðà íàçûâàåòñÿêâàäðàòóðîé Ãàóññà. ýòîé çàäà÷å ôèêñèðîâàííûì ÿâëÿåòñÿ òîëüêî êîëè÷åñòâî óçëîâ n.
Îïðåäåëÿåìûìèïàðàìåòðàìè ÿâëÿþòñÿ x1 , ...xn , c1 , ..., cn - âñåãî 2n øòóê. Çíà÷èò ìîæíî, ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîf (x) 1, x, x2 , ..., x2n−1 è òðåáóÿ âûïîëíåíèÿ òî÷íîãî ðàâåíñòâà, ñîñòàâèòü ñèñòåìó èç 2nóðàâíåíèé äëÿ ýòèõ îïðåäåëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ. Îêàçûâàåòñÿ òàêàÿ ñèñòåìà ðàçðåøèìà, òàê28÷òî êâàäðàòóðà Ãàóññà áóäåò òî÷íà äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà äî ñòåïåíè 2n − 1 âêëþ÷èòåëüíî.Äîñòîèíñòâîì êâàäðàòóðû Ãàóññà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âñå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû ó íååïîëîæèòåëüíûå ci > 0.
(×åñòíîå äîêàçàòåëüñòâî èìååòñÿ â êíèãå [1].)èç Ëåêöèé 8, 9:Êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà ÃàóññàZbp(x)f (x)dx ≈anXCj f (xj )(∗∗)j=1Ëåììà. Ïóñòü x1 , ..., xn óçëû (∗∗) è (∗∗) òî÷íà äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè 2n − 1Z⇒abωn (x)Pn−1 (x) · p(x)dx = 0/ degPn−1 ≤ n − 1 /Äîêàçàòåëüñòâî. deg ωn (x)Pn−1 (x) ≤ 2n − 1Zb⇒ωn (x)Pn−1 (x) · p(x)dx =anXCj ωn (xj )Pn−1 (xj ) = 0j=1÷.ò.ä. ,̈_ωn (x) îðòîãîíàëüíà âñåì ìíîãî÷ëåíàì ìåíüøåé ñòåïåíè â ñêàëÿðíîì ïðîèçâåäåíèèZ(f, g) =bf (x)g(x)dx.aÄëÿ ∀ n òàêîé ìíîãî÷ëåí ∃ (è ∀ p(x) - èíòåãðèð. è çíàêîîïðåä.) è èìååò n êîðíåé ∈ (a, b).Óòâåðæäåíèå.
∀ n∃ ìíîãî÷ëåí Hn (x) ñòåïåíè n òàêîé, ÷òîZabp(x)Pn−1 (x)Hn (x) = 0∀ Pn−1 : degPn−1 ≤ n − 1ó Hn (x) ∃ n êîðíåé ∈ (a, b).(á/ä) ,̈^Íóëè ýòîé ôóíêöèè ðàçóìíî âçÿòü â êà÷åñòâå xj .Ïî p(x) ñòðîèì Hn (x), áåðåì åå íóëè - óçëû êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû, áåðåì Ln ïî ýòèì óçëàì,èíòåãðèðóåì è ïîëó÷àåì Cj .Zbf (x)dx ≈anXCj f (xj ) − òî÷íà äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ äî ñòåïåíè 2n − 1 âêëþ÷èòåëüíî.j=1Åñëè ôîðìóëà ∃, òî {xj } äîëæíû áûòü íóëÿìè îðòîãîíàëüíîãî ìíîãî÷ëåíàZabωn (x)P<n (x)dx = 0, ωn (x) =nY(x − xj ).j=129Ó ïðîèçâîëüíîãî îðòîãîíàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè n ∃n íóëåé, êîòîðûå ëåæàò íà êàêîì-òîîòðåçêå.Çàôèêñèðóåì n, xj âûáåðåì íóëÿìè îðòîãîíàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà (ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ýòîòìíîãî÷ëåí çàáåñïëàòíî âñå ñâîè íóëè ïîêàæåò), Cj ïîäáèðàåì òàê, ÷òîáû ôîðìóëà áûëàòî÷íà äëÿ ìíîãî÷ëåíà äî ñòåïåíè 2n − 1 âêëþ÷èòåëüíî.Óòâåðæäåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
