Группы симметри бифуркаций интегрируемых гамильтоновых систем (1162490)
Текст из файла
Группы симметрий бифуркаций интегрируемыхгамильтоновых системОрлова Е. И.АннотацияИзучаются двумерные атомы, с помощью которых кодируются бифуркации слоений Лиувилля невырожденных интегрируемыхгамильтоновых систем. А именно, изучаются группы симметрийатомов сложности не более трех. Рассматриваются атомы с группой симметрий Zp ⊕Zq . Доказано, что группа Zp ⊕Zq является группой симметрий некоторого торического атома.
Вычислены группысимметрий всех неориентируемых атомов сложности не более трех.1ВведениеПонятие атома было введено А. Т. Фоменко(см. [3,4]). Атомы кодируют типичные перестройки (бифуркации) торов Лиувилля в невырожденных интегрируемых гамильтоновых системах. В настоящее время втерминах двумерных атомов и “молекул” описаны многие известные интегрируемые системы с двумя степенями свободы и их классы относительно различных отношений эквивалентности. В частности, оказалось,что многомерные бифуркации торов Лиувилля представляются в видеполупрямых произведений двумерных атомов (см. [5]), что делает актуальным изучение групп симметрий двумерных атомов.
Двумерные седловые атомы можно эквивалентным образом задавать при помощи такназываемых f -графов [6].Напомним понятие двумерного седлового атома (далее просто — атома). Пусть M — связная замкнутая двумерная поверхность (ориентируемая или неориентируемая) и f : M → R — правильная функция Морса,то есть имеющая ровно три критических значения: минимальное, максимальное и седловое. Тогда ее седловой уровень является связным графом K, все вершины которого имеют степень 4. Дополнение к этомуграфу состоит из двумерных клеток (дисков).
Следовательно, все вершины клеточного разбиения имеют степень 4 (т.е. в вершине сходятсяровно 4 полуребра) и разбиение допускает шахматную раскраску, то естькаждое ребро граничит с черной клеткой и белой клеткой. Правильныефункции Морса f и f ′ на поверхностях M и M ′ называются послойно эквивалентными в окрестностях P и P ′ своих критических уровней1{f = c} и {f ′ = c′ }, если существуют такие малые ε > 0 и ε′ > 0 и диффеоморфизм D : P = {|f − c| < ε} → P ′ = {|f ′ − c′ | < ε′ }, что связныекомпоненты линий уровня функции f переходят в связные компонентылиний уровня функции f ′ . Если D сохраняет направление роста функции, то функции называются послойно оснащенно эквивалентными. Вдальнейшем будем считать, что c = 0.Атомом (P, K) называется класс послойной оснащенной эквивалентности функции Морса f в окрестности P = {|f | < ε} ее седлового критического уровня K = {f = 0}. Атомом часто называется какой-либопредставитель класса послойной эквивалентности (то есть поверхностьP с вложенным в нее графом K).
Дополнение к графу K в поверхностиP состоит из “положительных” и “отрицательных” колец (на которыхфункция f положительна и отрицательна соответственно). Гомеоморфизмы пары (P, K) на себя, сохраняющие направление роста функции, ирассматриваемые с точностью до гомеоморфизмов, переводящих каждоеребро графа K в себя с сохранением любой выбранной на нем ориента[ции, образуют группу симметрий атома (будем обозначать Sym(P,K)).Эта группа дискретна. Если атом (точнее, поверхность P ) ориентируем,то рассмотрение собственных (т.е.
сохраняющих ориентацию) гомеоморфизмов дает группу собственных симметрий атома (Sym(P, K)). Седловые критические точки функции f называются вершинами атома, а ихчисло — сложностью атома. В этом случае рассмотренная выше поверхность M, содержащая P, с правильной функцией Морса на ней, получается из поверхности P заклеиванием каждой ее граничной окружностидвумерным диском и продолжением функции внутрь диска с ровно одной критической точкой в его центре. Род поверхности M называетсяродом атома.Также иногда будем пользоваться другим эквивалентным понятиематома.
Будем считать, что граничные окружности атома заклеены дисками, т.е. атом (M, K) реализован в виде двумерной связной компактнойзамкнутой поверхности M с вложенным в нее связным конечным графом K, каждая вершина которого имеет степень 4. Еще раз отметим,что M \ K гомеоморфно дизъюнктному объединению дисков (клеток),которые можно раскрасить в два цвета так, что каждое ребро графапримыкало бы к разноцветным клеткам (далее такую раскраску будемназывать шахматной). Более точно, под атомом будем понимать такойкласс эквивалентности.
Атомом называется пара (M, K) с указаннымисвойствами, рассматриваемая с точностью до гомеоморфизма пары (переводящего граф в граф). Оснащенным атомом называется пара (M, K)с указанными свойствами и выбранной раскраской клеток в черный ибелый цвета, рассматриваемая с точностью до гомеоморфизма, переводящего клетки в клетки того же цвета.22Необходимые утвержденияПусть есть атом (P, K). Рассмотрим некоторую вершину этого атомас окрестностью. Локально данная окрестность представляет собой двумерный диск с вложенным в него графом в виде крестика (вершина сисходящими ребрами).
Пусть на диске задана ориентация с помощьюрепера {⃗e1 , ⃗e2 }. Тогда эту ориентацию можно индуцировать на крестик,занумеровав ребра таким образом, чтобы при обходе вершины в направлении от ⃗e1 к ⃗e2 порядок ребер возрастал (Рис. 1). Рассмотрим ориентацию этого крестика при гомеоморфизме, полагая, что ориентация дискасохранилась.Рис. 1.Утверждение 1 (сохранение циклического порядка). При гомеоморфизме вершины атома с окрестностью (с исходящими из нее ребрами)порядок ребер при обходе образа вершины в направлении от ⃗e1 к ⃗e2 либоостается прежним, либо меняется на противоположный.Доказательство. Занумеруем исходные ребра числами 1, 2, 3 и 4 (всевершины имеют степень 4 ), задав при этом положительную ориентацию крестика.
При гомеоморфизме ребро 1 должно остаться соседним сребром 2, т.к. они образуют часть границы одного отрицательного (положительного) диска. Аналогично, ребро 1 останется соседим с ребром4. Такое отношение “соседства” (инцидентности) верно для каждого изребер.По расположению двух соседних ребер восстанавливаются и оставшиеся, т.к. каждое “крайнее” ребро имеет второго однозначно определенного соседа. Для двух инцидентных ребер существует два варианта расположения: от меньшего номера ребра к большему при обходе вершиныот ⃗e1 к ⃗e2 , или наоборот, от большего к меньшему.
Следовательно, такиедва ребра породят два возможных расположения ребер образа вершиныс указанным выше порядком.3Утверждение 2. Любой гомеоморфизм атома (симметрия) однозначно определяется (с точностью до изотопии) образом двумерной окрестности одной вершины, т.е. образом вершины и ее ребер (с указанием:какое ребро куда переходит).Доказательство. Пусть задан гомеоморфизм вершины с окрестностью.Тогда, двигаясь по остальным ребрам графа и примыкающим к нимкольцам, однозначно восстановятся образы оставшихся вершин и ребер.3Peaлизация атомов с группой симметрий Zp ⊕ZqВ работе [2] Е. А.
Кудрявцевой и А. Т. Фоменко было доказано, что любая конечная группа G является группой симметрий некоторого атома,а также были получены оценки на минимальный род (Мg(G)) и сложность (Mn(G)) этого атома. Т.к. эти оценки носят общий характер, тов общем случае они могут быть неоптимальными. Т.е. для некоторыхклассов групп оценки могут быть улучшены. В частности, удалось улучшить оценку на род для атомов с группой симметрий Zp ⊕ Zq (p, q > 1).В общем случае оценка на род такова: Мg(G) 6 (k − 1)|G| + 1, где k— число порождающих элементов группы, |G| — порядок группы. Еслиприменить ее к случаю группы Zp ⊕Zq , то получим Мg(Zp ⊕Zq ) 6 pq +1.В следующей теореме показывается, что Мg(Zp ⊕ Zq ) 6 1.Теорема 1. Группа Zp ⊕ Zq (p, q > 1) является группой симметрийнекоторого ориентируемого атома рода 1.Доказательство. Рассмотрим тор как фактор плоскости T2 = R2 /Z2 .Построим атом на развертке тора (Рис.
2): разобьем квадрат (развертку) на 2p полос по горизонтали и 2q полос по вертикали (в силу четноститакое разбиение допускает шахматную раскраску). Рассмотрим симметрии этого атома.Рис. 2.4Лемма 1. Симметрии данного атома — это композиция сдвигов на 2клетки вверх-вниз, вправо-влево, поворотов на угол π относительно узлов решетки или относительно центров клеток (на π/2 относительноцентров клеток в случае p = q) и отражений относительно прямых,проходящих через центры клеток и параллельных разбиению.Доказательство.
Рассмотрим вершину с ее окрестностью и их образпри гомеоморфизме. Перечисленными в Лемме 1 симметриями получимиз исходной вершины ее образ (с окрестностью) таким образом: однимотражением добьемся нужного порядка обхода ребер (как в образе); затем, с помощью поворотов, делаем ребра сонаправленными, т.е. направление луча, исходящего из вершины и идущего вдоль ребра, должносовпадать с направлением луча, построенного на соответствующем ребре образа. В результате могло получиться два варианта: вершина находится на расстоянии четного числа клеток до образа и по вертикали,и по горизонтали; вершина находится на расстоянии нечетного числаклеток до образа и по вертикали, и по горизонтали. В первом случаес помощью сдвигов накладываем эту вершину на образ.
Окрестностиэтих вершин совпадут. Во втором случае необходимо отразить всё относительно любых горизонтальной и вертикальной прямой. Тогда получимпервый случай. Далее, пользуясь Утверждением 2, заметим, что тогдаатомы совпадут. Лемма доказана.Чтобы группа симметрий была изоморфна группе Zp ⊕ Zq , нужнозапретить все симметрии, кроме сдвигов. Для этого добавим в произвольную клетку одну петлю к нижнему ребру и одну восьмерку к левому ребру.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
