Группы симметри бифуркаций интегрируемых гамильтоновых систем (1162490), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Теперь размножим эту клетку “через одну” вправо-влево,вверх-вниз (Рис. 3). Группа симметрий полученного атома является вточности группой Zp ⊕ Zq .Рис. 3.Действительно, докажем, что никакие симметрии, кроме сдвигов,невозможны. Повороты недопустимы, т.к. тогда добавленные петля ивосьмерка, окажутся, соответственно, на верхнем и правом ребрах (налевом и верхнем в случае поворота на π вправо, в правом и нижнем —5на π влево), тогда как в исходном атоме на этих ребрах таких объектов нет. Отражения также недопустимы, т.к.
тогда добавленная петля(восьмерка) окажется на верхнем (правом) ребре клетки. Сдвиги на двеклетки вправо-влево, вверх-вниз останутся возможными, т.к. строениеклеток, расположенных относительно друг друга через одну,полностьюсовпадает. Вправо-влево возможны q различных сдвигов, вверх-вниз —p. Получаем группу симметрий Zp ⊕ Zq . Теорема доказана.По вышеуказанной теореме Е.
А. Кудрявцевой и А. Т. Фоменко оценка на сложность атома с группой симметрий G имеет такой вид: Mn(G) 6(2k + 3)|G|. В случае группы Zp ⊕ Zq , Mn(Zp ⊕ Zq ) = 7pq. Сложность построенного в ходе доказательства теоремы атома равна 7pq, т.е. совпадает с верхней оценкой на сложность атома с данной группой симметрий.Таким образом, данную оценку улучшить не удалось.4Группы симметрий всех атомов сложности неболее трехСуществует полезная переформулировка определения атома через f графы, принадлежащая А.
А. Ошемкову (см. [1]).Рассмотрим набор непересекающихся ориентированных окружностей.Выделим на них произвольным образом четное число точек, разобьемэто множество на пары произвольным образом, и соединим получившиеся пары неориентированными отрезками с приписанным числом +1 или−1. Это и есть f -граф.Назовем два f -графа эквивалентными, если один из другого можнополучить последовательностью следующих операций. Разрешается заменять ориентации всех ребер какого-то цикла и одновременно изменятьметки на всех неориентированных ребрах, инцидентных этому циклу,на противоположные. Если оба конца неориентированного ребра принадлежат данному циклу, то метка на этом ребре не меняется.
Классыэквивалентности f -графов назовем f -инвариантами.Существует взаимно-однозначное соответствие между f -инвариантамии атомами.Построим по атому f -граф. У всех границ отрицательных колец атома выберем произвольное направление. Через каждую вершину атомапроведем неориентированное ребро, соединяющее границы двух соответствующих этой вершине отрицательных колец. Концы этого ребра ибудут вершинами f -графа, а дуги граничных окружностей — ориентированными ребрами. Осталось лишь расставить метки на неориентированных ребрах. Рассмотрим малую окрестность неориентированного ребрав поверхности P . Это прямоугольник, две противоположные стороныкоторого лежат на граничных окружностях отрицательных колец, и по-6тому — ориентированы. Если эти стороны прямоугольника индуцируютодну и ту же ориентацию границы прямоугольника, то ставим метку +1.Если же ориентации противоположные — −1.В процессе построения мы произвольным образом фиксировали ориентации на граничных окружностях отрицательных колец.
Однако легкопонять, что при выборе другой ориентации мы получим эквивалентныйf -граф.Определение 1. Симметрией f -графа будем называть такое его отображение в себя как абстрактного графа (переводящее вершины в вершины, ориентированные ребра — в ориентированные ребра, неориентированные — в неориентированные, с сохранением отношения инцидентности), которое преобразует данный f -граф в эквивалентный ему f -граф.Очевидно, что группа симметрий атома изоморфна группе симметрий соответствующего ему f -графа (представителя из класса эквивалентности).
Также отметим, что группы симметрий атомов, отличающихся друг от друга лишь направлением роста функции, совпадают. Этозначит, что при вычислении группы симметрий атома можно построитьдва f -графа: первый как описано выше, а второй, приняв за окружностиграницы положительных колец. Вообще говоря, эти f -графы будут неэквивалентны, но в некоторых случаях они совпадают (эквивалентны).Группы симметрий ориентируемых атомов сложности не более трехбыли вычислены в [1] (стр. 178 - 180). Для каждого атома была найденагруппа собственных симметрий и группа всех симметрий. Для неориентируемых атомов не существует понятия собственной симметрии, азначит, и понятия группы собственных симметрий.Ниже вычислены группы симметрий неориентируемых атомов сложности не более трех.
Будут использованы следующие обозначения: RP 2— проективная плоскость, Kl — бутылка Клейна, S 2 + 3µ — сфера с тремя листами Мебиуса, Dn — группа симметрий правильного n-угольника,E — тривиальная группа.Теорема 2. Вычислены группы симметрий неориентируемых атомовсложности не более трех. Результат приведен в таблице.Род[SymeBRP 2Z2 ⊕ Z2e2CKlZ2 ⊕ Z2Атомf -граф7Род[Syme1CRP 2D4e1DRP 2Z2e2DKlZ2 ⊕ Z2e1ES 2 + 3µZ2e2ES 2 + 3µZ2 ⊕ Z2e3EKlZ2 ⊕ Z2e4EKlZ2 ⊕ Z2e5EKlZ2 ⊕ Z2Атомf -граф8Род[Syme6ERP 2Z2 ⊕ Z2e7ERP 2D6Fe1S 2 + 3µEFe2S 2 + 3µZ2Fe3KlEFe4KlZ2Fe5RP 2Z2Fe6RP 2Z2Атомf -граф9Род[SymFe7RP 2Z2e1GS 2 + 3µZ2 ⊕ Z2e2GKlZ2e3GKlZ2 ⊕ Z2e4GRP 2Z2e5GRP 2Z2e6GRP 2Z2Атомf -граф10Род[Syme7GRP 2Z2 ⊕ Z2e1HS 2 + 3µD3e2HKlZ2e3HRP 2Ee4HRP 2Атомf -графZ2Доказательство.
Опишем общий метод вычисления групп симметрийдля неориентируемого атома с помощью f -графов. Для данного атомастроим два f -графа (напомним, что оснащенность атома не влияет на егогруппу симметрий, то есть для подсчета группы можем выбрать любойf -граф). Выбираем из них наиболее удобный. Например, если f -графимеет ровно одну петлю, то, если нетривиальные симметрии есть, то этотакие симметрии, которые эту петлю отображают в себя. Такой f -графзначительно сокращает перебор возможных вариантов отображений графа. Игнорируя метки и направления, находим симметрии графа.
Нумеруем ребра в окрестности каждой вершины f -графа, то есть каждомуребру будут приписаны два числа на его концах (достаточно занумеровать только ориентированные ребра). Для найденных симметрий графапроверяем, будут ли эти отображения симметриями f -графа. Для этого отображаем вместе с графом все метки, направления и нумерацию на11ребрах. Если получился эквивалентный f -граф, значит, это отображениеявляется симметрией f -графа, если получился f -граф из другого классаэквивалентности, следовательно, данное отображение — не симметрия.Обнаружив симметрию, выписываем соответствующую ей перестановку, учитывая нумерацию на ребрах.
Тем самым, все элементы группысимметрий найдены. Осталось найти среди них образующие и выписатьсоотношения.5Геодезические атомыПоскольку атомы и их группы симметрий играют важную роль в теориидинамических систем, А. Т. Фоменко поставил вопрос о классификациитех атомов, которые реализуются набором замкнутых геодезических наповерхностях постоянной кривизны. Более точно: какие атомы вкладываются в двумерные замкнутые поверхности постоянной кривизны так,что их критический уровень реализуется объединением нескольких замкнутых геодезических.Напомним, что на двумерных компактных замкнутых поверхностяхможно задать метрику постоянной кривизны: положительной на сфереи проективной плоскости, нулевой (локально евклидова метрика) на торе и бутылке Клейна, и отрицательной на поверхностях с количествомручек, большим единицы (гиперболическая метрика). Вопрос: какие издвумерных атомов допускают такую реализацию, что особый граф Kобразован замкнутыми геодезическими указанных метрик? Как отметилА.
Т. Фоменко, такие двумерные атомы естественно назвать “геодезическими атомами”.Дадим определение геодезического атома более точно.Определение 2. Геодезическим атомом называется атом, реализуемыйна двумерной замкнутой поверхности M постоянной кривизны объединением K нескольких замкнутых геодезических.Далеко не все атомы являются геодезическими. Например, легко виe на проективной плоскости (Рис. 4), C1деть, что атомы C2 на сфере, Bи E1 на торе (Рис. 5) геодезические. Атом B на сфере (Рис.
6) не геодезический.Предложение 1. Все геодезические атомы на стандартной двумернойсфере образованы экваторами, находящимися в общем положении (т.е.все точки пересечения — трансверсальные и двукратные).Доказательство. Действительно, согласно определению, если геодезический атом реализуется объединением замкнутых геодезических γ1 , . . . , γn ,то все их точки пересечения и самопересечения простые, т.е. через каждую точку проходит или две различные геодезические, или одна самопересекающаяся геодезическая проходит дважды.
Поэтому, если набор12eРис. 4. Атомы C2 и BРис. 5. Атомы C1 и E1больших кругов на сфере образует геодезический атом, то все точки пересечения кругов простые, т.е. круги находятся в общем положении.Для доказательства достаточности покрасим клетки разбиения двумерной сферы набором больших кругов в два цвета правильным образом, т.е.
чтобы к каждому ребру примыкали бы разноцветные области.Проведем один круг на сфере из данного набора и покрасим две получившиеся области в разные цвета. Будем добавлять оставшиеся кругинабора по одному. При каждом добавлении будем перекрашивать в другой цвет все области, находящиеся с одной стороны от добавленногокруга. Если до добавления круга раскраска была правильной, то новаяраскраска тоже будет правильной. Добавив все большие круги из данного набора, получим правильную раскраску областей.Следствие 1. Если атом на сфере является геодезическим, и K =∪ni=1 γi — объединение замкнутых геодезических, то• все γi являются простыми (т.е.
без самопересечений);• |γi ∩ γj | = 2 для любых i, j = 1, . . . , n и i ̸= j, т.е. любые двезамкнутые геодезические пересекаются ровно по двум различнымточкам (при этом эти точки пересечения являются парой “диаметрально противоположных точек” на кривой γi , т.е. они раз-13Рис. 6. Атом Bбивают кривую γi на две дуги, каждая из которых содержит одинаковое количество точек пересечения с оставшимися кривыми);• если n — четно, то количество белых областей атома равно количеству черных.Как распознать по данному атому, является ли он геодезическим?Следующее наблюдение получено Е. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
