Группы симметри бифуркаций интегрируемых гамильтоновых систем (1162490), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Кудрявцевой, И. М. Никоновыми А. Т. Фоменко ([7], теорема 3) и отвечает на вопрос, поставленныйА. Т. Фоменко.Теорема 3. Рассмотрим конечный вложенный граф K на замкнутойдвумерной поверхности M . Он разбивает поверхность на области. Разбиение допускает шахматную раскраску (т.е. такую двухцветную раскраску, что любое ребро ограничивает области разных цветов) в томи только том случае, когда степень любой вершины четна, и суммавсех ребер равна нулю в гомологиях поверхности по модулю два.Замечание 1.
Эта теорема применима, конечно, не только к геодезическим атомам.Доказательство. Предположим, что разбиение поверхности M графомK допускает шахматную (“черно-белую”) раскраску. Пусть e1 , . . . , en —все ребра графа K и f1 , . . . , fk — все “черные” двумерные области разбиения. Тогда граница 2-цепи f1 + · · · + fk равна e1 + · · · + en по модулю два (в силу того, что раскраска является шахматной), т.е. 1-цепьe1 + · · · + en является границей по модулю два (в частности, эта 1-цепьявляется 1-циклом, поэтому степени всех вершин графа K четны), чтои требовалось.Докажем обратное.
Предположим, что степени всех вершин графаK четны и 1-цикл e1 + · · · + en является границей некоторой 2-цепи C помодулю два. Пусть f1 , . . . , fm — все двумерные области разбиения. Тогда2-цепь C является линейной комбинацией 2-цепей f1 , . .
. , fm с коэффициентами a1 , . . . , am ∈ Z2 . Присвоим каждой области fi “цвет” ai , равный0 или 1. Получаем двухцветную раскраску двумерных областей. Докажем, что эта раскраска является шахматной. Действительно, фиксируемлюбое ребро e графа K. Оно содержится в границе ровно двух областей14разбиения, которые обозначим через fi и fj . Поэтому коэффициент приребре e в разложении 1-цикла e1 + · · · + en = ∂(a1 f1 + · · · + am fm ) поребрам графа равен ai + aj .
С другой стороны, этот коэффициент равен1, т.е. ai + aj = 1, поэтому ai ̸= aj , т.е. раскраска действительно являетсяшахматной.Замечание 2. Приведенное выше доказательство теоремы 3 и предлагаемое ниже объяснение этой теоремы принадлежат Е. А. Кудрявцевой,И. М. Никонову и А. Т. Фоменко.Поясним эту теорему в случае, когда степень любой вершины графаK равна четырем, используя одномерные когомологии. Пусть, для наглядности, граф K является объединением погруженных (регулярных)окружностей (1-циклов) γ1 , ..., γk , находящихся в общем положении, разбивающих поверхность M на области.
Рассмотрим цикл α = γ1 + ... + γk ,являющийся суммой этих окружностей. Пусть γ — произвольная погруженная окружность (цикл) на поверхности M , находящаяся в общемположении с набором {γi }. Тогда она пересекает цикл α в четном числе точек тогда и только тогда, когда когомологическое произведениеα · γ ≡ 0 (mod 2) в группе одномерных когомологий H 1 (M, Z2 ). В силуневырожденности умножения в H 1 (M, Z2 ) (ко)цикл α ≡ 0 (mod 2) в томи только в том случае, когда его произведение (в смысле когомологий)α · γ = 0 (mod 2) для любого цикла γ.
Что эквивалентно тому, что числоточек пересечения цикла α с γ четно. Но последнее условие эквивалентносуществованию шахматной раскраски множества двумерных областей,на которые K разбивает поверхность M . В самом деле, покажем, чтопри этом условии существует шахматная раскраска. Выберем точку наповерхности M , лежащую в какой-либо области, и покрасим эту областьв черный цвет. Выбранную точку будем называть базисной.
Теперь всеостальные области будем красить таким образом: выбираем точку из интересующей нас области и проводим через нее и базисную точку окружность γ; она пересекает граф K в четном числе точек, значит, эти точкиразбивают γ на четное число дуг; присваиваем дугам черный или белыйцвет путем чередования, начиная с той, которой принадлежит базиснаяточка — эта дуга будет черной; очевидно, в силу четности числа дуг, соседние дуги будут иметь различный цвет; теперь красим интересующуюнас область в цвет, который имеет дуга с выбранной из области точкой(здесь отметим, что для раскраски области достаточно соединить базисную и выбранную точку кривой (дугой) общего положения и определитьцвет путем чередования). Такая раскраска корректна, т.е. не зависит отвыбора погруженной окружности γ. Действительно, возьмем две различные окружности γ 1 и γ 2 , проходящие через выбранную точку области ибазисную точку.
Эти точки разбивают каждую окружность на две дуги. Построим новую кривую γ, состоящую из одной дуги окружностиγ 1 и одной дуги окружности γ 2 . Очевидно, получим замкнутую кривую.15Сгладим ее в базисной точке и в выбранной точке области так, чтобыполученная кривая также содержала эти точки. Получим погруженнуюокружность, находящуюся в общем положении с набором γi . Значит, онаимеет четное число точек пересечения с этим набором. По этой окружности однозначно определяется цвет рассматриваемой области описаннымвыше образом. Следовательно, окружности γ 1 и γ 2 определяли один итот же цвет.
Такая раскраска областей является шахматной. Чтобы вэтом убедиться нужно проверить, что любые две соседние области имеют различные цвета. Для этого возьмем точку на общем ребре областей,не являющуюся вершиной графа K, и проведем трансверсально черезнее и через базисную точку погруженную окружность.
Она корректноопределяет цвет этих областей. Теперь осталось показать, что если существует шахматная раскраска, то число точек пересечения произвольнойпогруженной окружности γ общего положения с набором {γi } четно. Индуцируем раскраску областей на дуги окружности. Т.к. γ находится вобщем положении с набором {γi }, то все ее соседние дуги будут окрашены в разный цвет.
Значит, число дуг четно. А значит, и число точекпересечения с циклом α четно.Эта теорема полезна при описании геодезических атомов на простыхдвумерных поверхностях, а именно, на сфере, торе, проективной плоскости, бутылке Клейна.Интересная задача состоит в описании групп симметрий геодезических атомов.Список литературы[1] А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко.
“Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация”. Тома 1 и 2. (Монография). — Издательский дом “Удмуртский университет”, Ижевск,1999.[2] Е. А. Кудрявцева, А. Т. Фоменко. “Любая конечная группа является группой симметрий некоторой карты (“атома”-бифуркации)”. —Вестник Моск.ун-та, Матем. Механ. 67:3 (2013), с.21-29. Английский перевод: A. T. Fomenko, E. A. Kudryavtseva, “Each finite groupis a symmetry group of some map (an “atom”-bifurcation)”, MoscowUniv. Math. Bull., 68:3 (2013), pp.148-155.[3] А.
Т. Фоменко. “Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем” — Доклады АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071–1075.[4] А. Т. Фоменко. “Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем” — Успехи математических наук. 1989.44, № 1 (265). 145–173.16[5] T. Z. Nguyen. “Decomposition of nondegenerate singularities ofintegrable Hamiltonian systems” — Lett. Math. Phys. 1995. 33. 187–193.[6] А.
А. Ошемков. “Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование Особенностей” — Труды МИРАН. 1994. 205. 131–140.[7] Е. А. Кудрявцева, А. Т. Фоменко. “Группы симметрий правильных функций Морса на поверхностях”. — Доклады РАН, серия:математика, 2012, том 446, № 6, с.615-617.[8] A. T. Fomenko, A. Yu. Konyaev. “Algebra and GeometryThrough Hamiltonian Systems”.
— In: “Continuous and DistributedSystems. Theory and Applications”. Series “Solid Mechanics andIts Applications”. Vol.211, pp.3-21. Editors: V. Z. Zgurovsky,V. A. Sadovnichiy. Springer. 2014.[9] A. T. Fomenko, A. Yu. Konyaev. “New approach to symmetries andsingularities in integrable Hamiltonian systems”. — Topology and itsApplications, 2012, vol.159, pp.1964-1975.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
