Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Полная сила внутреннего трения пропорциональна плошади соприкосновения >астиц, а предельная сила сухого трения не зависит от величины пло>пали соприкасания тел. В механике величина силы воздействия на материальную точку находится в прямой зависимости от изменения скорости лвижения точки во времени. Аналогично обстоит дело и с силой внутреннего трения, которая находится также в прямой зависимости от изменения скорости движения, .но не во времени, а в нвяравлении, перпендикуи парном к скорости движения рассматриваемой частицы. Слеловательно, на силу вязкости, представляемую равенством (4.1), можно смотреть как на меру передачи движения частиц жидкости в направлении, перпендикулярном к скорости двиРис. 2. жения частиц.
В рассмотренном выше примере прямолинейного лви>кения жидкости деформация частицы происходит следующим образом. Первоначальное сечение частицы в виде квадрата (рис. 2) через промежу- э 4) понятия вязкости жидкости ток времени ав становится ромбомш это значрт, что частица испытывает деформацию простого сдвига. Беря разность смепгений в точках А и А, и деля ев па расстояние Ьп, получим величину деформации простого сдвига частицы за промежуток времени Лй т. е.
дУ вЂ” аг. дп Если мы поделим эту величину деформации сдвига на промежуток времени ее образования, то получим скорость деформации сдвига. С лругой стороны, сила трения, отнесенная к единице площади, может рассматриваться как касательное напряжение. Следовательно, гипотеза Ньютона, представляемая равенством (4.1), может быть сформулирована следующим образом: «агательное напряжение в жид«ости пропорционально скорости деформагеии сдвига. Такая формулировка гипотезы Ньютона позволяет сделать обобщение этой гипотезы и на общий случай лвижения жилкости.
В общем случае вектор напряжения на произвольной площадке может иметь, помимо касательной составляющей, ешли и нормальную составляющую, а частица булет испытывать, помимо деформации сдвига, ещэ и лругие леформации. Следовательно, каждую из составляющих напрнжения мы можем ставить в прямую зависимость от соответственной составляющей скорости деформации частицы. Такого рода обобщение гипотезы Ньютона и была сделано Коши, Сен-Венаном и Стоксом. В объяснение самого механизма явления вязкости Ньютон, Коши, Сен-Венан и Стона не входили.
Только с развитием нинетической теории газов было дано физическое истолкование явлению вязкости. Отдельные молекулы газа суть носители различных качеств, к которым относятся род материи, тепловая энергия и количесгво движения. Благодаря молекулярному лвижению эти отдельные качества переносятся и перелаются в какой-то мере от одних молекул к лругим,4от одного слоя н другому слою. Перенос самой материи проявляетсв в явлении диффузии, перенос энергии — в явлении теплопроводности и, наконец, перенос количества макроскопического движения проявляется в явлении вязкости. Таким образом, для газон все зти три явления являются родственными межлу собой, все они прелставляют собой пронесем выравнивания распределения рола материи, тепловой энергии и количества движения.
Родственность этих трах явлений нахолит свой отражение также и в том, что коэффициенты диффузии, теплопроводности и вязкости пропорциональны лруг другу, и в том, что значения всех этих коэффициентов для газа в определйнном интервале температур увеличиваются с повышением температуры. Но иежду этими тремя явлениями есть и различие. При лиффузии и теплопроводности переносятся скалярные величины, к каковым относятся химические качества и энергия, а в явлении вязкости переносится векторная величина количества движения. Перенос скалярной величины, например тепловой энергии 34 скоэости двэогмлций члстицы.
компоненты нлпгяжвний [гл. г в явлении теплопроводности представляется вектором аотока тепла, тогда как перенос вектора количества движения в явлении вязкости будет представляться тензором алонгности потока количества движения. Таким образом, явление вязкости в некотором отношении будет сложнее явлений диффузии и теплопроводности. На основании рассмотрения простейшего случая переноса количества лвижения молекулами из одного слоя в лругой в кинетической теории газов установлена следующая формула лля коэффициента вязкости: р = 0,309б79И„ (4.3) гле р — плотность, И†среднее значение скорости движения молекул, установленное на основании закона Максвелла о распределении скоростей, и Х вЂ дли свободного пробега молекул.
На ошювании лальнейших разработок кнпетичесной теории было высказано положение, согласно которому коэффициент вязкости р для газов пропорционален квадратноиу корню из абсолютной температуры данного газа. Однако это положение не подтверлнлось на опыте. В лействительности оказалось, что ноэффициент р с температурой Т связан следующей зависимостью: р=ат, (4.4) тле показатель и изменяется от 0,7 лля водорола ло 1,0 для менее совершенных газов. Лля воздуха достаточно хорошо подтверждается опытами при изменении температуры от 0 ло 100' следуюгцая зависимосгь коэффициента вязкости от температуры: я у'т с 1+— Т где Т вЂ” -абсолютная температура и Я = 141,8 .
1О г, с = 510. Переходя к рассмотрению механизма явления вязкости у капельных жидкостей, следует заиетить, что в отношении этого механизма ешл нет вполне установившихся и энспериментально проверенных взглядов. Тот фант, что коэффициент вязности капельной жидкости с увеличением температуры не увеличивается, как у газов (см. формулу (4.4)), а уменьшается, вынуждает нас полагать,.что механизм явления вязкости у капельных жидкостей должен существенно отличаться от механизма явления вязкости у газов, и поэтому в капельной жидкости при обычных температурах не может происходить перелачи количеств движения с помопгью непосредственного перехола молекул из одного слоя в другой, как это имеет место в газах.
На основании обработки экспериментальных результатов о зависимости вязности жидкостей от температуры А. И. Бачинский прел- $ б) влспввделвние скогоствй в частице где о — улельный обьам, а С и м — постоянные. гса основании этой формулы легко качественно объяснить уменьшение вязкости жилкостей с увеличением температуры. Так как вязкость жидкостей определяется вваимолействием молекул, то она должна зависеть от удельного объвма жидкости. Чем выше температура, т. е.
чем больше будет удельный объем, тем больше будет расстояние между молекулами жидкости, тем меньше булет сила сцепления, слеловательно, тем меньше будет вязкость. В теории вязкости жидкости, разработанной в послелнее время Г. М.
Панченковым '), принимается, что перелача количества лвижения происходит за счЕт временного объединения молекул на границе слоЕв, причем эта передача движения будет происходить лишь тогла, когда энергии движения будет достаточно у молекул для преололения силы притяжения между ними и когда молекулы будут определанным образом ориентированы друг относительно друга. Исходя из этих положений, Г. М. Панченков установил форм>лу зависимости коэффициента вязкости жидкости от температуры, давления и энергии связи молекул жилкости. Расч~ты по этой формуле для ряда жидкостей дали удовлетворительные совпадения с результатами экспериментов.
При дополнительных предположениях из формулы Г. М. Панченкова получается приведенная выше форнула А. И. Бачинского. ф 6. Распределение скоростей в частице Рассмотрим частицу жилкости (рис. 3). Какую-то точку внутри частицы с кооРдинатами х,, хе и хв обозначим чеРез О 'и навозам еб условно ценглром частицы. Пусть вектор скорости )г в центре частицы имеет проекции на прямоугольной оси координат о,, о и о . Обозначая единичные векторы осей координат через Ты вэ и Тм будем иметь: в=з )г= ~ о„сги «=! Возьмйм теперь произвольную точку Л4 динатами х,+Зхп хе+ вхв, хв+вхв скорости в этой точке в предположении, настольно малы, что квадратами их с каор- рнс. 3.
Вектор что значения вхы ехв и ехз можно пренебречь, будет 4) П а и ч е н к о в Г. М., Теория вязкости жидкостей, Гостоптелиздат,1947. ложил свою формулу, выражаюшую зависимость коэффициента вязкости от удельного объема: С (4,5) 36 скотости деоогмлций члстицы. компоненты нлптяжэний (гл.
г представляться в виде Км = 1г(х,+ох,, х +ох, х +ох; т) = = ~ (хз хэ хз т)+г Э д,, 3хк. (5.1) к1"" Таким образом, вектор относилгельной схорослзи глочки М по отно- шению к точке О будет представляться в виде олноролной линейнои фуннции относительных координат, т. е.
ъч д(г '(гом =-,~ — дхк. .ЕЭ дхк (5.2) к=к Проекция вектора относителыюи скорости рассматриваемои точки М на ось хд будет тогда представляться в виде к=э (о )ом= ~ —.3хк. цч дпь (5.3) Прибавляя и вычитая из правой части (5.3) следующие количества: — 3хз — -, — дхв —, 1 доз 1 доз 2 здх,' 2 вдхз' проекцию (оз) можно представить слелуюшии образом: Вводим следующие обозначения: е„ (5.5) При этих обозначениях равенство (5.4) прелставится в виде к-з го, 4Оз (ог)рм = У зкдхк+ 1охэ охз (5.6) е дэ дх,' доз е дх.„' доз длз' 1, Гдэд дэзт 1 !доз доП + 2 ч (,дхз дх,) 2 э (,дх~ дх.,) ' 87 5 51 тлспгедвлзние скогостей в частице Проведя аналогичные преобразования по отношению к проекциям (оз) о, н (оэ) «м, пол)'чим: а=з ("з)ом = ' валахе+ а=« и (о1«)ой — ~1 езл 8ха+ 6х, (5.7) Ееа ( =е а=е ~ 1', 11 вз том ~а ~~~а еижйхзаи«+! ы1 мэ м«~.
и = 1 Л.=1 бх ех ох. ~ 1 Е Э (5.8) Определитель в правой части (5.8) есть векторное произведение вектора ы на относительный радиус-вектор ез, Такое векторное произведение может рассматриваться как вектор линейной скорости точки М от вращения частицы кзк единого целого относительно мгновенной оси, проходящей через точку О, с угловой скоростью и, т, е. г, 1е г.
(У,„),в=- Х8з=- 8х, ехв ехз (5.9) Вектор ы, проекции ко«ирого представляются тремя последними соотношениями (5.5), наэь1вается вектором вихра частицы, Что касается первого вектора в правой части (5.8), то зто есть дополнительный вектор той скорости, которая обусловлена вбэможными деформациями частицы. Обозначая его через (Уом),, будем иметь: «и-.з Ь=е (1 ОН)и«а =- .Са~ ~ма~ еинйХ1 1«и и=«а=1 (5.10) Учитывая обозначения (5.9) и (5.10), равенство (5.8) можно представить в виде Уом = (Уом)„+ (Уом)и,е. (5.1 1) Таким образом, относительное движение точек части1гы по отношению н еа центру составляется иэ вращательного движения частицы как целого и движения, обусловленного деформацией чзстиць«. Умножая левые и правые части (5.6) и (5.7) на единичные векторы 11, (е и 11 соответственно и складываЯ, полУчим следУющее выРажение для вектора относительной скорости в произвольной точке М частицы: 38 скотости двеотмьций частицы, компонкнты наптяжвний (гл, г Возвращаясь к равенству (5.1) и учитывая (8.11), получим: Ум = Уо+(Уом),р+(Уои)„а.
(5. 12) Равенством (5,12) представляется теорема Гельмгольца о разложении движения часагигьы жидкости. Согласно этой теореме движение частицы жидкости может быть составлено из гарах движений: 1) поступательного движения, совпадающего с движением центра частицы, 2) вращательного движения вокруг льгновенной оси, проходящей через центр чистицы, с угловой скоростью, равной вихрю вектора скорости центра, и 3) двилсения, обусловленного деформацией частицы. ф 6. Компоненты тензора скоростей деформации частицы МсМс — У(хю х., хз, Г)аг+ — ОхьЫ, дх, МОМл — У(хо хг, х, Г) ЛГ+ — Охг аг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
