Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ГЛАВНЫЕ СКОРОСТИ УДЛИНЕНИЙ 45 Так как корни уравнения (7.7), опрелеляющэго значения главных скоростей леформйций относительных уллинений, не должны меняться с изменением осей координат с началом в точке О, то и коэффициенты этого УРавнениЯ Е„сэ и Оа не должны менЯтьсЯ с поворотом осей координат.
Этн коэффициенты, прелстааленные через составляющие тензора скоростей деформаций соотношениями (7.8), называются икеариактами тензора скоростей деформации. Первый из этих инвариангов представляет собой скорость относительной объемной деформации частицы. 1 ец — — б 3 Еле ее„ 1 еез — — З 3 (7)е) = (7.0) 1 — — в 3 Второй инвариант этого нового тензора, составленный зналогично тому, как был составлен Ез, после алгебраических преобразований будет представляться в видо е 1 Бе —, ((е — «„) + (ее '" ) +(еез еы) )+ еле+ 1 в+ езл. (710) Найдем скорость деформации результирующего сдвига по площадке нормаль к которой нзклонеиа к главным осяи деформации пол одним и тем же угеом, т. е.
имеет направляющие косинусы, равные 1 ! =- т = и = —, у'З Полстаалеи в формулы (5.6) н (5,7) Зз ела = — —, *,ее= О, тфй, «Аа= е!е, лг3 получим: Зз зз ез у'3 зз ее —, )73 (О1 ОЖ)АЕФ = (оз ОЖ)лез = (оз Ож)лез = Проекцию иа нормаль скорости перемещения, обусловленного деформа. цией, мы получим, если правые части умножнм иа 7, т н и и сложим: Зз ( ее О ж ) д е Е 3 ( 1 + ее + ее ) Если из диагональных компонент тензорз скоростей деформации (6.7) вычесть олпу треть от скорости объемной деформации, то получим дееиатор скорогееей деформации 45 скогости дивогмхций частицы.
коипонанты напгяжиний [гл. 1 Тогда проекция агой скорости на перпендикуляр к нормали булет представаптьсе в виде (о ом) й = У (оом)лее (он наг)лей=аз)г 3 ('1+'г+ 1) д ( 1+ +ез) Разделив эту скорость нз отрезок зв, получив скорость деформации резузьтпрувпцего слвзга е в виде 1 ° — — )' ('1 — '1)'+ ( з — е)а+ (ез — 1)гц 3 Если еа оси координ»т мы возымев главные оси деформаций, то второй изввриаит дезиатора Своростей деформации будет представляться з виде 1 р' — [(»1 — ег)а + (ее — ее)г + (е» вЂ” ег)*), 6 (7.12) Таким образом, второй инвариант левиатора скоростей деформации пропор- пионален квадрату скоРости деформации результирующего сдвига гастнцы, т. е.
3 (7.13) Скорость деформации Резулыпрующего сленга называется также интенсивностью скоростей двФортацал сдвига частицы Если воспользоваться главными скоростями деформаций, то фор мула (5.10), определяющая скорость смешения точки М за счет деформации частицы, представится в зиле е»=Е и =1 Возьмем теперь отрезок ОМ, наклоненный к осям главных скоростей деформаций (1), (2) пол углом в 45*, т. е.
имеющий следующие направляющие косинусы: Зд» У 2 Зкг )Р2 — Ц= — = —, 7=0. ет 2 зв При этих значениях направляющих косинусов из (7.!4) будем иметьс ()гом)лей 2 ез ( А+ ве(з)' )52 . (7.1 5) Проектируя этот вектор скорости па направление самого отрезка, подучим скорость абсолютного уллинения в виде 1 ()га ом) „= — 35 (в, + е~.
В таком случае скорость смешения точки М за счет скошения угла, т. е, за счет деформации слвига, булет прелставляться в зиле (Ъ» Ом)лей = ) (1 ом)лев (" и ом)еее = = 2 У2(е1+е„') — (е,+а.)а= — Ьз(,— е.,). 3 8) тзнзог скогоствй даеогмлции в кеиволинвйных кооглинлтлх 47 Разделив левую и правую части на егь получим скорость деформации сдвига на площалке, разлеляющей угол межлу главными направлениями (1) и (2) деформаций на лве равные части: ! ень — т-(е — е ), (7.16) где через (1') и (2') мы обозначили направления биссектрис углов между направлениями (1) и (2).
Аналогично обстоит пело и со скоростями леформацни слвига на площалках, служащих биссектрисами направлений (2), (3) и (3), (1), т, е. ! ег е = †, (е, — е,), 1 аз н = 2 ('а — еь). (7.17) Величины е, е ь, ее, называются гяавнмльи скоростялеи сдвига. Следовательно, главные скорости леформации слвига равны полу- суммам главных скоростей удлинений соответственных отрезков, Так как среди значений е,, е и еа имеется как минимальная скорость удлинения, так и максимальна», то разность именно этих главных скоростей удлинений будет давать максимальное значение скорости деформации сдвига.
й 3. Компоненты тензора скоростей деформации в криволинейных координатах Рассмотрим криволинейные ортогональные координаты ры д и д (рис, 7). Элементы координатных линий булут представляться в виде Ь, = Нь3ды Ьг — — Наерм Ьз= Нз34,, где Н„Н и Нз суть дифференциальные параметры 7яже. Выражение для первого из этих коэффициентов мы получим, если расэмотрим квалрат линейного элемента Ь в декартовых координатах 38ь — х~~ ~3хь ь=г Рнс. 7. и учтем, что приращения 3х; обусловлены приращением только одной координаты рм т. е. дхе 3хе= д 3чы вт 48 скотости двеоемаций частицы.
компонвнты наптяжаний [гл. ! Тогда получим: т. е. (8П) Так как составляющие вектора скорости точки можно получать с помощью деления элементарных отрезков пути перемещения на элементарный промежуток времени, то эти составляю!цие вектора скорости в криволинейных координатах будут иметь вид (8.2) Квадрат произвольного линейного элемента в криволинейных ортогональных координатах будет представляться следующим образом: (8.3) Дифференцируя это равенство по времени, получим: а=! (8.4) Так как На зависит от времени только через координаты до то Ф=а !=а а=! Ч! !=! Обозначение одл представляет собой разность значений координаты Ч! в двух близких точках, т. е. поэтому будем иметь: Подставляя полученные выражения в (8,4) и заменяя 8!га через оз„, получим следующую формулу для производной по времени от квадрата линейного элемента; а=а а=а 1=! а=! а=а йаа = ч' „Нл йуа'.
ь=! й 8) твнзог скогоствй двьогмлции в кгиволинвйных коогдинатхх 49 В случае прямолинейных осей координат производная от квадрата линейного элемента представлялась через компоненты скоростей деформации равепствои (6.6). Сопоставляя формулы (6.6) и (8.6), мы можем прийти к тому заключению, что компоненты скоростей деформации частицы в криволинейных координатах можно получить из (8.6), собирая коэффициенты при квадратах и при произведениях линейных элементов координатных линий. Навример, скорость деформации относительного удлинения отрезка, направленного по касательной к координатной линии йы мы получим, если соберйм в правой части (8Л) коэффициенты при ба'-,'.
ыв (8.6) Скорость деформации сдвига в жюскости касательных к координат- ным линиям д, н д., будет представляться в виде (8.7) Остальные компоненты скоростей деформации частицы можно получить из (8.6) и (8.7), меняя индексы в круговом порядке. ((ля определения выражений компонент вихря в криволинейных координатах применим теорему Стокса к элементарной площадке Н,оу,Н,,6с(ы Согласно этой теореме удвоенный поток вектора вихря через площадку равен циркуляции вектора скорости но контуру, ограничивающему эту площадку. Обозначим компоненты вектора вихря через е о мз й мз.
Тогда удвоенный поток вектора вихря через рассматриваемую площадку будет представляться в виде омзНсНг ацт 8 Чз. Р = (птНт) с4ь+(ияНз)т ьч бг)з (п1Нс)д„ьчп (пгНз)», = д (РЯНз) д (п~гб)1 — — — — — едь бааз. ддь ддз Таким образом, компонента вихря ыз будет представляться в виде Гб а " =9Н,Н,,'(ад„(озН) баз(о Нт)1' (8.8) Выражения лля других компонент вихря могут быть получены из (8,8) изменением индексов в круговол1 порядке. ((иркуляььию по о~раничивающему площадку контуру будем подсчитывать как произведение проекции вектора скорости на касательную к контуру на элемент дуги и на косинус соответственного угла, т, е.
50 скОРОсти деФОРмАций частицы. кОмпоненты нАОРяжений [Гл, 3 Рассмотрим цилиндрические координаты г, А7 н - (рис. 8). Квадрат линейного элемента представляется в виде йее = иге+ г"-дри — [ — дее. Обозначая компоненты скорости движения через о, е и о„и используя д1ормулы (8.6) н (8.7), получим слелуюнсне выражения для скоростей деформации частицы в цилиндрических координагах: ди, дг (8.9) Рпс. 8. Компоненты вектора-вихря в цилинлрических координатах будут прелставляться в виде Квалрат линейного элемента в сферических координатах (рис. 9) й, й и 0 прелставляется в виде ейэя = ейе+ йеейе+ йэ е(пе 089Я.
Следовательно, Рнс. 9. Н,=[, Н =й, Не=йа( 6. Если обозначить компоненты скорости движения через о„, оа и пт, то на основании формул (8.6) и (8.7) получим следуюньие выраже- Следовательно, параметры Ляме булут равны Н .=. К Ни==г, На=!. 1 ди иг ЕР„== — — + -— г де г ди д» ' 1 ди,.
д и де г де' дии дес 2ем — — — — '+ — '-. дг дл' ! (8ЛО) 1 компоненты нлпеяжений ния для скоростей деформации частицы в сферических координатах: 1 дев дщ ве )г дз+дР У' де 1 див в дР !Г з1п 0 дт 1 двв 1 дет вт = — —.+ — —— 1~э!и 0 дт У дэ дп,ч лл дт! ' ! с!8 О (8.1!) ди, вн вв с!я 0 — + — +, 2е,,л дт пн + —, Р ' 2е 0 т 1 РАНО двь зьь т до А' дО Компоненты вектора-вихря в сферических коорлинатах будут представляться в виде О ~ — (о,)с з)п О) — - — (его~)1, ! 1 (д .
д 1 двл д 2Р з!и В дт дР ! (8.12) ы ф н. Компоненты напряжений Связи в механике заменяются действием особых сил, навываемых реакциями связей и прикладываемых в тех точках тела, в которых эти связи осуществляются. Аналогично обстоит дело и в механике деформируемоя среды. Если- мы хотин рассмотреть какую-либо часть среды, ограниченную некоторой замкнутой поверхностью а (рис. 10), то мы должны заменить действие остальной массы среды реакциями связея. Так как свчзь рассматриваемой части с остальной пассов срелы осущест- б вляется по всей поверхности :, то реакции связей доля<им быть распределены по всей поверхности з. Таким образом, силы возлеяствня на рассматриваемую часть среды со стороны асей остальной массы суть силы но- рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
