Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 10
Текст из файла (страница 10)
дхг Рис. 4. Прн этих предполоькениях будем иметь следующие координаты точек О', М' и М,'. О'(Х,+О,йг, Ха+пэмт, ХЗ+Оеаг), М (~, + дх, + о, й(+. — ' дх, 1ЬГ, х + о, йт -~- дх, + д— охь аг, ха+ оз йг + — охь йг), ддг(хл+о,йт+ — 'охам, хг+Охг+ояйу+ дхг Я г + —" дХг Сьг, Ха+ Овйг-+. ОВ ОХяЖ). Рассмотрим два прямолинейных элементарных отрезка частицы, параллельных осям х, и х (рис.
4). Через промежуток времени аг' эти отрезки сместятся и изменят свои длины тг и направления. Пусть элементарное смещение точки 0 будет: 00'=-. У(х,, ха, хз', 1) йг, дхг лг,' тогда векторы смещений точек М, и М могут быть представлены в виде и 61 компонянты твнзоел скотоствй дееогмлцни частицы 39 На основании этик координат находим значения длин отрезков: ,Г, 1=2 О М, = ех1$/ 1 + 2 — 1 61+ (~~~ ( †) Ьтз, дхг Ь=1 1=2 а=1 (6.1) М1М2 — — ' ~ дх1+дхз — 2 дх,дх Ы~ — '+ — 2)+ дх1 1 2=2 1 2..1 1 Таким образом, относительные уллинения отрезков, параллельных осям х, и хз, булут представляться в виде В=з ~~,'„,~ '=~' ~2-2,", 2.ьл; фут' — ~, К=1 / 2=2 л=! Раскладывая правые части по биному Ньютона и ограничиваясь лишь слагаемыми, содермгащими бт в первой степени, получим: ОМ вЂ” ОМ, до, ОМ1 дх1 Π̄— ОМ2 дп ОМ2 дх2 Если относительные удлинения отрезков ОМ, и ОМ.
разделить на промежуток времени, в течение которого образовались зти относительные удлинения, и перейти к пределу, уменьшая промежуток времени Ы до нуля, то получим скорости деформации удлинений рассматриваемых отрезков ОМ,— ОМ, де О М,— ОМ дп Таким образом, величины вы 222 2112 (6.2) 40 скогости ляеогмлций частицы. компоненты нлпеяжений (гл.
> соя(М>О М,) = 1+ — ~ аг+ — ~ зс дх, дхз ! ! Значение косинуса угла М,О Мз будет характеризова>ь скошенно прямого угла М,ОМ за промежуток времени Ь/. Если величину этого скошенна разлепить иа промежуток времени бг и перейти н пределу, уменьшая иг до нуля, то получим скорость деформации скощеиия или сдвига. Итак, величины 2з з, 2з>з, 2зг (6.8) мг — снорослги деформаций сдвига е трех координатных плоскостях. Наядам теперь скорость объемной деформации. Объем параллелепипеда, ребрами которого служат отрезки ОМ„ОМз и ОМз, булет (рис.
5): Ьтв — Вхз Вхз ЕХз, объем же косоугольного параллелепипеда, составленного из отрезков ! ! ! ! ! ! О >Иь О Мз и О Мз, будет прелставляться в виде определителя третьего порядка из разностей координат концов этих отрезков, т. е. ! М Рвс. 5 до> — йг дха д«,д доз — 'йг +доз бт дхз доа дг дхз д "з дт дх> доз зт дхз Ьт = Вх>дхз3хз представляют собой скорости деформаций удлинений отрезное, нираллельннх осям координат.
Определим теперь величину скошепия прямого угла нежлу отрезками ОМ, и ОМ . На основании формулы квадрата стороны против острого угла в треугольнике ! ! О М,Мз находим: 2 Ом ОМ. Подставляя в правую часть значения длин из (6.1) с точностью до дг в первой степени и производя соответственные сокращения, по.>учим: 6 61 компоненты тензога скогоствп двеогмации частицса Таким образом, относительное изменение объама с точностью до й( в первоя степени булет представляться в виде Д~ — йнь /дог+ доз+ доз~ йть (дхс дхь дха) Разделяя величину относительной объемной леформации на проме- жуток времени й( и переходя к пределу при Ж -ь О, получим скорость относительной обьемной деформации а=ь а=ь дт — эта, ъч дисс %1 Опс — — -=Омо р — с= т еа.
ьЬ-ьь ае ать д.та Лд а.=1 а=-1 (6.4) Следовательно, скорость относительной объамиоп деформации частицы представляется в зиле суммы скоростей леформапив удлинения трах взаимно перпендикулярных отрезков этой частицы. Изидам скорость абсолютного удлинения отрезна ОМ произвольного направления. для этого вектор относительной скорости ьГом, представленный в зиле (5.8), спроектируем на направление самого отрезка ОМ, т. е.
умножим скалярно на единичный вектор С другой стороны, скорость абсолютного уллинеиия отрезка можно представлять в виде производной по времени от ллины самого отрезка, т. е. в виде й (зе) йг В таком случае из (6.5) будем иметь производную по времени от квалрата длины элементарного отрезка произвольного направления в виде ас=ь а=ь — (беа) = 2 ~~~~ ~аьь е р, Зха ехм. сь, а ду еь=с а=ь (6. 6) Итак, с помощью шести величин ема полностью определяется абсолютная скорость удлинения элементарного отрезка произвольного Так как прн этом проекция вектора линейной скорости от вращения будет равна нулю, то скорость абсолютного уллинения отрезка будет представляться в виде а=ь т=ь ьсок ' ь = з —,хе ~~да дха бх ° (6.5) а=! еь=ь 42 скотости двеотмлций частицы, компонзнты напг яжвний (гл.
1 направления. На этом основании таблица, составленная из отдельных компонент скорости деформации частицы 1 ) ЗЫ ЕШ З1З ~ е, е.. з. ) 1 121 22 аз (6.7) называется темзором схороглгей деформачии частицы, Тензор скоростей деформации определяет вез состояние деформаций в достаточно малой области около каждой точки пространства, занятого жидкостью. Заметим, что деформация частицы была выше охарактеризована компонентами скоростей деформации, содержащими лишь первые производные от компонент скоростей смещения. Это случилось потому, что мы з разложении (5.1) ограничились членами, содержащими Иха лишь з первой степени, и пренебрегли последующими членами вида 1=За=Э 1 1 дзУ вЂ” ОХЛ ЗХ1.
1-.1В=1 =за=1 — эх охл ( ((: ~~~~ ~— охх (. 1.—.1 З.-1 Ь=1 (6.8) Неравенство (6.8) позволяет оореде тить допускаемый наибольший размер частицы, при котором ее деформация вполне характеризуется тензором скоростей деформаций (6.7). й 7. Главные с((прости удлинений Возьмем на продолжении отрезка Ода точку К н обозначим координаты этой точки относительно системы координат с началом О через $1, 12, 12. 1(лину отрезка ОК обозначим через )7. Тогда координаты точки К будут представляться в виде 11 == )7 — ' (1 = 1, 2, 3). Следовательно, не прн всяких размерах частицы н ое при всяких изменениях вектора скорости деформация частицы может быть охарактеризована введенным тензором скоростей деформации.
Тенэор скоростей деформациИ, содержащий лишь первые производные от скоростей смещения, будет в достаточной мере характеризовать деформацию частицы тогда, когда размеры ее будут настолько малы, что невы- писанный последу1ощий член разложения (5.1) будет по модулю намного меньше модуля суммы слагаемых, содержащих первые степени ех„, т. е. 43 ГЛАВНЫЕ СКОРОСТИ УДЛИНЕНИИ и 71 Определяя отсюда 3х и подставляя в формулу (6.5) для скорости абсолютного удлинения отрезка ОМ, получимг м=а ь=в (7,1) м=1 а=г Длину отрезка ОК будем выбирать так, чтобы левая часть (7.1) была постоянной и равной елннице, т. е. (7.2) яв 1'ом а Правая часть (7.2) представляет собой величину, обратную относительной скорости удлинения отрезка ОМ.
Используя (7.2), получим из (7.1) урзвнение геометрического места точек К квалрат расстояний которых ло центра частицы О обратно пропорционален относительной скорости удлинения отрезка, совпадающего с направлением ОК т. е. 2Ф = ~З ~~а~ е„и1Д„= 1. (7.3) Ы=.1 Л=1 Полученная поверхность второго порядка представляет собой поверхность деформаций в точке О. Направляющие косинусы нормали к этой поверхности будут пропорциональны частным производным от левой части (7.3) по соответственным координатам, которые будут представляться в виде и.=з дФ 'кч 17 кч — = ~ вма(м — — „лтд гмь йхм, (7.4) 1А:= 1 Сопоставляя правую часть (7.4) с правой частью (5.10) лля вектора скорости перемещения, обусловленного только деформацией частицы, мы видим, что направляющие косинусы нормали к поверхности (7.3) пропорциональны про- Ряс.
6. екциям вектора (Уом), . Слеловательно, вектор скорости перемещения, обусловленного деформацией частицы, будет направлен параллельно нормали к поверхности деформаций в точке пересечения этой поверхности с продолжением отрезка ОМ (рис. 6). Оси, для точек которых векторы скоростей перемещений, обусловленных деформацией частицы, будут направлены в точности по самим отрезкам ОМ, называются главными ося.ки дгформаций в точке О. Обозначая скорость деформации относительного удлинения 44 скогости двеогмлций частицы. компоненты ньпгяжвний (гл. г ега е — е сс (7.6) е еаа — а езз аз„ еэз еш — е Из этого уравнения мы получим трн значения е: а,, аз и а .
Эти скорости деформаций относительных удлинений отрезков, направленных в точке О по главным осям деформации, называются глазными скоростями удлинений а точке О. Главные оси деформаций ортогональны межлу собой. Так как в результате деформации частицы точки на главных осях смешаются только вдоль самих осей, то скорости деформаций сдвига по отношению к этим осяи будут обращаться в нуль, т.
е. взаимно ортогональные направления главных осей деформации не будут испытывать скошений прямого угла между ними. На основании соотношения (7.2) н свойств центральной поверхности второго порядка можно заключить, что минимальное и максимальное значения скоростей относительных удлинений отрезков будут находиться среди главных скоростей удлинений. развертывая определитель в левой части (7.6) по степеням а, получим: — аз+ Е аз+ Еаа+Ез — О, где Е, Еэ и Ез представляются в виде в=а Е = ~~~~ еаа, (7.7) а=а Е„= — еые а — е, еаа — е„ем+ еж+ее +азы (7.8) еы еы аз~ Ез= е е еш.
ам азэ езв отрезка, направленного по главной оси, через е, для скорости абсолютного удлинения и ее проекций из (5.6) и (5.1) будем иметь: ()сом)„, = е эз, еь 3 Эха (~апн)хее (~Он)хеа З Ха 7а ам Хег » =ц Перенося в одну сторону и раскрывая сумму, получим: (аы — а) ах, + е . Зха+ еп ах. == О, Еаг ехс + (ЕЗ а) эха+ Ещ Ьха — О, е, Зх, + е ., эха + (езз — а) ахз = О. Так как все аха не равны нулю, то определитель системы должен обращаться в нуль, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
