Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Это значит, что энергетический метод исследования устойчивости ламинарных течений Таким образом, зависимость угловой скорости вихря от расстояния прелставляется через функцию Бесселя первого рола в виде ш(я) = — ль(5 у й). УстОЙчиВОсть ЛАминАРных течений (гл. хг 412 позноляет епределять критическое значение числа Рейнольдса с большим запасом. Различие результатов исследований устойчивости ламинзрного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей, проведенных по методу малых колебаний и с помощью энергетического метода, следует, повидимому, объяснить прежде всего тем, что в первом методе диффвренциальные уравнения поля возмущений линеаризируются, тогда нак при энергетическом методе нелинейные слагаемые з уравнениях учитываются. 9 4. Об усгойчивостн ламннарных течений между параллельнымн стенками н в пограничном слое В й 2 было указано, что исследование устоИчивости ламинарного плоско-паргллельного течения между параллельными стенками и в пограничном слое по методу малых колебаний сводится к решению дифференцнзльного уравнения (2.9) для функции тока ф' поли возмущения.
Обозначая характерную скорость течения через (г', характерный размер через й вводя число Рейнольдса (4.1) и полагая ."=" у '-' ~=иг' аг — (Тш(у), ф'=(грр(у)ееаг -агг, (4. 2) получим из (2.9) следующее дифференциальное уравнение четвартого порядка для неизвестной функции х(у) поля возмущений: (пг(у, '— с)(ера — аеа) — ш"9 = — — (ергт — 2аегр" + а«р). (4.3) ай Составляющее вектора скорости поля возмущений будут при этом равны: ем е гт~~~ ь гх-агй ах= (4.4) 1(ля исследования устойчивости ламинарного течения между двумя неподвижнывй стенками (у= — О, у =2гг) решение уравнения (4.3) необходимо годчннить граничным условиям прилипання частиц жидкости к стенкам. В этом случае за характерную скорость течения (1 можно взять максимальное значение скорости (у = й).
Тогда распределение скоростей по сечению в безразмерных параметрах будет б 4) 413 твчвннв мвждг плвлллвльными станками представляться в виде (у) = =(у,.у — у'), Уг (4.5) где — Ь у =2— (4.6) Учитывая равенства (4.4) и (4.б), можно записать условия прнлипа- ния частиц жидкости к стенкам в поле возмущений в виде м(о) = о, р'(о) = о, м(~,)=о, р'(у,) =о. 1 (4.у) Для исследования устойчивости течения в пограничном слое решение уравнения (4.3) должно проводиться прн выполнении условия прнлипання к одной стенке р(о)=о, р'(о)=о (4.3) и при выполненнн дополннтельного условия на границе слоя, отражающего собой непрерывный переход решения уравнения (4.3) для вязкой жидкости в решение соответственного уравнения для идеальной жидкости.
Уравнение поля возмущений для идеальной жидкости мы получим из (4.3), полагая прн )т-ьпо шв(у)-ь О. Прв этом предельном переходе мы получим из (4.3) уравнение яцр= о, общее решение которого представляется в виде (4.9) м = Сде в + Сэе Чтобы иметь ограниченное решение уравнению (4.9), необходимо постоянную С приравнять нулю. Тогда требование непрерывности перехода решения уравнения (4.3) в решение уравнения (4.9) на границе слоя (у= — у ) может быть представлено в виде равенств Т(у,)=С -"", м'(у ) = — Саяе Отсюда мы получим следующее дополнительное условие, которому необходимо подчинить решение уравнения (4.3) для случая исследования устойчивости течения в пограничном слое: ам(у ) + я~ (у,) = О.
(4. 1О) 414 (ГЛ. Х4 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТВЧВИИЙ К условиям (4.8) и (4.10) присоединяется условие ограниченности решения при неограниченном возрастании переменного у, т. е. р( )(< (4.1 1) Так как тв(у) представляет собой аналитическую функцию от у, то четыре независимых решения уравнения (4.3) булут аналитическими функциями от переменного у и целыми функциями от трех входящих в уравнение параметров а, агс и с. Параметр а представляет собой длину волны возмущения, а параметр 44 — число Рейнольдса; оба параметра должны быть действительными, Параметр же с, связаннь~й со скоростью распространения волны возмущения и со степенью изменения со временем высоты гребня волны возмущения, пожег быть и комплексным, т. е.
с = с„+ 1с,, Основная нлея исследования устойчивости ламинарного течения сволнтся к тому, чтобы найти зависимость межлу этими тремя параметрами а, (ч и с: Р (а, (4, с) =- О. (4.12) Если эта зависимость будет разрешена относительно параметра г, то после отделения действительной и мнимой части будут получены равенства с,=с„(а, Я), ~ са.=са(а, (х). (4.13) Из равенств (4.4) следует, что исследуемое течение будет устойчи- вым лля положительных значений сз и неустойчивым для отрицатель- ных значений сг.
Следовательно, кривая (4.1 4) сг(а, Я) = О (4.1 5) р Сг ! д + Сайз + Сз 4з + С4 4 4 Используя однородные граничные условия (4.7), мы получим однородную систему четырвх уравнений относительно постоянных С,, Сю Сз и С,. Условие разрешимости этой системы уравнений ласт нам на плоскости параметров а и гх будет разграничивать области устойчивых и неустойчивых течений. К построению такой разграничительной кривой и должна сводиться рассматриваемая аадача об устойчивости ламинарных течениИ.
Такая зависимость межлу параметрами должна быть установлена с помощью четырех независимых решений уравнения (4.3) и соответственных однородных граничных условий. Если независимые реше- ниЯ обозначить чеРез Р4, Рз, Ра и Р,, то общее Решение УРавнениЯ (4.3) представится в виде в 4) 415 течяния мяждэ пьвлллвльными стенками уравнение ~,(о) р,(о) р',(о) р,'(о) йз(У1) ', (Уг) э!(Уг) Р,'(Уг) характеристическое или вековое р, (о) р',(о) 'рг (У1) р',(у ) р,(о) р',(о) Ря(У~) Р',(Уг) (4.16) Это уравнение как раз и будет прелставлять собой зависимость (4.12) между параметрами я, )х и с для случаи лзминарного течения между параллельными неподвижными стенками, Для течения в погрзничном слое мы должны одно из независимых, например лм отбросить как не удовлетворяющее условию ограниченности решения (4.! 1). Следовательно, общее решение уравнения (4.3) в этом случае должно представляться в зиле ~=Ср,+С,р,-+Сэр,.
(4.17) Это общее решение должно уловлетворять граничным условиям (4.8) и (4.10). Но так как прн приближении к границе слоя уравнение (4.3) должно вырожлаться в уравнение (4.9), то на этой границе третье независимое решение ра должно оказаться несущественным и его можно отбросить при удовлетворении условию (4.10), В таком случае вековое уравнение для случая течения в пограничном слое будет; р,(о) р,(о) р,'(о) р,'(о) = о, «.!8) з4,(У,)+ Р.,'(У,) О р,(о) р,'(о) Яфг (Уг) + фг (Уг) Чтобы из вековых уравнений (4.16) и (4.!8) получить уравнение разграничительной кривой (4.14) в конкретном зиле, необхолимо в явном виде построить четыре независимых решения уравнения (4.3); в этом-то и заключается основная математическая трудность рассматриваемой задачи об устойчивости ламинариых течений. Наиболее распространенным методом решения обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами является метол представления решения по степеням соответственно выбранного малого параметра.
Так как ламинарное течение теряет устойчивость при сравнительно больших значениях числа Рейнольдса, то в рассматриваемом случае в качестве малого параметра но>кис было бы выбрать 1 отношение —. Но в уравнении (4.3) этот малый параметр входит ай множителем при старшей производной. Это обстоятельство создаЕт дополнительные трудности в применении метода разложения решения 1 по степеням малого параметра —. Этн трулности возникают, ай 416 гстойчивость ллминьвных течений (гл.
х~ во-первых, оттого, что в нулевом приближении мы получим дифференциальное уравнение второго порядка, а не четвертого. Следовательно, в этом приближении можно построить только два независимых решения, а не четыре. Во-вторых, для дифференциального уравнения второго порядка точка У = у„ для которой будет выполняться равенство (4.19) чв (у,) = с, будет особой точкой, тогда как для полного уравнения (4.3) эта точка не будет особой. На это обстоятельство раньше не обращалось внимание исследователей; именно по этой причине и не удавалось обнаружить неустойчивость ламинарного течения между параллельными стенками. Наличие особой точки У = У, вынужлает по-особому выбирать путь соответственного интегрирования в плоскости комплексного переменного у прн аналитическом продолжении дифференциаль.
ного уравнения (4.3) на эту плоскость. Подробное исследование всех этих вопросов дано в цитированной выше работе Лина. Для проведения числовых вычислений в этой работе используется метод построения асимптотических решений уравнения (4.3), ваключающнйся в следующем. Первые два независимых решения строятся путам непосредствен- 1 ного разложения решения по степеням параметра —. Полагая ай р (у) = <рз (у)+ (ай) 'рг (У) + (я й) %рз (у) + ° " (4 20) подставляя это разложение в уравнение (4.3) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра, получим следующую последовательность дифференциальных уравнений второго порядка: (4,21) (ш — с)(уь — вара) — ш ра =- — Г(фа-г — 2в-'рь-г+а рл-г) (Л~~1), (4.22) Дифференциальное уравнение (4.21) нулевого приближении, отвечающее полю возмущений без учета сил вязкости, можно решить с помощью разложений по степеням параметра из.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
