Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Такой именно случай будем иметь, например, тогда, коглз траектории частнц л в поле возмущений будут представлять собой подобные эллипсы, малые осн которых наклонены к положительному направлению оси х под некоторым углом (рис. 98). Итак, будем предполагать, что поле вовмугценнй обусловлено наличием эллиптического вихря с центром на средней линия между параллельнымн стенками, малая ось которого составляет с направлением и для критического значения числа Рейнольдса получим из (3.33) следующее выражение: 406 (гл, хл тстойчивость ллминлвных тячяний скорости основного течения угол а.
Введйм новые оси координат, совпадающие с осями эллиптического вихря, В этих новых осях К н Г проекции вектора скорости основного течения на основании (3.35) и формул преобразования координат будут равны и = — соз а1Хз(п а+ 1'соз а+ — ), и, в 2)' (з.зу) и = — — злп а Хмп а+ 1'соз а+ —,~. — И 2) ) Используя выражения (3.37), будем иметь: да, С дХ 2в жп 2а, дел У вЂ” - = — — з(п 2а дУ 2Ь вЂ” + — = — соз 2а, ди,, дгч У ду 1 дХ а М = — —,1(и'л — и') з!и 2а+2и'и'соз 2а). (3.33) 2Л где и' и о' обозначают проекции вектора скорости поля возмущения на новые оси координат.
Очевидно, что рассматриваемый эллиптический вихрь можно образовать нз кругового с помощью равномерного сжатия в направлении оси Х. Пусть этот круговой вихрь находится на некоторой вспомогательной плоскости с осями координат хо и уе, совпадающими с выбранными осями Х н у. На этой вспомогательной плоскости проекции вектора скорости от вихря будут представляться в виде (3.39) "о = — ыуо по = ыхо где е представляет собой положительную постоянную величину. Буделл теперь принимать, что в рассматриваемой точке на основной плоскости проекции вектора скорости поля возмущений равны == еао = еы.уо о = пе — — мхе.
(3. 41) При таком предположении (3.41) уравнение неразрывности будет удовлетворяться, а движение частиц в поле возмулцений будет происходит~ по эллиптическим траекториям. гле ы считается непрерывной функцией расстояния ге от начала координат. При этом на границе кругового вихря го = д угловая да скорость ы обращается в нуль, а в центре вихря ы н — остаются л1гл конечными.
Точке с координатами хе и уе на вспомогательной плоскости будет отвечать точка на основной плоскости с коорлннатамн Х = а хе, У = уо, (3. 40) $ 3) твчяник с пгямолиняйным пгофнлзм глспгвдвлвния скоеоствй 407 Подставляя значения и' и о' из (3.41) в выражение (3.38) для М, получим: М = — — ав(хз — езуа) з)п 2е+ — еавхеуе соз 2а.
(3.42) л Для вихря поля возмущений будем иметь: '-( — '+ =-)'+ 2а ~ — '+ е) ~ — '"+ еу;) — '„— '"- —, +( — а+ ау'"') —,( — „) . (3.43) 2а' = 4а' = (3.44) При интегрировании по полярному углу у найдем: х',еда= ~ г-',соззаьйз=-иг-,', ~ у';ьйь= ( г';з)п' аНу=яг', е е е о хеуз Ну =- го ~ з)п у соз а оу = О, (3.45) 4 — 3 рь ь)а = — гге, — 3 ге хеУО ФР = 4 Используя (3.42), (3.43), (3.44) и (3.45), получим: ь МНБ= — е ~ ~ МгьгЬй'з'= — '(1 — ез) з!п 2а ~ маг~Иге, (3 46) ь — )Й' ') ~ 4а' ь(5=-4е ~ ~ а' гзй~лге=2ве( — +е~ ~ ~аегь+аг,— )ь(ге+ Я о ь + — '(3+2ез+Зеь) ~ гз ( — ) ь(го.
(3.47) е Элемент площади 45 на основной плоскости будет связан с элементом площали ь)5а на вспомогательной плоскости соотношением 408 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМННАРНЫХ ТЯЧЯНнй (ГЛ. Х1 обращается в нуль, а в центре а (а го+~РЛг "'о о Следовательно, равенство (3.47) примет вид ь ~ 4а 113= — (3+2оо+Зоо) ~ ( — ) гоФ, (3.48) я о Вводя безразмерную независимую переменную го Ь получим: 1 ~ М1!о = —" Ьо — о(1 — оз) ап 2а ~ аяза с(5, 2 а я о 1 ~4а 1го= 4 — (3+2оз+31')Ья ~ ( — ) Рс15. (3.49) (3.30) Иа основании (3.49) можно заключить, что указанное выше требование о положительности интеграла от М будет выполнено, если коэффициент преобразования е будет меньше единицы, Обозначая отношение интегралов череа л, т.
е. 1 55( — ) лз — =д ) нагано о (3,31) и используя интегральное соотношение (3.33), получим следующее равенство для критического числа Рейнольдса: Шк аао 3+ 2Ф+ Зо' 2Ь1 оо(! — 15) 51о 2о' Такии образом, значение (ч,р поставлено в зависимость от размеров вихря Ь, от вида вихря о, от положения большой оси в и от распределения величины угловой скорости вихря по радиусу а (5). Исследуемое ламинарное течение с прямолинейным распределением скоростей будет заведомо устойчивым, если )ч,г, определяемое Так как на границе кругового вихря а остаатся конечной, то 15а наго+ г';а — = лто — — (ааф, ! л 2 1!го ь — ",! =0. яо о 9 3) твчвния с прямолинейным проеилвм рлспрвдвлзния скоростей 409 Рнс. 99.
этом малая ось должна быть наклонена к стенкам под углом « (рис. 99), Используя уравнение верхней стенки У = — 19 «Х+ л 2 сов а н уравнение эллипса хз ув ззв+ Ьз можно получить следующее равенство для квадрата наибольшего значения радиуса вихря на вспомогательной плоскости: (У сов з а + Ф в1па а Подставляя (3.53) в правую часть (3.52), получим: сова а+ зв в1пз а 3+ 2Н+ Ззз Ып 2« зз (1 — зз) (3.53) (3.54) Заметим, что при фиксированном значении в первый множитель в правой части (3.54) принимает наименьшее значение при 1 19а = —. (3.55) Таким образом, положение малой оси вихря ставится в зависимость от значения коэффициента в сжатия кругового вихря. Подставляя равенством (3.52), будет иметь наименьшее вначение.
Следовательно, теперь необходимо установить те значения параметров вихря Ь, в, « и е (з), для которых правая часть равенства (3.52) приобретает наименьшее значение. Как видно из (3.52), с увеличением радиуса вихря Ь (чзр будет уменьшаться. Однако раамеры вихря не могут быть произвольно большаки, они должны быть ограничены тем условием, что эллипс с полуосямн вЬ и Ь должен касаться стенок (у = Ь и у = О) и при 410 гстойчнвость ллминлвных течений (гл. х! значение угла з из (3.55) в (3.54), получим: К 2АЗ+2ь +3.3 е (1 — еа) (3.56) Наименьшее значение коэффициента в выражении для (х,р, равное 4)г 6, достигается при 3 (~ 15 )7 6) О'475 (3.57) Таким образом, критическое число Рейнольдса будет теперь представляться в виде 1 ~ ('„')',зла о 34=3 = О.
(3.59) Выполняя аарьирование под знаками интегралов, будем илюетгц 1 1 е ~ ~ асззс(л~ =- 2 ) и оазз!)з, о о 1 ! о~~ (ив ) з У ~=2~ '— '" — ","з ) . (3.60) (3.61) Принимая, что на границе вихря (а=1) вариация вихря обращается в нуль, после интегрирования по частям получим: 1 ! 1 г — ~ ' .) = ." ~ ,) Пе Лаь Лв 1 и! апьб 1 Л 7 Ле! — зз — ~Уз = — азов — ~ оа — !!за — ! гЬ = — 1 Зы — (зз — ) ~Ь. кз ' кг л'з пз'! л.) ,! и (, пг,) е о о Если выполнить варьирование дроби в (3.59) и использовать предшествующие равенства, то найдем: ! , ~и ( з'~"') ) ь а„,~~,)з О Пркравннвая нулю коэффициент прн вариации угловой скорости и под знаком интеграла, получим дифференциальное уравнение для гавр = 8 У 6 й.
(3.58) Для определения наименьшего значения праной части (3.58) будем варьировать зависимость угловой скорости вихря в от расстояния з танин образом, чтобы вариация от множителя й обращалась в нуль. 6 3) твчвнив с пгямолннвйным пгоеилвм глспгядвляния скогосгвй 411 искомой угловой скорости — ь е — ь+ Аыьа = О. Н / аии' ие ~ де) При подстановке и == у, е' =- Е "у' д а (3.62) уравнение (3.62) приводится к известному дифференциальному урав- нению для цилиндрических функций иэу 1 ау, 1 йеь е'бес ( е э) — — +,—,+ ) ')у=О. Из лвух решений этого уравнения берем именно то, которое остаатся конечным при л'.=- О, т. е. у = С/ь (е') =-. Сеь (з )I Й). Чтобы удовлетворить условию обращения в нуль угловой скорости вихря на границе кругового вихря на вспомогательной плоскости. необходимо положить: У,(У Ф) = О.
(3.64) Уравнением (3.64) предопределяется выбор значения множителя и. Обозначая наименьший корень функции 1, через >,„будем иметь: й=л,'. Так как из таблиц иььеем: сь = 3,832, ь~ ~=- 14,68, то наименьшее значение критического числа Рейнольдса из (3.58) будет равно (Я„р) „.= 288. (3.65) Таким образом, при использовании энергетического метода исследования устойчивости можно придти к выводу, что ламинарное плоско-параллельное течение с прямолинейным профилем распределения скоростей будет заведомо устойчиеым, если часло гс не будет превышать значения 288. Следует, однако, заметить, что полученное с помощью энергетического метода значение критического числа К намного меньше того значения, которое получается косвенным путем на основании некоторых опытов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
