Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 64
Текст из файла (страница 64)
А теперь допустим, что угол раствора лиффузорз настолько мал, что можно приближенно положить: с!8. 0 = —. 1 0 ' (4.20) При такой замене дифференциальное уравнение (4.17) без правой части будет представляться в виде Лог~ ! 1 Ло' [ — .=0, Лво ' О ЛО Л и поэтому ограниченное решение этого уравнения будет представлять собой функцию Бесселя нулевого порядна от мнимого аргумента, т. е. .ЦО)=7,(0~77 Р). (4.
21) Если к тому же воспользоваться рекуррентной формулой 2 „Ро(х) = (о(х) — Рз(л) то решение задачи для изображения (4.19) при малых углах рас- Удовлетворяя граничному условию прилипания, получим следующее выражение для постоянной: (, 7,(зв ~, л) — гз(О ~7 — ) ( к') (4.22) Сопоставляя равенство (4.22) с решением (235) для изображения осевой скорости частиц жидкости в круглой цилиндрической трубе, мы замечаем, что различие состоит в наличии дополнительного мно- жителя Р р+2 и в том, что под знаком аргумента функции Бесселя вместо множителей а н г находятся множители бв и О.
Раскладывая правую часть на простые лроби, будем иметь: " = ",,'(") = и, ~ — ", + ~ (4.23) тле рж связаны с корнями уравнения 4(7) =О соотношением (4.24) О,)/~' = (4.25) а коэффициенты разложения (4.23) будут представляться в аиде зв(зо )Г ~) — Уо(О $/ ~) 2) Х (Ов Ог — 7 2Л., ~уе(т~я) 2о(О тя)~ я Оа(2 .. ) (4,26) Используя разложение (4.23) и выражения (4.2б), получим выражение для оригинала радиальной скорости ол Уз(О )гГ Л) — Го(зо фг — ) (ч'-') — р- '! ') ' з —,и (4.27) 2 4) влзвитие двнжвнив жидкости в коническом дичзязоге 379 твора конического диффузора будет представляться в виде 33О глзвнтив ллмннлиюго движения жидкости (гл, т При замене 4 через )г на основании (4.13) радиальная скорость он будет представляться в виде е ( ) -10(З 11 — ) — Уо(ЗОБУ Л) з(Ч' ~) +4 00' — ' 1 О (ка) О (4.
28) Подставляя (4. 12) и (4.23) в (4.11) и проводя интегрирование по переменному )с, будем иметь; — У лу 2ОБО)', 2нда, /- 2 о( о вг д! 1„, О 3'!)о ~ч )ОА(НО) !')Оа) 'о "' ' уа(т )( — — т„,) "~ ' " 'О(Ч/2) т„га(т„,) 00 ГО(та)( Л ) Те)( Л ТОО) Па основании рекуррентныл формул для бесселевых функций Ро(х)= /1(х)= 2 (ОО(х)+аз(х)! мы можем в правой части (4,29) произвести следующие замены: , '( г'й ( г'1) ~ 60' 1 Уз(даф а) 20(за)гг ~) ) (4.30) да (т„,) 382 талвитие ллминаеного движения жидкости [гл.
х Подставляя в (4.34) последовательно х = Оз ~/ —; х =(=— ао получим: жи 26е 4 а=ч л '(ч'й ( зе уе( ~Л) (4, 35) 1 За+4 О /(О) Следовательно, сумма (4.38) будет иметь следующее значение: Таким образом, лля разности давлений из (4.32) и (4,36) будем иметь: Рз Р, 1 Ч т' Л ) = 2)з — 1 -1- —— яи-„' 3,,( Вч ) (4.37) При исследовании функции Р(х) = 37я(х) — lс(х) можно обнаружить, что действительным корнем этой функции будет: хт = 2,175, (4.38) и до достижения аргументом х значения хд функция будет отрицательной, а затем положительной, На этом основании будем иметь р ( Р при выполнении неравенства эч ~- <, '2,!75. В этом случае течение в диффузоре будет происходить з сторону падения давления. Если же считать параметр 5 малым и пренебрегать поэтому первым слагаемым в правой части (4.37), то при вы- (гл.
х тязвнтив лхминлвного движвния жидкости Так как при выполнении неравенства ),( А беден иметь: (4,44) у,(),) > о, у,(д) > о, то знаки левой н правой части (4.42) будут различны. Следовательно, при выполнении неравенства (4.44) отрыва жидкости от сте- ~~. Ф л ! л ггб 'обула ю,уст ыо ы ~вс г~о лина, Рвс, 97. й ) — 'а-, (4,46) то поток жидкости будет отрываться от стенок диффузора, а так как при этом будет выполняться и неравенство (4.39), то течение жидкости будет происходить в сторону возрастания давления.
Прн этом с возрастанием числа Рейнольдса место отрыва потока от стенок будет приближаться к входному сечению. В цитированной выше работе С. М. Тарга приведен график зависимости места отрыва от значения числа Рейнольдса, который мы и воспроизводим здесь (рнс, 97). нок происходить не будет. Подставляя в (4.44) значения Х и й, получим неравенство для числа Рейнольдсз д Б (4А5) ео Таким образом, при малых числах Рейнольдса, не превышающих правой части неравенства (4.45), течение вязкой жидкости в коническом диффузоре будет безотрывным.
Если число Рейнольдса будет превышать правую часть (4.45), т. е. ГЛАВА Х1 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ В !. Общая постановка вопроса об устойчивости В механике, как известно, решения уравнений равновесия или дифференциальных уравнений движения тел нли сред опрелеляют класс возможных состояний равновесия и движения, из которых лишь только часть будет представлять собой реально осуществимые состояния. Отбор из всего класса возможных состояний равновесия и движения отдельной группы реально осуществимых состояний производится в механике с помощью исследования устойчивости соответственных решений уравнений.
Реально осуществимыми из всего класса возможных состояний будут только те состояния равновесия и движения, которые будут удовлетворять условиям устойчивости. Эти условия устойчивости устанавливаются с помощью ряда иетодов, из которых наиболее общим и строго обоснованным является метод Ляпунова. В главе 1У были рассмотрены простейшие решения точных дифференциальных уравнений установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости. На основании сказанного выше эти решения определяют класс пока только возможных простейших угзшнавившихся движений зязиай несжи.чаемой жидкости, которые получили название ламинариых течений.
Вопрос >ке о реальной осуществимости этих возможных простейших движений должен решаться отдельно либо с помощью непосредственной экспериментальной проверки основных особенностей ламннарных течений, либо с помощью теоретических исследований условий устойчивости этих течений. Экспериментальная проверка основных особенностей ляминарного течения, например, в круглой цилиндрической трубе показала, что для осуществимости ламинарного движения необходимо выполнение двух условий. Первое из этих условий заключается в том, что число Рейнольлса ие должно прьвып1ать своего критическага значения, т.
е. Я< Наю (1.1) При этом иногда различают лва критических числа Рейнольдса, одно ив которых называют верхним, а второе — иижни.я. Под верхним 386 >стойчивость ллминхвных течений 1гл, ю критическим числом Рейкольдса подразумевается то его значение, при котором можно еще наблюдать прямолинейность траекторий всех частиц жидкости прн наиболее благоприятны:с для этого условиях входа в расс>>атриваемую трубу Ни>кисе критическое числа Рейкольдса прелставляет собой го значение числа Рейнольдса, за пределами которого при произвольных условиях входа жидкости в трубу график коэффициента сопротивления трубы на логарифмической диаграмме не будет представляться отрезком прямой, одинаково наклоненной к осям координат. На основании многочисленных опытов обнаружено, что, чем плавнее осу>цествлястся вход жидкости в трубу, тем выше значение верхнего критического числа Рейнольдса.
Но при этом оказывается, что при малейшем возмущении потока характер траекторий частиц резко изменяется. Если же число Рейнольдса не превышает значения нижнего критического числа Рейнольдса, то изменение условий входа жидкости в трубу, т. е. надо>кение возмущений на поток, не вызывает суцгественнь>х изменений вида графика коэффициента сопротивления трубы на логарифмической диаграмме. Отсюда мы заключаеч, что ламинарное течение жидкости будет реально осуиссс>лвимь>м, >и. с. уса>ойчивым, если число Реикальдса ке иреаышас>и своего кимсксго кри>пического зкачския. Второе условие реальной осуществимости лвминарного течения связано с длиной начального участки трубы. Ллина начального участка трубы должна быть достаточной для того, чтобы на протвженни этого участка всякого рода возмущения, неизбежно возникающие при входе в трубу, должны почти полностью исчеапуть, а основные признаки ламинзрного течения почт> полностью развиться.
Как уже указывалось в главе Х, длина начального участка трубы по результатам ряда экспериментов находится в прямой зависимости от числа Рейнольлса и от рчднуса трубы. т, е. с. ) с>ха, 1Н21 где и — числовой множитель. Таким образом, экспериментальная проверка возможности осуществления ламииарного течения вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе привела к необходимости рассматривать этот вопрос с двух несколько различных точек зрения.
С одноп стороны, вопрос об осуществимости ламинарного течения в трубе непосредственно связывался с условиями устойчивости такого рода течения. С другой же стороны, этот вопрос тесно увязывался с условиями возможности развития основных признаков ламннарного течения в трубе. Благодаря этому обстоятельству теоретические исслелования вопроса об осуществимости ламинарны течений также велись в двух различных направлениях. Основная часть теоретических исследований была направлена в сторону выяснения необходимых и достаточных условий устойчивости различных ламкнариых течений вязкой несжиь>аемой м,илкости, А вторая часть теоретнче- овщля постановка вопгоса оь тстойчивостн 387 скнх исслеловаиий быяа направлена в сторону выявления основных особешюстей развития ламннарного течения на начальном участке труб и диффузороз. О теоретических исследованиях, посвящбнных развитию ламинарного течения на начальном участке, была речь в главе Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
