Спец часть (часть 1) (3 поток) (2015) (by Кибитова) (1161601), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда если все кривые, сопоставленные рёбрам, неимеют общих точек, кроме концевых, то говорят, что задана геометрическая реализацияграфаG. общих точек, кроме концевых, то 18имеютговорят, что задана геометрическая реализацияимеютобщихточек,кромеконцевых,тоговорят,что задана геометрическая реализацияграфа G.геометрическая реализация графа K 4графа G.геометрическая реализация графа K 4геометрическая реализация графа K 4не является геометрической реализацией графа K 4не является геометрической реализацией графа K 4негеометрическойреализациейграфа4любогоявляетсяграфа существуетегореализацияв KтрёхмерномТеорема 4. Дляпространстве.Теорема 4.
ДляВозьмёмлюбого графасуществуетлюбуюего реализацияДоказательство.в пространствепрямуювl трёхмерноми разместимпространстве.на ней все верДоказательство.Возьмёмвпространствелюбуюпрямуюlиразместимнаней все верТеорема4.Длялюбогографасуществуетегореализациявтрёхмерномпространстве.шины графа G. Пусть в G имеется q рёбер. Проведём связку из q различных полуплоскостейшиныграфаG.ПустьвGимеетсяqрёбер.ПроведёмсвязкуизqразличныхполуплоскостейДоказательство.Возьмёмвпространствелюбуюпрямуюlиразместимнанейвсе верчерез l. После этого каждое ребро графа G можно изобразить линией в своей полуплоскостичерезграфаl. Послеэтого вкаждоереброqграфаGПроведёмможно изобразитьлиниейв своейполуплоскостейполуплоскостишиныG.ПустьGимеетсярёбер.связкуизqразличныхи они, очевидно, не будут пересекаться.
Теорема доказана.и они,очевидно,будут пересекаться.Теоремачерезl. Послеэтогонекаждоеребро графа Gможнодоказана.изобразить линией в своей полуплоскостииони,очевидно,небудутпересекаться.Теоремадоказана.§19.§19.Планарные(плоские)графы.ФормулаПланарные(плоские)графы.ФормулаЭйлера.Эйлера.§19.Планарные(плоские)графы.ФормулаЭйлера.Определение 1. Граф называется планарным, если существует его геометрическая реаОпределение 1.
Граф называется планарным, если существует его геометрическая реа-лизацияна плоскости.лизацияна плоскости.Определение1. Граф называется планарным, если существует его геометрическая реаОпределение2. ЕслиимеетсяпланарнаяплоскостьОпределение2. Еслиимеетсяпланарнаяреализацияреализацияграфаграфаии мымы «разрежем»«разрежем» плоскостьлизация на плоскости.по всемлиниямэтойэтойпланарнойреализации,топлоскостьраспадётсяначасти,которыенапо Определениевсемлиниямпланарнойреализации,топлоскостьраспадётсянакоторыена2. Если имеется планарная реализация графа и мы «разрежем» плоскостьзываютсягранямиэтойпланарнойреализации(однаизгранейбесконечна,онаназываетсягранямипланарнойреализации(одна из гранейбесконечна,называетсяпозываютсявсем линиямэтойэтойпланарнойреализации,то плоскостьраспадётсяна части, которыенавнешнейгранью).внешнейгранью).зываются гранями этой планарной реализации (одна из граней бесконечна, она называетсяТеорема5 (формулаЭйлера).Длялюбойпланарнойпланарнойреализацииреализации связногосвязного планарногоТеорема5 (формулаЭйлера).Длялюбойпланарноговнешнейгранью).графаG=(V,E)сpвершинами,qрёбрамииrгранямивыполняетсяравенство:p–графа GТеорема= (V, E) 5с (формулаp вершинами,q рёбрамии r гранямивыполняетсяравенство:– qq ++ rr==2.2.Эйлера).Для любойпланарнойреализациисвязного планарногоДокажемпрификсированноминдукциейпо q.Доказательство.Докажемтеоремуприppиндукциейпоq.Таккак—графаGДоказательство.= (V, E) с p вершинами,q теоремурёбрамии rфиксированномгранямивыполняетсяравенство:p –Такq +какr =GG2.—связныйграф,тоq≥p–1.связныйграф, то q ≥ p – Докажем1.Доказательство.теорему при фиксированном p индукцией по q.
Так как G —a) Базисиндукции:q p= –p 1.– 1.ТаккакG G——связныйсвязныйииqq== pp –– 1,1, тото согласносогласно пунктуa)Базисиндукции:q=Таккакпункту33связный граф, то q ≥ p – 1.теоремы2G—дерево,тоесть,вGнетциклов.Тогдаr=1.Отсюдаp–2 G — дерево,в GG нетциклов. иТогда– qq ++ rr3==a)теоремыБазис индукции:q = p –то1. есть,Так как— связныйq = p r– =1,1.тоОтсюдасогласноp пунктуp ––(p1)–+1)1 +=12.= 2.= теоремыp –= (p2 G — дерево, то есть, в G нет циклов. Тогда r = 1. Отсюда p – q + r =b) Пусть для q: p – 1 ≤ q < q0 теорема справедлива.
Докажем, что для q = q0 она также= p – для(p – q:1) p+ –1 =b) Пусть1 2.≤ q < q0 теорема справедлива. Докажем, что для q = q0 она такжесправедлива. Пусть G —связный граф с p вершинами и q0 рёбрами и пусть в егоПустьG—связныйграфс p вершинамии qчтов егоb)справедлива.Пустьдляq:p–1≤q<qтеоремаДокажем,для q Следовательно,= иq0 пустьона также0 рёбрами0планарной реализации r граней. Таксправедлива.как q0 > p – 1,то G — недерево.справедлива.ПустьGr —связныйс0 >p pвершинамии неqс0 двухрёбрамии пустьв егопланарнойграней.Такграфкакв qцикл.– 1, токGнему—дерево.Следовательно,в G естьреализациицикл.Пустьреброe входитТогдасторонпримыкаютпланарнойреализацииrграней.Таккакq>p–1,тоG—недерево.Следовательно,вGестьцикл.Пустьреброeвходитвцикл.Тогдакнемусдвухсторонпримыкают0разные грани.
Удалим ребро e из G. Тогда две грани сольются в одну, а полученныйвGестьПустьсвязным.ребров цикл.к немус двухсторона графапримыкаютразныеграни.Удалимребро ee входитиз G.этомТогдадвеТогдагранисольютсяв одну,полученныйграфG1цикл.останетсяПриполучитсяпланарнаяреализацияG1 с pразныеграни.УдалимреброeизG.Тогдадвегранисольютсяводну,аполученныйграфGостанетсясвязным.ПриэтомполучитсяпланарнаяреализацияграфаG1 с p1вершинами и q0 – 1 рёбрами и r – 1 гранями. Так как q0 – 1 < q0, то, по предположеграфGостанетсясвязным.ПриэтомполучитсяпланарнаяреализацияграфаGс 2,p1вершинамииq–1рёбрамииr–1гранями.Таккакq–1<q,то,попредположе00 есть p –0 (q0 – 1) + (r – 1)1 =нию индукции,для G1 справедлива формула Эйлера, товершинамииq–1рёбрамииr–1гранями.Таккакq–1<q,то,попредположениюоткудаиндукции,формулаЭйлера, то0 есть p 0– (q0 – 1) + (r – 1) = 2,p – q0 для+0 r =G2.1 справедливаЧто и требовалосьдоказать.нию индукции,дляGсправедливаформулаЭйлера,то есть p – (q1) = 2,10 – 1) + (r –связныхоткудаp – q1.+r=2.Чтоитребовалосьдоказать.СледствиеФормулаЭйлерасправедливаидлягеометрическойреализации0откудаp–q+r=2.Чтоитребовалосьдоказать.0графовна сфере.Следствие1.
Формула Эйлера справедлива и для геометрической реализации связныхЭйлерасправедливадля геометрическойреализацииПустьсвязныйграф G с pивершинамии q рёбрамиреализовансвязныхна сфеграфовСледствиенаДоказательство.сфере. 1. Формулаграфовнасфере.реSтак,чточислогранейравноr.ПустьточкаAнасференележитналинияхэтойгеометДоказательство. Пусть связный граф G с p вершинами и q рёбрами реализован на сфеДоказательство.ПустьсвязныйграфточкаG плоскость.с pAвершинамиq рёбрамиреализованреализации.ПустьP—некотораяПоставимсферуна плоскостьPсфетак,ре S рическойтак,что числогранейравноr. Пустьна сференеи лежитна SлинияхэтойнагеометреSтак,чточислогранейравноr.ПустьточкаAнасференележитналинияхэтойгеометчтобыреализации.точка A былаПустьсамойPудалённойот плоскости.S наSPнацентральнымрической— некотораяплоскость.СпроектируемПоставим сферуплоскость Pпротак,рическойреализации.ПустьP—некотораяплоскость.ПоставимсферуSнаплоскостьPтак,ектированиемсцентромвточкеA.ТогданаплоскостиPмыполучимгеометрическуюреачтобы точка A была самой удалённой от плоскости.
Спроектируем S на P центральным прочтобыточкасвязногоA была самойот плоскости.СпроектируемS на гранейP центральнымпро-rлизациюграфа удалённойс p вершинамии q рёбрами,причём числобудет равноразные грани. Удалим ребро e из G. Тогда две грани сольются в одну, а полученныйграф G1 останется связным. При этом получится планарная реализация графа G1 с pвершинами и q0 – 1 рёбрами и r – 1 гранями. Так как q0 – 1 < q0, то, по предположению индукции, для G1 справедлива формула Эйлера, то есть p – (q0 – 1) + (r – 1) = 2,откуда p – q0 + r = 2. Что и требовалось доказать.Следствие 1. Формула Эйлера справедлива и для геометрической реализации связныхграфов на сфере.Доказательство.
Пусть связный граф G с p вершинами и q рёбрами реализован на сфере S так, что число граней равно r. Пусть точка A на сфере не лежит на линиях этой геометрической реализации. Пусть P — некоторая плоскость. Поставим сферу S на плоскость P так,чтобы точка A была самой удалённой от плоскости. Спроектируем S на P центральным проектированием с центром в точке A.
Тогда на плоскости P мы получим геометрическую реализацию связного графа с p вершинами и q рёбрами, причём число граней будет равно r(грань на сфере, содержащая A, отображается на внешнюю грань на плоскости). По теоремеполучаем p – q + r = 2. Следствие доказано.Следствие 2. Для любого выпуклого многогранника справедливо равенство p – q + r = 2,где p Следствие— число вершин,q — числорёбер, rмногогранника— число граней.2. Для любоговыпуклогосправедливо равенство p – q + r = 2,Доказательство.ПустьвыпуклыймногогранникMp вершин, q рёбер и r граней.19где p Следствие— число вершин,— числорёбер, r —число граней.имеет2.
Для qлюбоговыпуклогомногогранникасправедливо равенство p – q + r = 2,ПустьДоказательство.O — внутренняяПустьточкавыпуклыймногогранника.РазместимсферуS с центромв точкеO наM имеет p вершин,q рёбери r граней.где p — число вершин, q — число рёбер,многогранникr — число граней.столькобольшогорадиуса,чтобыMцеликомсодержалсявS.РассмотримцентральноеПустьДоказательство.O — внутренняяПустьточкавыпуклыймногогранника.Разместимсферуp Sвершин,с центромв точкеO пронамногогранникM имеетq рёбери r граней.ектированиесцентромвточкеO,испроектируемвершиныирёбраMнаS.ТогданаSмыстолькорадиуса,чтобыM целиком содержалсяS. РассмотримцентральноеПусть Oбольшого— внутренняяточкамногогранника.РазместимвсферуS с центромв точке Oпронаполучимгеометрическуюреализациюнекоторогосвязногографасpвершинами,qрёбрамиектированиес центромв точкеO, Mи спроектируемвершинырёбра M на S.Тогда на S промыстолько большогорадиуса,чтобыцеликом содержалсяв S.и Рассмотримцентральноеиполучимrгранями.Отсюдасогласноследствию1p–q+r=2.Следствие2доказано.геометрическуюреализациюнекоторогосвязногографасpвершинами,qрёбрамиектирование с центром в точке O, и спроектируем вершины и рёбра M на S.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
