Спец часть (часть 1) (3 поток) (2015) (by Кибитова) (1161601), страница 12
Текст из файла (страница 12)
на запрос � проверка логического следствия |= '.Если�конечноемножество,топроверкалогическогоЕсли � конечное множество, то проверка логическогоследствияформулыЕсли � сводитсяконечноето проверка логическогоследствиясводитсякмножество,кпроверкепроверкеобщезначимостиобщезначимостиформулыОБЩАЯСХЕМАМЕТОДАРЕЗОЛЮЦИЙ&...&!'.следствиясводитсякпроверкеобщезначимостиформулы1n&...&!'.ОБЩАЯСХЕМАМЕТОДАРЕЗОЛЮЦИЙ1 МЕТОДАnОБЩАЯСХЕМАРЕЗОЛЮЦИЙ &...&!'.1nОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА РЕЗОЛЮЦИЙ Задача проверки общезначимости формул логики предикатов.Задачапроверкиобщезначимостиформуллогикипредикатов.Задачапроверкиобщезначимостиформуллогикипредикатов.|= ' ? формул логики предикатов.Задача проверки общезначимости|= '|=? ' ? Этап 1.
Сведение проблемы общезначимостик проблеме|= ' ?ЭтапЭтап1. Сведениепроблемыобщезначимостик проблеме1.Сведениепроблемыобщезначимостикпроблемепротиворечивости.противоречивости.противоречивости.Этап 1. Сведение проблемык проблеме''общезначимости0 = ¬'0 = ¬'противоречивости. ' ' '0 ='¬'' общезначима () '0 противоречива.'0 = ¬'' общезначима()()'0 противоречива.' общезначима'' 0 противоречива.Этап' 2.Построение предвареннойнормальной формы (ПНФ).общезначима()'противоречива.0ЭтапЭтап2. Построениепредвареннойнормальнойформы(ПНФ).2. Построениепредвареннойнормальнойформы(ПНФ).Этап'02.
Построение' = Q xпредваренной(D1 &D2 & . .формы. &DN ) (ПНФ).1 Q2 x2 . . . Qn xnнормальной'0 '0 '1 1='1Q=1 x11QQ& . .2.&&D) N)(D12&D. . .N&D12xx12Q. 2. x. 2Q.n.x.nQ(Dn xn1 &D'0''1 ,=т. QQ2'x02 . ,. . QIn x|=' равносильнае.1 xI 1|=' 1. &D2 & . . . &DN )n (D'0 0равносильна'1 ,1 т.|= I'1|=.1 '1 .'0 равносильна'1е., т.I |=е. I'|='0 I,0 , '0 равносильна '1 , т. е. I |= '0 , I |= '1 .ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА РЕЗОЛЮЦИЙОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА РЕЗОЛЮЦИЙЭтап 3. Построение сколемовской стандартной формы (ССФ).Этап 3. Построение сколемовской стандартной формы (ССФ).'1'2 = 8xi1 8xi2 .
. . 8xik (D1 &D2 & . . . &DN )'1'2 = 8xi1 8xi2 . . . 8xik (D1 &D2 & . . . &DN )'1 противоречива () '2 противоречива.'1 противоречива () '2 противоречива. Этап 4. Построение системы дизъюнктов.Этап 4. Построение системы дизъюнктов.'2S' = {D1 , D2 , . . . , DN },'2S' = {D1 , D2 , . . . , DN },ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА РЕЗОЛЮЦИЙгде Di =СХЕМАLi1 _ Li2 _ · ·МЕТОДА·МЕТОДА_ Limi .ОБЩАЯРЕЗОЛЮЦИЙОБЩАЯРЕЗОЛЮЦИЙгде Di = LСХЕМАi1 _ Li2 _ · · · _ Limi .'2 противоречива () система дизъюнктов S' противоречива.
5. Резолютивный вывод тождественно ложного'Этап2 противоречива () система дизъюнктов S' противоречива.Этап5.5.РезолютивныйвыводложногоЭтапРезолютивныйвыводтождественнотождественноложного(противоречивого)дизъюнкта⇤ из системыS' .(противоречивого)системыS(противоречивого)дизъюнктадизъюнкта ⇤⇤ изизсистемыS''. .D1 = D10 _ L, D2 = D20 _ ¬LПравило резолюции Res : DD ==DD0 0__L,L,DD0 ==DD00 0__¬L¬L .1D1 0 = D212 _ D222Правило..ПравилорезолюциирезолюцииResRes: : 110000DD00==DD11__DD22Дизъюнкт D0 называется резольвентой дизъюнктов D1 и D2 .ДизъюнктДизъюнктDD00называетсяназываетсярезольвентойрезольвентойдизъюнктовдизъюнктовDD11ииDD22.
.⇤.Резольвенты строят, пока не будет получен пустой дизъюнктпустойдизъюнкт⇤.Резольвентыстроят,покабудетполученпустойдизъюнкт⇤.Резольвентыстроят,покаDненебудетполученЭто возможнов случае=L,D=¬L:12 ЭтоЭтовозможновозможноввслучаеслучаеDD11==L,L,DD22==¬L:¬L:D1 = L, D2 = ¬LDD11==L,¬LDL,0DD=22=⇤=¬LDD00==⇤⇤Система дизъюнктов S' противоречива , из S' резолютивноСистемаSS''противоречива,Системадизъюнктовдизъюнктовпротиворечива,изизSS''резолютивнорезолютивновыводимпустой дизъюнкт⇤.выводимвыводимпустойпустойдизъюнктдизъюнкт⇤.⇤.
ИТОГ. Формула ' общезначима , из системы дизъюнктов S'ОБЩАЯСХЕМАМЕТОДАРЕЗОЛЮЦИЙИТОГ.Формула''общезначима,дизъюнктовИТОГ.Формулаобщезначима,изизсистемысистемыдизъюнктовSS''резолютивновыводимпустой дизъюнкт⇤. резолютивнорезолютивновыводимвыводимпустойпустойдизъюнктдизъюнкт⇤.⇤.Исходнаяформула'-Отрицание¬'?ССФ'2?ПНФ'1СистемадизъюнктовРАВНОСИЛЬНЫЕS'Резолютивный вывод- пустого дизъюнкта ⇤ФОРМУЛЫиз системы S' Введем вспомогательную логическую связку эквиваленции ⌘.Выражение ' ⌘ � это сокращенная запись формулы(' ! )&( ! '). ОпределениеФормулы ' иформула ' ⌘будем называть равносильными , еслиобщезначима, т.
е. |= (' ! )&( ! ').Запись '[ ] означает, что формула ' содержит подформулуЗапись '[ / ] обозначает формулу, которая образуется изформулы ' заменой некоторых (не обязательно всех).ВыражениеВыражение''⌘⌘ ��этоэтосокращеннаясокращеннаязаписьзаписьформулыформулы('!)&(!').(' ! )&( ! ').ОпределениеОпределениеФормулыФормулы''ии будембудемназыватьназыватьравносильнымиравносильными, ,еслиеслиформулаформула''⌘⌘ общезначима,общезначима,т.т.е.е.|=|=('('!! )&()&( !!').').ЗаписьЗапись'['[ ] ]означает,означает,чточтоформулаформула''содержитсодержитподформулуподформулу . .ЗаписьЗапись'['[ // ] ]обозначаетобозначаетформулу,формулу,котораякотораяобразуетсяобразуетсяизизформулыформулы''заменойзаменойнекоторыхнекоторых(не(необязательнообязательновсех)всех)вхожденийвхожденийподформулыподформулы нанаформулуформулу .
.ТеоремаТеорема |=|= ⌘⌘ НОРМАЛЬНЫЕ=)=) |=|= '['[ ] ]⌘⌘'['[ // ] ФОРМЫ] ФОРМЫПРЕДВАРЕННЫЕНОРМАЛЬНЫЕПРЕДВАРЕННЫЕ Замкнутаяформула' называетсяпредвареннойнормальнойЗамкнутаяформула' называетсяпредвареннойнормальнойформой(ПНФ),еслиформой (ПНФ) , еслиx112Q. .nQ, x , . . . , x ),nn M(x' '= =Q1Qx111Qx222x. 22.
.. QxnnnxM(x1 , x112 , .22. . , xn ),nnгдегде QxQx...Qx�кванторнаяприставка,соcтоящаяII I1122nnQ1 x11 Q1 2 x22 .2. . Qn xnn �n кванторная приставка , соcтоящаякванторов. ,nQ11,2Qиз изкванторовQ1Q,Q, .22., .. ,. Q, nn,M(x, x , . . . , x ) � матрица � бескванторнаяII IM(x1 , x112 , .22.
. , xn ) nn� матрица � бескванторнаяконъюнктивнаянормальнаяформа(КНФ),т. е.конъюнктивнаянормальнаяформа(КНФ),т. е.M(x,x,...,x)=D&D&...&D1 D2 &2 . . . & DN , N ,M(x1 , x12 , .2. . , xn ) n= D1 &_i2L_· · L_ikLik�ii �дизъюнкты, состоящиеi1 Li2 ·_· ·· _гдегдеDi D=i =Li1L_дизъюнкты, состоящиеизизiлитерL=AилиL=¬A,гдеA�атомарнаяijijijijijлитер Lij = Aij или Lij = ¬Aij , где Aij � атомарнаяформула.формула. ТеоремаПНФТеоремаооПНФСКОЛЕМОВСКИЕСТАНДАРТНЫЕФОРМЫДлялюбойзамкнутойформулысуществуетДлялюбойзамкнутойформулы''существуетравносильнаяпредвареннаянормальнаяформа . . равносильнаяпредвареннаянормальнаяформаПредваренная нормальная форма вида' = 8xi1 8xi2 .
. . 8xim M(xi1 , xi2 , . . . , xim ),в которой кванторная приставка не содержит кванторов 9,называется сколемовской стандартной формой (ССФ) .Теорема о ССФДля любой замкнутой формулы ' существует такаясколемовская стандартная форма , чтоСИСТЕМЫ ДИЗЪЮНКТОВ' выполнимаУтверждение|= 8x (' &()выполнима. ) ⌘ 8x ' & 8xИначе говоря, кванторы 8 можно равномерно распределить посомножителям (дизъюнктам) КНФ.ТеоремаСколемовская стандартная форма' = 8x1 8x2 .
. . 8xm (D1 & D2 & . . . & DN )невыполнима тогда и только тогда, когда множество формулS' = {8x1 8x2 . . . 8xm D1 , 8x1 8x2 . . . 8xm D2 , . . . , 8x1 8x2 . . . 8xm DN } |= 8x (' &) ⌘ 8x ' & 8xИначе говоря, кванторы 8 можно равномерно распределить посомножителям (дизъюнктам) КНФ.ТеоремаСколемовская стандартная форма' = 8x1 8x2 .
. . 8xm (D1 & D2 & . . . & DN )невыполнима тогда и только тогда, когда множество формулS' = {8x1 8x2 .ДИЗЪЮНКТОВ. . 8xm D1 , 8x1 8x2 . . . 8xm D2 , . . . , 8x1 8x2 . . . 8xm DN }СИСТЕМЫне имеет модели. Каждая формула множества S' имеет вид8x1 8x2 . . . 8xm (L1 _ L2 _ · · · _ Lk )и называется дизъюнктом .В дальнейшем (по умолчанию) будем полагать, что всепеременные дизъюнкта связаны кванторами 8, и кванторнуюприставку выписывать не будем.Каждый дизъюнкт состоит из литер L1 , L2 , .
. . , Lk . Литера �это либо атом, либо отрицание атома.Особо выделен дизъюнкт, в котором нет ни одной литеры.СИСТЕМЫДИЗЪЮНКТОВТакой дизъюнкт называется пустым дизъюнктом иСИСТЕМЫДИЗЪЮНКТОВобозначается ⇤.Пустой дизъюнкт ⇤ тождественно ложен.Систему дизъюнктов, не имеющую моделей, будем называть невыполнимой , или противоречивой системой дизъюнктов.Систему дизъюнктов, не имеющую моделей, будем называтьневыполнимой, илипротиворечивойсистемойдизъюнктов.Задачапроверкиобщезначимостиформуллогикипредикатов.Задача проверки общезначимости|= ' ?формул логики предикатов.|= ' ?' общезначима () '0 = ¬' невыполнима. '0общезначиманевыполнима ()() 'ПНФ'1 невыполнима.невыполнима.0 = ¬'РЕЗОЛЮТИВНЫЙ ВЫВОДРЕЗОЛЮТИВНЫЙРЕЗОЛЮТИВНЫЙ ВЫВОДВЫВОДПНФневыполнима.'10 невыполнима () ССФ''21 невыполнима.О терминологии.РЕЗОЛЮТИВНЫЙВЫВОДССФ '2 дизъюнктовневыполнима.'О() системаS' невыполнима.1 невыполниматерминологии.Пусть задановыражение E и подстановка ✓.ОО2 терминологии.терминологии.
'Пусть() системадизъюнктовПодстановка✓ : Var ! Var называется переименованием ,2 невыполнимазадановыражениевыражениеподстановка✓. S' невыполнима.ПустьзаданоEEE иииподстановка✓.Итак,общезначимости|= ' ? сводитсяк проверкеПусть проверказадановыражениеподстановка✓.если ✓ � биекция.противоречивостисистемыдизъюнктовS'переименованием.переименованиемПодстановкаVar! VarVarназываетсяПодстановка✓✓✓ :общезначимости!называетсяПодстановка:: VarVar!VarназываетсяпереименованиемИтак,проверка|= Если' ? сводитсяк проверке ,,, то пример E ✓ называется вариантом✓ � переименование,если✓�биекция.если если ✓✓ �� биекция.биекция. системы дизъюнктовпротиворечивостиS' .выраженияE.Если✓�переименование,топримерE✓называетсявариантомЕслиEE✓✓ называетсявариантомЕсли ✓✓ �� переименование,переименование, тото примерпримерназываетсявариантомунификатором выражений E1 и E2 ,Подстановка✓ называетсявыраженияE.выраженияE.выражения E .если E1 ✓ = E2 ✓.унификаторомвыраженийвыраженийEEE111 иииEEE222,,,Подстановка✓✓✓называетсяназываетсяунификаторомПодстановкаунификаторомвыраженийПодстановканазываетсяПодстановка✓ называется наиболее общим унификаторомеслиE✓=E✓.еслиесли EE111✓✓ == EE222✓.✓.(НОУ) выражений E1 и E2 , если Подстановка✓✓✓называетсяназываетсянаиболеенаиболееобщимобщимунификаторомунификаторомПодстановкаПодстановканазываетсянаиболееобщимунификатором1.
✓ � унификатор выражений E1 и E2 ;(НОУ)выраженийвыраженийEEE111 иииEEE222,,,еслиесли(НОУ)(НОУ)выраженийесли2. для любого унификатора ⌘ выражений E1 и E2 существует1. ✓✓✓��унификаторунификаторвыраженийвыраженийEEE111 иииEEE222;;;1.1.�унификаторвыраженийтакая подстановка ⇢, для которой верно равенство2. длядлялюбоголюбогоунификатораунификатора⌘⌘⌘ выраженийвыраженийEEE111 иииEEE222 существуетсуществует2.2.длялюбогоунификаторавыраженийсуществуеттакаяподстановкаподстановка⇢,⇢,длядлякоторойкоторойверноверноравенстворавенствотакая ⌘ = ✓⇢ такаяподстановка⇢,длякоторойверноравенство=✓⇢✓⇢⌘⌘⌘==✓⇢РЕЗОЛЮТИВНЫЙ ВЫВОДРЕЗОЛЮТИВНЫЙ ВЫВОДПравило резолюции.Правило резолюции.0Пусть D1 = D10 _ L1 и D2 = D2 _ ¬L2 � два дизъюнкта.Пусть D1 = D10 _ L1 и D2 = D20 _ ¬L2 � два дизъюнкта.Пусть ✓ 2 НОУ(L1 , L2 ).Пусть ✓ 2 НОУ(L1 , L2 ).Тогда дизъюнкт D0 = (D10 _ D20 )✓ называетсярезольвентойдизъюнктD0 = (D10 _ D20 )✓ называется резольвентойдизъюнктов DТогдаиD.12дизъюнктов D1 и D2 .Пара литер L1 и ¬L2 называется контрарной парой .Пара литер L1 и ¬L2 называется контрарной парой .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
