Спец часть (часть 1) (3 поток) (2015) (by Кибитова) (1161601), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Иными словами, в полиноме линейной функции нет⊕a1x1 алгебры⊕… ⊕логикиn) называется линейной, еслиОпределение.алгебрылогики1, …, xn) называется линейной, еслислагаемых,f (x1, …, xn)содержащих= a0Функцияanxnf(x, гдеai ∈ {0, 1}. Иными словами, в полиноме линейной функции нет⊕a1x1конъюнкцию.⊕… ⊕fслагаемых,(x1, …, xn) =содержащихa0 ⊕a1x1 конъюнкцию.⊕… ⊕anxn, где ai∈ {0, 1}. Иными словами, в полиноме линейной функции нетслагаемых,Класссодержащихконъюнкцию.Теорема.L замкнут.Теорема. Класс LПосколькузамкнут. тождественная функция — линейная, достаточно рассмотреть только случайДоказательство.Теорема.КлассLзамкнут.Доказательство.Посколькутождественнаяфункция—L линейная,достаточнодоказать,рассмотретьтолькослучайподстановкив формулыфункций:пусть f (x1,функция…, xn) —и gi L.
Достаточночтотолькоf (g1, …,случайgn) L.Доказательство.Посколькутождественнаялинейная,достаточнорассмотретьподстановки в формулы функций: пусть f (x1, …, xn) ∈ L и gi ∈ L. Достаточно доказать, что f (g1, …, gn) ∈ L.Действительно,если не учитыватьслагаемыхс коэффициентамилинейнуюi = 0, то всякуюподстановкив формулыфункций: пустьf (x1, …,xn) L и gi L.aaДостаточнодоказать,что f функцию(g1, …, gn) L.Действительно,если не учитыватьслагаемыхс коэффициентамиi = 0, то всякую линейную функциюможнопредставитьвидеxxi1 ⊕xxслагаемыхa0.
Если теперь вместолинейноеi2 ⊕xik ⊕ij подставитьДействительно,есливвнеучитыватьс коэффициентамиai = 0, токаждоговсякуюxлинейнуюфункциюможно представитьвидеi1 ⊕ i2 ⊕xik ⊕a0. Если теперь вместо каждого xij подставить линейноевыражение,можнопредставить в виде xi1 ⊕xi2 ⊕xik ⊕a0. Если теперь вместо каждого xij подставить линейноевыражение,товыражение,тополучитсяполучитсясновасновалинейноелинейноевыражениевыражение (или(или константаконстанта единицаединица илиили нуль).нуль).то получится снова линейное выражение (или константа единица или нуль).
Определение.Функцией,Функцией,двойственнойдвойственной кк функциифункции алгебры логики f (x1, …, xn), называется функция f***(x11,Определение.Определение.Функцией,,...,xxnn)) двойственной к функции алгебры логики f (x1, …, xn), называется функция f (x1,…,xn)n)== ff((xx11,...,…,x…,xn) = f ( x1 ,..., x n )Теорема(принципдвойственности).двойственности).
ПустьПусть Ф(yФ(y11,…,y,…,ymm)) == f(gf(g11(y(y1111,…,y,…,y1k1),…,(yn1n1,…,yТогдаФФ***(y(y11,…,y1k1),…,(ynkn)).m)) ==Теорема(принцип,…,y)).Тогда,…,ynkn***Теорема(принцип двойственности). Пусть Ф(y1,…,ym) = f(g1(y11,…,y1k1),…,(yn1,…,ynkn)). Тогда Ф (y1,…,ymm) =*f (g*1 (y11,…,y1k1),…,gn* (yn1,…,ynkn)).ff*(g(g11*(y(y1111,…,yn *(yn1,…,ynkn)).,…,y1k11k1),…,g),…,gn (yn1,…,ynkn)).*Доказательство.РассмотримФ* (y1,…,ym) = f ( g1 ( y11 ,..., y1k1 ) ,…, g n ( y n1 ,..., y nkn )) =,..., yy11kk11 )) ,…,,..., yynkn)) ==Доказательство.,…, ggnn ((*yynn11,...,Доказательство. РассмотримРассмотрим ФФ*(y(y11,…,y,…,ymm)) == ff (( gg11 ((*yy1111 ,...,nkn))f ( g11 ,..., y1k1 ) ,…, g n ( y n1 ,..., y nkn ) = f ( g 1 ( y11 ,..., y1k1 ) ,…, g n* ( y n1 ,..., y nkn ) = f*(g1*(y11,**,...,*yy11kk11)) ,…, g nn ( y nn11,..., y nkn ) = f ( g1 ( y11 ,..., y1k1 ) ,…, g nn ( y nn11,...,yynkn)) ==ff**(g(g11**(y(y1111,,ff ((gg1111,...,,...,nkn…,y1k1),…,gn* (yn1,…,ynkn)).…,y),…,gnn*(y(yn1n1,…,y,…,yфункция)).
Ф(y1, …, ym) реализуется формулой над A = {f1, f2, …}. Тогда1k1),…,gnkn)).…,yСледствие.Пусть1k1nknСледствие.Пусть функцияфункцияФ(yреализуетсянад{f1,Тогда1, …, ym)) реализуетсяесли в этой Пустьформулевсюду Ф(yзаменитьfi наформулойfi**, то получитсяреализующаяСледствие.формулойнад AA ==формула,{f1, f2,f2, …}.…}.Тогда Ф** (y1, …, ym).1, …, yвхожденияmеслиэтой формулеформулевсюдуфункциизаменитьалгебрывхожденияfi нана fi*,,1,тополучитсяформула,реализующаяФФ*(y(y1,,…,ym).Утверждение.Для любойлогикиxn) справедливоравенствоесливвэтойвсюдузаменитьвхожденияfполучитсяформула,реализующаяi f f(xi то…,1 …, ym).Утверждение.Длялюбойфункции алгебры логики f (x1, …, xn) справедливо равенствоf(x1, …, xn)=f**** (xДляxn). функции1, …,Утверждение.любойалгебры логики f (x1, …, xn) справедливо равенствоf(x1, …, xn)=f** (x1, …, xn).f(x1, …, xn)=f (x1, …, xn).Определение. Функция алгебры логики f (x1, …, xn) называется самодвойственной, еслиОпределение.
Функция алгебры логики f (x1, …, xn) называется самодвойственной, если ∈∈ ∈∈∈∈∈Определение.Функцияалгебрылогики fговоря,(x1, …, xSn) называетсяеслиf (x1, …, xn) =f* (x1, …,xn). Иначе= {f | f = f*самодвойственной,}.Теорема. Класс S замкнут.Доказательство. Пусть f (x1, …, xn)S, для любого i gi(yi1,…,yiki)S, i = 1, 2, …, n иФ = f(g1(y11,…,y1k1),…,gn(yn1,…,ynkn)). Тогда из принципа двойственности следует, чтоФ* = f*(g1*(y11,…,y1k1),…,gn*(yn1,…,ynk)). Таким образом, мы получили, что Ф = Ф* и Ф S.∈∈∈ Определение. Функция алгебры логики f(x1, …, xn) называется монотонной, если для любых двухсравнимых наборов α и β выполняется импликация α <= β ==> f(α) <= f(β) .Теорема. Класс M монотонных функций замкнут.Доказательство. Поскольку тождественная функция монотонна, достаточно проверитьДоказательство.Пусть f(y(x1,…,y, …, xn)).) ∈ТогдаS, длялюбогоi giдвойственности(yi1,…,yiki) ∈ S, iследует,= 1, 2, …,чтоn иФ =иf(gизФ(β),принципа1(y11,…,y1k1),…,gn f(δ)n1 <==>nkn Ф(αf(δ)неравенствоf(γ)<=)<=следовательно,ФM.ФФ=* =f(gf*1(g(y11*(y,…,y1k1),…,gn(yn1*,…,ynkn)).
Тогда из принципа двойственности следует,* что,…,y(yn1так:,…,yмыxполучили,что Ф если= Ф дляи Ф∈S. двух1 111k1),…,gn(x)nkПостроимфункциюφалгебрыφ)).(x)Таким(xобразом,⊕xn)σназывается⊕ монотонной,σn). Действительно,Определение.Функциялогикиf(x= f, …,любых1, …,** *Ф = f (g1 (y11,…,y1k1),…,gn*(yn1,…,ynk)).
Таким1 образом,мы получили, что Ф = Ф* и Ф ∈ S.∈()сравнимых наборов α и β выполняетсяασ<=), βϕ==>f(α)f <=f(β).ϕлогики()σσ(0)импликация=f(xf (σ1, 1…,, …,1=,!n1n если для любых двухОпределение.Функцияалгебрыx)называетсямонотонной,nЛемма (о Класснесамодвойственнойфункции).Из…,любойнесамодвойственнойфункцииалгебры логики f(x1,Теорема.M монотонныхфункцийзамкнут.Определение.Функцияалгебрылогикиf(x,x)называетсямонотонной,если для любых двух1nсравнимыхнаборовαиβвыполняетсяимпликацияα<=β==>f(α)<=f(β).и φ (0) = φ (1) ⇒Посколькуφ (x) = const.Заметим,что подстановкаудовлетворяетусловию теоремы, такДоказательство.функциямонотонна,сравнимыхнаборовα и β выполняетсяимпликацияα <=f(α)достаточно<=f(β) .
проверить…,xвсехтождественнаяпеременныхфункцииполучитьφ(x) ≡ const.x иβ x,==>можноn), подставляяТеорема.КлассMвместомонотонныхфункцийзамкнут.лишь случайсуперпозицииПустьf(x1, …, xn) ∈ M, для любого j gj(y1, …, ym) ∈ M и Ф(y1, …, ym) == 0 функций. xM,σПосколькуТеорема.Классмонотонныхфункцийзамкнут.Доказательство.тождественнаяфункция монотонна, достаточно проверитькак1(yx1, ⊕…,yσ m=), …,g. Леммадоказана. Посколькуf(x,..., x )n) ∈наборы(σ1 ,...,σα <=)Доказательство.ПустьfS.Тогдаf(x1для,…xαдостаточно∃j σgmj(y=проверитьf(gРассмотримпроизвольные(α1,…,α) β1(σ(βy1,…чтоДоказательство.функцияn(y1, …,ym)).тождественнаяn=) ==>1,…,σn):βm)f такие,лишь случай суперпозицииM,любого, =…,m) ∈ M и Ф(y1, …,nym) =x ,σ = 1 функций. Пусть1f(x1, …,nxмонотонна,β.f(gОбозначимgi(α) = γi, gi(β)функций.= δi. ТогдаПустьдля любогоγi <=.
Тогда полишьслучай суперпозицииf(x1, …,i имеемxn) ∈ M,дляδiлюбогоj gjопределению(y1, …, ym) ∈ γM= и(γФ(yym)δ=1,…,1, γ…,m) <=1(y1, …,ym), …,gn(y1, …,ym)). Рассмотрим произвольные наборы α = (α1,…,αm) β = (β1,… βm) такие, что α <=f (i…,yσ,...,σ) =функции,…σf(σдля1,…,σПостроимфункциюφ(x)так:= 1f(x,…Ф(β), …,x δ⊕⊕1(γ=β.(δ1Обозначимδm)mn)),и,<==>силуf,n).f(γ)<=f(δ).наборыНоФ(α)= (αf(γ1,…,α)β==f(γ),) =<=σn).f(g(yf(σ…,gпроизвольные)mφ(x)(ββmγ)=такие,что1,…,1,…,1,…,mα1,1…,yn(ym)).= Рассмотримgвi(α)=1,γмонотонности, g1i(β)δi.nТогдалюбогоi имеемγi <=δαi.
=Тогдапо mγопределению=σf(δ1,…, γm) <= δ§9.функции.β.f(δ)= γi,<=gi(β)δi. Тогдадляi имеем<= Ф(α)δiФ. Тогдаγ = =(γf(δγm)δ<=δ1,…,неравенствоf(γ)f(δ)= <==>Ф(α) <=любогоФ(β),следовательно,∈=M.f(γпо1,…,определению= Обозначим(δи1Лемма,…,δm) и,gоi(α)внемонотоннойсилумонотонностифункцииf, f(γ)<= f(δ).γiНоγm) = f(γ), Ф(β)1,…,m) =∉≠≠,...,следовательно,σnf(δ).) иНоφ(0)Ф(α)= f<=(σ1f(δ),…,σ<==>= ) f<=(σФ(β),= Фφ(1)==>φ(x) = const.
Заметим, чтоn), φ(1)=Действительно,(δ1,…,δm) и, в φ(0)силуфункцииf,1 f(γ)<==∈f(γM.1,…, γm) = f(γ), Ф(β) = f(δ1,…, δm) =f(δ)и неравенствоf(γ)монотонностиФ(αf(δ)и неравенствоf(γ) <= f(δ) <==>Ф(α) <=ИзФ(β),следовательно,Ф ∈ M. функцииЛемма(о немонотоннойфункции).Излюбой немонотоннойфункцииЛемма(о несамодвойственнойфункции).любойалгебрыалгебрылогики f(xлогики1, подстановкаудовлетворяетусловиютеоремы,таккакнесамодвойственнойЛемма(онесамодвойственнойфункции).Излюбойнесамодвойственнойфункцииалгебрылогикиf(x,1f (x1n),, …,xn), подставляявсехфункциипеременныхx, 0, 1,φ(x)можно…,xподставляявместо всехвместопеременныхможно получить≡ const.получить функциюx и x, функцииЛемма(о несамодвойственнойфункции).
Излюбой xнесамодвойственнойфункцииалгебры логики f(x1,x,σ=0…,xn), подставляявместо всех переменныхфункциии x, можно получитьφ(x) ≡ const.ϕf(x,...,x)x≡x.∉Доказательство.ПустьfS.Тогдаf(x,…x)==>∃σ=(σ,…,σ≠1n1n): f (σ1 ,..., σn )1nxДоказательство.⊕n),σподставляя= вместо…,xможнополучитьφ(x)≡,…,σconst.x) и≠x, f(x,...,x∉ S.переменныхПусть fвсехТогда f ( xфункции,…x)==>∃σ=(σ1n1n): f~ (σ1 ,..., σn )1nx,σ=1f(σ,...,σ)f(σ,…σ)<==>=f(σ,…,σ).Построимфункциюφ(x)так:φ(x)=f(x, …,α1x,!⊕Доказательство.Пустьf∉M.Тогдасуществуюттакиенаборы≠≠ f(σ11,…σnn) <==>Пустьn1=f 1( x1 ,...,x n ) ≠ f(x1,…xn) ==> ∃ σ = (σ1,…,σn):⊕fασ(σσ,αn )σn n).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
