Численные методы. Ионкин (2012) (v1.1) (косяки есть) (1160435), страница 14
Текст из файла (страница 14)
âòîðîé âàðèàíò óñëîâèÿ.Òàêèì îáðàçîì, ñïóñòÿ íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ðåøåíèå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâîé êîìïîíåíòîé, íî ïðè ýòîì øàã ñ÷åòà ëèìèòèðóåòñÿ âòîðîéêîìïîíåíòîé.Ìû ìîãëè áû èäòè ñ áîëüøèì øàãîì, íî äëÿ óñòîé÷èâîñòè íàì ïðèõîäèòñÿ èäòè ñ î÷åíü ìàëûì øàãîì.Ïîýòîìó ÿâíûå ñõåìû îêàçûâàþòñÿ íåïðèãîäíûìè â äàííîì ñëó÷àå.
Âûõîä- â ïðèìåíåíèè íåÿâíûõ ñõåì.•Íåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà. yn+1 −yn11+ a1 y1n+1 = 0, τ y2n+1 −y2nτ(5.34)+ a2 y2n+1 = 0,Ñõåìû ýòè àáñîëþòíî óñòîé÷èâû, øàã ðåãëàìåíòèðîâàí òîëüêî óñëîâèÿìè òî÷íîñòè, íî íèêàê íå óñòîé÷èâîñòè.Íåñìîòðÿ íà èñêóññòâåííîñòü äàííîãî ïðèìåðà, â æåñòêèõ ñèñòåìàõ òàêàÿ æåêàðòèíà.  ñèñòåìå èç n óðàâíåíèé åñòü áûñòðîóáûâàþùèå êîìïîíåíòû è ìåäëåííî óáûâàþùèå.
Ýòî áóäåò ñâÿçàíî ñî ñïåêòðîì ìàòðèöû ñèñòåìû, äåéñòâèòåëüíûå÷àñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé êîòîðîé áóäóò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ.Íà÷íåì ñ ëèíåéíûõ ñèñòåì:du+ Au(t) = 0,dtt>0(5.35)A(m×m) ñ ïîñòîÿííûìè ÷èñëàìè (íå çàâèñèò îò âðåìåíè), u(0) = u0 . (ñèñòåìà5)Îïðåäåëåíèå:Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (5) íàçûâàåòñÿ æåñòêîé, åñëè:1)Re λAk > 0, k = 1, m2)s=max1≤k≤m |Re λAk|>> 1min1≤k≤m |Re λA|k128(s ÷èñëî æåñòêîñòè).Ïðèìå÷àíèå:Åñëè ðàçëè÷èå â óñëîâèè 2 - íà 2-3 ïîðÿäêà, òî óæå ñèñòåìó íàçûâàþò æåñòêîé.Ïåðâîå óñëîâèå îçíà÷àåò óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó.
À âòîðîå ÷èëî æåñòêîñòè äîëæíî áûòü áîëüøèì. Ýòî êàê ðàç ãîâîðèò î ðàçáðîñå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé(èõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé).Ðàññìîòðèì òåïåðü íåëèíåéíóþ çàäà÷ó Êîøè.du= f (t, u(t)), t > 0dt(5.36)u(0) = u0u(t) = (u1 (t), u2 (t), . . . , um (t))T.f (t, u(t)) = (f1 (t, u(t)), f2 (t, u(t)), . . . , fm (t, u(t)))T(ñèñòåìà 6)Áîëüøèíñòâî ìåòîäîâ, êîòîðûå ìû èñïîëüçîâàëè ïðè ðåøåíèè îäíîãî óðàâíåíèÿ, ñþäà ëåãêî ïåðåíîñÿòñÿ. Íî âîçíèêàþò îñîáåííîñòè, ñâÿçàííûå ñ òåì,÷òî êîìïîíåíòûâåêòîðàuìîãóò âåñòè ñåáÿ ïî-ðàçíîìó (áûñòðî è ìåäëåííîóáûâàòü), ÷òî óñëîæíÿåò ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå.Ââåäåì ïîíÿòèå æåñòêîñòè.
Ïðè îïðåäåëåíèè èñõîäÿò èç ëèíåàðèçîâàííîéñèñòåìû.Ïðîâåäåì ïðîöåññ ëèíåàðèçàöèè â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîãî èçâåñòíîãî ðåøåíèÿ.Ïóñòüv(t) íåêîòîðîå èçâåñòíîå ðåøåíèå çàäà÷è. Ðàññìîòðèì âåêòîðz(t) = u(t) − v(t)Ïðàâóþ ÷àñòü (â ïðåäïîëîæåíèè íóæíîé ãëàäêîñòè) ðàñêëàäûâàåì ïî ôîðìóëå Òåéëîðà:dzk= fk (t, v(t) + z(t)) − fk (t, v(t)), k = 1, mdt129dzk∂fk∂fk= fk (t, v(t)) +(t, v(t))z1 (t) + . .
. +(t, v(t))zm (t) + o(|z|) − fk (t, v(t))dt∂u1∂umÒàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì:∂z= J(t, v(t))z∂t(5.37)(ñèñòåìà 7)J(t, v(t))z = aij =∂fi (t, v(t)), i, j = 1, n.∂ujÑèñòåìà (7) íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ.Ââåäåì ïîíÿòèå æåñòêîñòè:max ReλJks=min ReλJkÎïðåäåëåíèå:Ñèñòåìà (6) íàçûâàåòñÿ æåñòêîé íà ðåøåíèèv(t) è ìîìåíòå âðåìåíè 0 ≤ t ≤ T ,åñëè âûïîëíåíû 2 óñëîâèÿ:1.ReλJk < 02.s(t) >> 1 6. Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì èíòåãðèðîâàíèÿ æåñòêèõ ñèñòåì ÄÓÊîíå÷íî, èññëåäóÿ óñòîé÷èâîñòü æåñòêèõ ñèñòåì, ìû ìîæåì èñõîäèòü èçíàøåãî ñòàðîãî îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè. Íî ïðè èíòåãðèðîâàíèè æåñòêèõñèñòåì ââîäÿò áîëåå óçêèå îïðåäåëåíèÿ.Ïîñòàâèì èñõîäíóþ çàäà÷ó:du= f (t, u(t)),dtt > 0, u(0) = u0130(5.38)Ëèíåàðèçóÿ, ïîëó÷àåìdu= Λu(t),dtt>0(5.39)u(0) = u0Λ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèå ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿJ:Λ = ΛJÏðîâåäåì àïïðîêñèìàöèþ áóäåò âîçíèêàòü êîìïëåêñíûé ïàðàìåòð:τ λ = µ, µ = µ0 + iµ1Îïðåäåëåíèå:Îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîãî ìåòîäà äëÿ çàäà÷è 5.38 íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê êîìïëåêñíîé ïëîñíîñòèµ = τ λ, äëÿ êîòîðûõ äàííûé ìåòîä, ïðèìå-íåííûé ê óðàâíåíèþ 5.39, óñòîé÷èâ.ßâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà:yn+1 − yn= f (tn , yn )τyn+1 − yn= λynτ(ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å 1 è 2 ñîîòâåòñòâåííî).yn+1 = yn + τ λy0 = (1 + µ)yn|1 + µ| ≤ 1|1 + µ0 + iµ1 | ≤ 1(1 + µ0 )2 + µ21 ≤ 1Îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè âíóòðåííîñòü êðóãà ñ öåíòðîìÍåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà:yn+1 − yn= f (tn+1 , yn+1 )τyn+1 − yn− λyn+1 = 0τ(ïðèìåíèòåëüíî ê äâóì çàäà÷àì ñîîòâåòñòâåííî)yn+1 = yn + τ λyn+1131(−1, 0).Ðèñ.
5.2:(1 − µ)yn+1 = ynyn+1 =1yn1−µÄëÿ îáåñïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè òðåáóåì:|1|≤11 − τλ|1 − µ| ≥ 1(1 − µ0 )2 + µ21 ≥ 1Ðèñ. 5.3:132Îïðåäåëåíèå:Ðàçíîñòíûé ìåòîä A-óñòîé÷èâûé, åñëè îáëàñòü åãî óñòîé÷èâîñòè ñîäåðæèò âñþëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè (ò.å.Re(µ) < 0).(ðèñ. 5.4)Ðèñ. 5.4:Òàêèì îáðàçîì, ÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà íå ÿâëÿåòñÿ -óñòîé÷èâîé, à íåÿâíàÿ A-óñòîé÷èâà.Çàìå÷àíèå:Åñëè ðàçíîñòíûé ìåòîäò.å.
Óñòîé÷èâ ïðè ëþáûõòî îí àáñîëþòíî óñòîé÷èâ,τ > 0.Îêàçûâàåòñÿ, ýòèì óñëîâèåìÄîêàçàíî, ÷òî ÿâíûõA-óñòîé÷èâ,A-óñòîé÷èâîñòè îáëàäàåò î÷åíü óçêèé íàáîð ñõåì.A-óñòîé÷èâûõìåòîäîâ â ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò. Òàêæåäîêàçàíî, ÷òî ñðåäè íåÿâíûõ ñóùåñòâóþò ðàçíîñòíûå ìåòîäû íå âûøå âòîðîãîïîðÿäêà. êà÷åñòâå ïðèìåðà, ðàññìîòðèì ñèììåòðè÷íóþ ñõåìó:yn+1 − yn= 0.5(f (tn , yn ) + f (tn+1 , yn+1 ))τÏðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å 5.39, ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ïðèìåò âèä:yn+1 − yn= 0.5λ(yn + yn+1 )τ(yn+1 − yn ) − 0.5µ(yn + yn+1 ) = 0(1 − 0.5µ)yn+1 = (1 + 0.5µ)ynyn+1 = qyn , q =(1 + 0.5µ)(1 − 0.5µ)|q| ≤ 1133|1 + 0.5µ| ≤ |1 − 0.5µ|(1 + 0.5µ0 )2 + µ21 ≤ (1 − 0.5µ0 ) + µ211 + µ0 + 0.25µ20 ≤ 1 − µ0 + 0.25µ20µ0 ≤ 0.Ðèñ. 5.5:Òàêèì îáðàçîì, ñõåìà ÿâëÿåòñÿA-óñòîé÷èâîé.Êîëü êðóã îêàçàëñÿ óçêèé, òî áûëî ñäåëàíî ñìÿã÷åíèå â îïðåäåëåíèè, è áûëîââåäåíî ïîíÿòèåA(α)-óñòîé÷èâîãîÎïðåäåëåíèå:ìåòîäà:åãî óñòîé÷èâîñòè ñîäåðæèò óãîë ëåâîé ÷àñòíîñòè,A(α)-óñòîé÷èâûì, åñëè îáëàñòüïîëóïëîñêîñòè: | arg(−µ)| < αÐàçíîñòíûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ( π2 )-óñòîé÷èâûéÎêàçàëîñü, ÷òî ÿâíûõìåòîä åñòüA(α)-óñòîé÷èâûõA-óñòîé÷èâûé.ìåòîäîâ íå ñóùåñòâóåò.
À ñðåäè íåÿâ-íûõ áûëè ïîñòðîåíû ñõåìû òðåòüåãî è äàæå ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè (÷èñòîíåÿâíûå, ïðàâàÿ ÷àñòü áåðåòñÿ òîëüêî íàTn ,íà ïîñëåäíåì âðåìåííîì ìîìåíòå). çàêëþ÷åíèå, ïðèâåäåì ïðèìåð ñõåìû 4 ïîðÿäêà:25yn+4 − 48yn+3 + 36yn+2 − 16yn+1 + 3yn= f (tn+4 , yn+4 )12τÒàêàÿ ñõåìà èìååò ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê è ïðè íåêîòîðîìóñòîé÷èâîé.134α > 0ÿâëÿåòñÿA(α)-Ðèñ. 5.6:Ðèñ. 5.7:135.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
