Численные методы. Ионкин (2012) (v1.1) (косяки есть) (1160435), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. . , N, hN = 1}.Ïóñòü îáëàñòüÏîñòðîèì ñåòêóÐàññìîòðèì ñèëüíóþ íîðìó Ñ:kuk0 = max|u(x)| = kukC , 0 ≤ x ≤ 1kykh = max|yi | = kykC , 0 ≤ x ≤ 1Íîðìû äîëæíû áûòü ñîãëàñîâàíû.103lim kuh k = kuk0h→0Gh = {xi = ih, i =Ïðèìåð ñîãëàñîâàííîé íîðìû:Z11kuk0 = ( u2 (x)dx) 20NX1kykh = (yi2 h) 2i=0Ïðèìåð íåñîãëàñîâàííîé íîðìû:NX1kykh = (yi2 ) 2i=0B0- íå ñîãëàñóåòñÿ íè ñ îäíîé íîðìîé âNX11u(x) ≡ 1kuh kh = (1) 2 = (N + 1) 2i=0Åñëè íîðìà íå ñîãëàñîâàíà, òî âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå 2-õ ôóíêöèé, ê êîòîðûìñõîäèòñÿ èñêîìàÿ.Ph (u)i = u(xi )xiZ+0.5h1Ph (u)i =hu(x)dx, i = 1, .
. . , N − 1xi −0.5h1(Ph u)0 =0.5hZ0.5hZ11u(x)dx, (Ph u)N =u(x)dx0.501−0.5hÌîæåì âûáèðàòü îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ êàê íàì óäîáíî.Ïóñòüzh = yh − uh104(4.70)Ñåò÷àòàÿ ôóíêöèÿ 4.70 íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ ðàçíîñòíîé ñõåìû⇒ yh = zh + uhLh zh + Lh uh = ϕnLn zn = ψn -ðàçíîñòü,ψh − Lh uh(4.71)- íåâÿçêàÑåò÷àòàÿ ôóíêöèÿ 4.71 íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîéñõåìû íà ðåøåíèè èñõîäíîé çàäà÷è.Îïðåäåëåíèå 2:Ãîâîðÿò,÷òîðàçíîñòíàÿ∃M1 > 0, k > 0,kψn kh ≤ M1 hñõåìàèìååòê-éïîðÿäîêàïïðîêñèìàöèè,åñëèíå çàâèñÿùèå îò øàãîâ, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâà îöåíêàk-íå îáÿçàòåëüíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî.Çàäà÷à 4.68 ïîñòðîåíà êîîðåêòíî, ò.ê.1)∃! u(x) : ∀f (x), x ∈ G,2) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò ïðàâîé ÷àñòè f(x)Îïðåäåëåíèå 3:Ãîâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà íàçûâàåòñÿ êîððåêòíî ïîñòàâëåííîé, åñëè1)∃!yh ∈ Bh ∀ϕn ,2)∃M2> 0,íå çàâèñÿùåå îò øàãîâ :kyh kh ≤ M2 kψn kh(4.72)Îïðåäåëåíèå 4:Ãîâîðÿò, ÷òî ðåøåíèå ðàçíîñòíîé çàäà÷è 4.69 ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ðàçíîñòíîéçàäà÷è 4.68, åñëèkzh kh = kyh − uh kh → 0, h → ∞Îïðåäåëåíèå 5:Ãîâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà èìååò ê-é ïîðÿäîê òî÷íîñòè (ñõîäèòñÿ ñ ê-ìïîðÿäêîì), åñëè∃M3 > 0,k- íå çàâèñèò îò h⇒ kzh kh ≤ M3 hkÒåîðåìà 1:Ïóñòü èñõîäíàÿ çàäà÷à 4.68 êîððåêòíî ïîñòàâëåíà è ïóñòü ðàçíîñòíàÿ ñõåìà4.69, àïïðîêñèìèðóþùàÿ çàäà÷ó 4.68 - êîððåêòíà105⇒ðåøåíèå ðàçíîñòíîé çàäà÷èñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ èñõîäíîé ñ ïîðÿäêîì ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè.Äîêàçàòåëüñòâî:kyh kh ≤ M2 kϕh kh , M2kzh kh ≤ M2 kψh khkψh kh ≤ M1 hk , M1íå çàâèñèò îò h.íå çàâèñèò îò h.kzh kh ≤ M3 hk , M3 = M1 M2íå çàâèñÿò îò h.lim kzh kh = 0h→0÷òä.Âûâîäû: Èçó÷åíèå ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ ëèíåéíûõ çàäà÷ ïðîõîäèò â 2 ýòàïà:1.
âû÷èñëÿåòñÿ ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè2. íàõîäèòñÿ àïðèîðíàÿ îöåíêà (òî åñòü èññëåäóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü)Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1 èç ïðîøëîé ëåêöèè ìû íå èñïîëüçîâàëèñîãëàñîâàííîñòü íîðì. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè óñëâîèÿ ñîãëàñîâàííîñòè íå áûëî, òîìû íå ìîãëè áû ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî åñòü ê íóæíîìó âåêòîðó.Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïðèh→0ðàçíîñòü ìåæäó ñåòî÷íîé ôóíêöèåé è å¼ ïðîåê-öèåé â óçëû òî÷å÷íîãî ðåøåíèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ:kyh − uh kh → 0, h → 0,ò.å.
ñóùåñòâóåòÍîu(x) ∈ B0äîêàçàííàÿv(x) ∈ B0- ðåøåíèåòåîðåìàòàêîé, ÷òîkyhíåLu = f .óòâåðæäàåò,− vh kh → 0,÷òîíåñóùåñòâóåòè ïðè ýòîì íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìÀ îáåñïå÷èâàåòñÿ ýòî êàê ðàç óñëîâèåì ñîãëàñîâàííîñòè:kuh − vh kh = kuh − yh + yh − vh k ≤ (íåðàâåíñòâî≤ k − yh + uh kh + kyh − vh kh → 0ïðèòðåóãîëüíèêà)h→0Òàê êàê íîðìà ñîãëàñîâàííàÿ, òî:lim kuh − vh kh = ku − vk0 = 0 ⇒ u(x) ≡ v(x)h→0Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñõîäèòñÿ ê åäèíñòâåííîìó ðåøåíèþ.106ôóíêöèèÃëàâà 5Ìåòîäû ðåøåíèÿîáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé (ÎÄÓ) è ñèñòåìÎÄÓ 1.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Êîøè è ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è ÊîøèÒåïåðü ïåðåõîäèì ê çàêëþ÷èòåëüíîé ãëàâå êóðñà.Ïðåäìåò èçó÷åíèÿ - çàäà÷à Êîøè äëÿ ñèñòåìû ÎÄÓ.dudtu(0) = u0 ;= f (t, u(t)),t > 0,(5.1)u(t) = (u1 (t), u2 (t), . . . , um (t))Tf (t, u(t)) = (f1 (t, u(t)), f2 (t, u(t)), . . . , fm (t, u(t)))TÏåðâûé ôàêò - çàäà÷à íåëèíåéíàÿ (ìàòåìàòèêè ãîâîðÿò, ÷òî ýòî ñëàáàÿíåëèíåéíîñòü. Çíà÷èò, ðàçíîñòíûå ñõåìû áóäóò òðåáîâàòü ïîäõîäà, îòëè÷íîãî îòòîãî, ÷òî ìû ïðèìåíÿëè ðàíåå.107Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëåïèïåäR = {(t, u), |t| ≤ a, |u − u0 | ≤ b}.Èç êóðñà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èçâåñòíî, ÷òî åñëèðåøàåì êîððåêòíûå çàäà÷è,òî ìû äîëæíû èìåòü ïðåäñòàâëåíèå î ñóùåñòâîâàíèèè åäèíñòâåííîòè ðåøåíèÿ, èõ íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè îò âõîäíûõ äàííûõ.Åñëèf- íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, ïî âòîðîìó àðãóìåíòó óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëî-âèþ Ëèïøèöà:|f (t, u) − f (t, v)| ≤ L|u − v|,L = const,òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ íåêîòîðûõt > 0 (ãîâîðÿò:ñóùåñòâóåò â ìàëîì).Äîêàçûâàþò ýòî óòâåðæäåíèå ìåòîäîì Ïèêàðà, ïåðåõîäÿ ê èíòåãðàëüíîìó ñîîòíîøåíèþZtu(t) = u(0) +f (t, u(x))dx0è îðãàíèçóÿ ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿZtun+1 (t) = u(0) +f (t, un (x))dx,n = 0, 1, .
. .0Íà ïðàêòèêå æå èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ìîæåò íå âû÷èñëÿòüñÿ, ïîýòîìó ñóùåñòâóþò ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è.Ñðåäè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèåíàøëè 2 ïîäõîäà:1. ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòà2. ìíîãîøàãîâûå ðàçíîñòíûå ìåòîäûÈ òà, è äðóãàÿ ãðóïïà íàõîäèò øèðîêîå ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå.
Ìû ñêàæåì,êàêîé èç íèõ êîãäà óäîáíåå, ãäå ìîæíî äîáèòüñÿ áîëüøåé òî÷íîñòè è ò. ä.Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.Ââåäåì ñåòêó:ωτ = {tn = nτ, τ > 0, n = 0, 1, 2 . . . }Ïðèìåð 1:Ñõåìà Ýéëåðà. ßâíàÿ è íåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà îáëàäàþò îäèíàêîâîé ïîãðåøíîñòüþ, íî ñ òî÷êè çðåíèÿ óñòîé÷èâîñòè è ñõîäèìîñòè ðàçíûå. ßâíûå ñõåìûîáû÷íî óñëîâíî óñòîé÷èâûå, â òî âðåìÿ êàê íåÿâíûå - àáñîëþòíî óñòîé÷èâûå.108Ïóñòü íà ââåäåííîé ñåòêå:Ýéëåðà èìååò âèä:yn+1un = u(tn ), f (tn , y(tn )) = fn ; yn −yn+1 −ynτ= fn ,y(0) = u0 ;.
ßâíàÿ ñõåìàtn ∈ ωτ ,(5.2)ÿâíî âûðàæàåòñÿ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:yn+1 = yn + τ fnÂñå êîìïîíåíòû â ïðàâîé ÷àñòè èçâåñòíû, òî åñòüyn+1ìîæíî íàéòè â ÿâíîìâèäå.Íåâÿçêà 4.71:ψn = −un+1 − un+ f (tn , un )τ(5.3)Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ 5.3 íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ àïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîéñõåìû 5.2 íà ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è 5.1.Ðàçëîæèìun+1â ðÿä Òåéëîðà:un+1 − un= u0n + O(τ )τψn = −u0n + f (tn , un ) + O(τ )Ó÷èòûâàÿ, ÷òî−u0n + f (tn , un ) = 0,ïîëó÷àåì:ψn = O(τ )Ñîîòâåòñòâåííî, ìû ìîæåì îæèäàòü ñõîäèìîñòü íå âûøå ïåðâîãî ïîðÿäêà.Ïîãðåøíîñòü:|yn − u(t0 )| ≤ M τ,M > 0íåçàâèñèò îòτÏîçäíåå ìû ïîêàæåì, ÷òî ñõåìà èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè.Ïðèìåð 2:Ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà, äâóõýòàïíûé (èëè ñõåìà ïðåäèêòîð-êîððåêòîð).109(Ñõåìà ïðåäèêòîð-êîððåêòîð, ñõåìà âòîðîãî ïîðÿäêà, áîëåå òî÷íàÿ, øèðîêîèñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå)Ïåðåõîä îòtnêtn+1îñóùåñòâëÿþò â 2 ýòàïà:tn → tn+ 21 → tn+1Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå çàäà÷å 5.1 ðàçíîñòíóþ ñõåìó, ââåäÿ ïðè ýòîì ïîëóöåëûé ñëîé:yn+ 1 −yn20.5τyn+1 −yn0.5τ= f (tn , yn )= f (tn+ 12 , yn+ 21 )(5.4)y(0) = u0 ; n = 0, 1, 2, ...Ðåøåíèå ðåàëèçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:yn+ 21 = yn + 0.5fnyn+1 = yn + τ f (tn+ 12 , yn + 0.5τ f (tn , yn ))Ó íàñ 2 ýòàïà, ïîýòîìó îíà è íàçûâàåòñÿ ñõåìîé ïðåäèêòîð-êîððåêòîð.Âûâîä ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè âûâåäåì äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ.
Ïîçäíååïîëó÷èì è òî÷íîñòü.Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè îáùåãî äâóõýòàïíîãî ìåòîäà ÐóíãåÊóòòà y −yn+1n= σ1 K1 + σ2 K2 , σ1 , σ2 ∈ Rτ y0 = u0(5.5)K1 = f (tn , yn ),K2 = f (tn + a2 τ, yn + b21 τ K1 );Âåùåñòâåíûå ÷èñëàaèbáóäóò óïðàâëÿòü ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè(èíäåêñû âûáðàíû äëÿ ñîîòâåòñòâèÿ ñ îáùèì ïîäõîäîì, ðàññìîòðåííûì äàëåå).110Âîïðîñ íà ýêçàìåíå: Ìû âûáðàëè ñèãìà 3/2 è 4/3 è ïîïðîñèì ïîñ÷èòàòü.Íà ñàìîì äåëå ñóììà ñèãì äîëæíà áûòü ðàâíà 1, èíà÷å íåò íèêàêîé àïïðîêñèìàöèè!Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â çàäà÷å 5.5 â âèäåyn+1 − yn= σ1 f (tn , yn ) + σ2 f (tn + a2 τ, yn + b2 τ f (tn , yn ))τÑåòî÷íóþ ôóíêöèþ:ψn = −un+1 − un+ σ1 f (tn , un ) + σ2 f (tn + a2 τ, un + b21 τ f (tn , un ))τ5.6 íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè.
Ïîëó÷èì îöåíêó äëÿÐàññêëàäûâàåì â îêðåñòíîñòè(5.6)ψn .(tn , un ):τun+1 − un= u0n + u00n + O(τ 2 )τ2f (tn + a2 τ, yn + b21 τ f (tn , un )) = f (tn , un ) +Ïåðåïèøåì òåïåðüψn∂fn∂fna2 τ +b21 τ f (tn , un ) + O(τ2 )∂t∂uó÷èòûâàÿ ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ, ñãðóïïèðîâàâ â èòîãå ñëà-ãàåìûå, óäîáíûì äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè îáðàçîì:ψn = − u0n + 0.5τ+σ2=(∂fn ∂fn+fn∂t∂u+ σ1 f (tn , un ) + σ2 f (tn , un )+∂fn∂fna2 τ + σ 2b21 τ f (tn , un ) + O(τ 2 ) =∂t∂uòàê êàêu00n =d∂fn ∂fn(f (t, un (t))) =+fn ) =dt∂t∂u= −u0n + (σ1 + σ2 )f (tn , un )++τ∂fn∂fn+ ((σ2 b21 − 0.5))τ f (tn , un ) + O(τ 2 )(σ2 a2 − 0.5)∂t∂uÏîòðåáóåì âûïîëíåíèé ñëåäóþùèõ óñëîâèé:1.σ1 + σ2 = 1(îáåñïå÷èâàåò íàëè÷èå ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè)1112.σ2 a2 = σ2 b21 = 0.5(äëÿ äîñòèæåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè)σ2 = σ, σ1 = 1 − σÏîëàãàþò îáû÷íîñõåì:Ïîëó÷àåòñÿ ñåìåéñòâî ïàðàìåòðè÷åñêèõyn+1 − yn= (1 − σ)K1 + σK2τ ïðèâåäåííîì âûøå ïðèìåðå 2:σ = 1, a2 = 0.5, b21 = 0.5,ñõåìà èìååò âòîðîéïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè.Åñëè ïîëîæèòüσ = 0.5, a2 = b21 = 1,òî ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìóþ ñèììåòðè÷-íóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó.yn+1 − yn= 0.5(f (tn , yn ) + f (tn+1 , yn+1 ))τÝòà ñõåìà òàêæå èìååò 2-é ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè (ïîçäíåå äîêàæåì, ÷òî îíà èìååò è 2-é ïîðÿäîê òî÷íîñòè) 2.
Îáùàÿ ñõåìà Ðóíãå-ÊóòòàÏî ñâîåé èäåå ìíîãîýòàïíûé ìåòîä îçíà÷àåò, ÷òî ïåðåõîäÿ îòèñïîëüçóåì íåñêîëüêî(m)tnêtn+1 ,ìûïðîìåæóòî÷íûõ ýòàïîâ (è, ñîîòâåòñòâåííî, ìíîæåñòâîïàðàìåòðîâ, âëèÿþùèõ íà ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè).yn+1 − yn= σ1 K 1 + σ2 K 2 + · · · + σm K mτy0 = u0 , n = 0, 1, 2, . . .K1 = f (tn , yn )K2 = f (tn + a2 τ, yn + b21 τ K1 )K3 = f (tn + a3 τ, yn + b31 τ K1 + b32 τ K2 )...Km = f (tn + am τ, yn + bm1 τ K1 + bm2 τ K2 + · · · + bmm−1 τ Km−1 )112Ïðè ýòîì äîëæíî áûòü âûïîëíåíî óñëîâèåmXσi = 1 óñëîâèå àïïðîêñèìàöèèi=1Ïðè áîëüøèõm ñõåìû Ðóíãå-Êóòòà íà ïðàêòèêå îáû÷íî íå ïðèìåíÿþòñÿ, â ñè-ëó ãðîìîçäêîñòè ýòèõ ìåòîäîâ.
Èñïîëüçóþò ñõåìû òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.Íî åñòü îáùåå óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ìåòîä èìååò òó æå òî÷íîñòü, ÷òîè ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè.Ïðèâåäåì ïðèìåðû äëÿ òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà:Ïðèìåð.Ñõåìà Ðóíãå-Êóòòà òðåòüåãî ïîðÿäêà.yn+1 − yn1= (K1 + 4K2 + K3 )τ6K1 = f (tn , yn )K2 = f (tn + 0.5τ, yn + 0.5τ K1 )K3 = f (tn + τ, yn − τ K1 − 2τ K2 )Ïðèìåð.Ñõåìà Ðóíãå-Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.1yn+1 − yn= (K1 + 2K2 + 2K3 + K4 )τ6K1 = f (tn , yn )K2 = f (tn + 0.5τ, yn + 0.5τ K1 )K3 = f (tn + 0.5τ, yn + 0.5τ K2 )K4 = f (tn + τ, yn + τ K3 )Ìû âèäèì, ÷òî çäåñü ïîëó÷èòü ñõåìó âûñîêîãî ïîðÿäêà ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè òðåáóåò áîëüøèõ âû÷èñëåíèé â ïðàâûõ ÷àñòÿõ. Ýòîò ôàêòîð ñòàâèò ìåòîä113Ðóíãå-Êóòòà íèæå ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ.Îöåíêà òî÷íîñòè íà ïðèìåðå äâóõýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòû:Âñÿ ñëîæíîñòü ïîðîæäåíà íåëèíåéíîñòüþ çàäà÷èdU= f (t, U (t)),dtt>0(5.7)U (0) = U0 ïðîøëûé ðàç ìû ïîêàçàëè, ÷òî åñëè:σa2 = σb2 =12 , òî òîãäà ðàçíîñòíàÿ ñõåìà èìååò âòîðîé ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòèàïïðîêñèìàöèè.yn+1 − yn= (1 − σ)fn + σf (tn + aτ, yn + aτ fn )τy0 = U0 ;Ïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòèn = 0, 1, ....0 ≤ σ ≤ 1,Êàê îáû÷íî ââîäèì ïîãðåøíîñòü(5.8)a2 = b 2 = azn = yn − Un ;Un = U (tn )Äëÿ ïîãðåøíîñòè ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:zn = yn − Unzn+1 − znUn−1 − Un=−+ (1 − σ)f (tn , yn ) + σf (tn + aτ, yn + aτ f (tn , yn ))ττ(5.9)Ïåðåïèøåì 5.9 â ýêâèâàëåíòíîì âèäå, íî ñôîðìèðîâàâ ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè íà ðåøåíèè:zn+1 − znUn−1 − Un=−+ (1 − σ)f (tn , Un )+ττ114+σf (tn + aτ, Un + aτ f (tn , Un )) + (1 − σ)(f (tn , yn ) − f (tn , yn ))++σ(f (tn + aτ, yn + aτ f (tn , yn )) − f (tn + aτ, Un + aτ f (tn , Un )))Ñ òàêîé ïðàâîé ÷àñòüþ ðàáîòàòü ñëîæíî.Îáîçíà÷èìÎáîçíà÷èìÒîãäà(1)f (tn , yn ) − f (tn , Un ) = φn(2)f (tn + aτ, yn + aτ f (tn , yn ) − f (tn + aτ, Un + aτ f (tn , Un )) = φnzn+1 − zn(2)= ψn + φ(1)n + φnτÝòè òðè ñëàãàåìûõ ïðîùå îöåíèòü ïîñëåäîâàòåëüíî.Äåëàåì ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî âûïîëíåíî óñë.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
