Численные методы. Ионкин (2012) (v1.1) (косяки есть) (1160435)
Текст из файла
Îãëàâëåíèå1×èñëåííûå ìåòîäû â ëèíåéíîé àëãåáðå3 1. Ââåäåíèå3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. Ñâÿçü ðàçëîæåíèÿ ñ ìåòîäîìÃàóññà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Îáðàùåíèå ìàòðèö ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà 4. Ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ5. . . . . .
. . . . . . .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 5. Ïðèìåðû è êàíîíè÷åñêèé âèä èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ13 6. Òåîðåìû î ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ . . . . . . . . . . . . .19 7. Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ25. . . . . . . .
. 8. Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè ïîïåðåìåííîãî òðåóãîëüíîãî èòåðàöèîííîãî ìåòîäà(ÏÒÈÌ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ30. . . . . . . . . . .34 10. Ñòåïåííîé ìåòîä . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 11. Ïðèâåäåíèå ìàòðèöû ê âåðõíåé ïî÷òè òðåóãîëüíîé ôîðìå (ÂÏÒÔ)40 12. Ïîíÿòèå î QR-àëãîðèòìå. Ðåøåíèå ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ2çíà÷åíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .44 13. Ïðåäâàðèòåëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ìàòðèöû ê ÂÏÒÔ . . . . . . . . .46Èíòåðïîëèðîâàíèå è ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé48 1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è èíòåðïîëèðîâàíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . .48 2. Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà . . . . . . . . . . . . .
. . . .49 3. Ðàçäåëåííûå ðàçíîñòè50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Íüþòîíà. . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Èíòåðïîëÿöèðîâàíèå ñ êðàòíûìè óçëàìè. Ïîëèíîìû Ýðìèòà. . . .5253 6. Èñïîëüçîâàíèå Ïîëèíîìà Ýðìèòà äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû Ñèìïñîíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 7. Íàèëó÷øåå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé3. . . . . . .5659×èñëåííîå ðåøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì íåëèíåéíûõóðàâíåíèé64 1. Ââåäåíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.
Ìåòîä Ýéòêåíà óñêîðåíèÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ1. . . .646567 4. Ìåòîä Íüþòîíà è ìåòîä ñåêóùèõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Ñõîäèìîñòü ìåòîäà Íüþòîíà. Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè4. . . . .6872Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè74 1. Ââåäåíèå74. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 3. Ñèììåòðè÷íàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (Ñõåìà Êðàíêà-Íèêîëüñîíà) . . .
.86 4. Çàäà÷à Øòóðìà-Ëóèâèëëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 5. Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà. (Çàäà÷à Äèðèõëå). . .93 6. Ðàçðåøèìîñòü ðàçíîñòíîé çàäà÷è. Ñõîäèìîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû . .96 7. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì: àïïðîêñèìàöèÿ, óñòîé÷èâîñòü, ñõîäèìîñòü5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103Ìåòîäû ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé(ÎÄÓ) è ñèñòåì ÎÄÓ107 1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Êîøè è ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿçàäà÷è Êîøè. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Îáùàÿ ñõåìà Ðóíãå-Êóòòà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Ìíîãîøàãîâûå ðàçíîñòíûå ìåòîäû107112. . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 4. Ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîãî ìåòîäà . . . . . . . . . . . . . . .121 5. Ƽñòêèå ñèñòåìû ÎÄÓ . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .126 6. Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåìèíòåãðèðîâàíèÿ æåñòêèõ ñèñòåì ÄÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . .2130Ãëàâà 1×èñëåííûå ìåòîäû âëèíåéíîé àëãåáðå 1. ÂâåäåíèåÐàññìîòðèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:Ax = f, |A| =6 0,ãäå(1.1)A(m × m), x = (x1 , ..., xm )T , f = (f1 , ..., fm )T . ýòîì êóðñå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðÿìûå è èòåðàöèîííûå ìåòîäû:Ïîñ÷èòàòü îïðåäåëèòåëü ïî îïðåäåëåíèþ: ñëîæíîñòüÏî Ãàóññó:m!m33n → ∞, xn → x||xn − x|| < ε n0 (ε)Èòåðàöèîííûå:Çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ: íîðìàëüíî ðåøàåòñÿ òîëüêî ÷èñëåííîAx = λx, x 6= ~0×àñòè÷íàÿ ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íàéòè õîòÿ áû îäíî çíà÷åíèå.Ïîëíàÿ âñå çíà÷åíèÿ (QR-àëãîðèòì).A−1çàm3äåéñòâèé çà ñ÷¼ò õèòðîñòè âàëãîðèòìå.Ñâÿçü ìåòîäà Ãàóññà ñ ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè.Ìåòîä Êðàìåðà ïëîõî ñ òî÷êè çðåíèÿ îêðóãëåíèÿ è ò.ï.3Çàäà÷à ïðèâåäåíèÿ ìàòðèöûAýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìèê òðåóãîëü-íîìó âèäó.Ðàññìîòðèì 1.1:AÏðÿìîé õîä: (ìàòðèöàäèàãîíàëüíàÿ,cijñâåðõó ñïðàâà, 1 ïî äèàãîíàëè, 0âíèçó)(m3 −m)äåéñòâèé íà íàõîæäåíèå êîýôôèöèåíòîâ ìàòðèöû3m(m+1)íà ïðàâûå ÷àñòè2m(m−1)îáðàòíûé õîä2Âîçìîæåí ñëó÷àé, êîãäà ìàòðèöàAïðåäñòàâèìà â âèäåA=B×C(1.2) íå êàæäóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â òàêîì âèäå.aij =mXbil clj =l=1i−1Xbil clj + bii cij +l=1mXbil cljl=i+1B íèæíÿÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, C âåðõíÿÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíèöàìè íà äèàãîíàëèaij = bii cij +i−1P⇒bil cij , bii 6= 0l=1aij −cij =aij =i−1PmPbil clj + bii cij +l=1i−1Pbil cijl=1, i≤jbii(1.3)bil clj = 0 ⇒l=i+1bij = aij −j−1Xbi,l cl,j , i ≥ j(1.4)l=1Ôîðìóëû 1.3, 1.4 ðåêóððåíòíûå.
Îíè ñâÿçûâàþòBèC.Ñîîòíîøåíèå íåëèíåéíîå, íî ïðè ðàçóìíîé îðãàíèçàöèè àëãîðèòìà íà ýòî ìîæíî çàêðûòü ãëàçà.b11 = a11a1jäàëåå ïî ôîðìóëå 1.3 ⇒ c1j =b11 , j = 2...mïî ôîðìóëå 1.4 ⇒ bi1 = ai1 , i = 2...mÐàçóìíàÿ îðãàíèçàöèÿ:4 2. Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. Ñâÿçü ðàçëîæåíèÿ ñ ìåòîäîì ÃàóññàÂî ââåäåíèè ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó ïðèci,j =bi,i 6= 0j−1Pbi,l cl,j , i ≥ ja−i,jl=1i−1Pai,j − bi,l cl,jl=1bi,i, i≤jÐàçëîæåíèå âîçìîæíî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ. Ñôîðìóëèðóåì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû A:A = BC .Óòâåðæäåíèå:Ïóñòü âñå ãëàâíûå óãëîâûå ìèíîðû ìàòðèöû A îòëè÷íû îò íóëÿ:41 = a11 6= 0a1,1 a1,242 =6= 0a2,1 a2,2a1,1 a1,2 .
. . a1,n a2,1 a2,2 . . . a2,n 4n = . . . . . . . . . . . . 6= 0 , i = 1, 2, . . . , nan,1 an,2 . . . an,nÒîãäà ôàêòîðèçàöèÿ ìàòðèöû A âîçìîæíà è íàõîäèòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Äîêàçàòåëüñòâî:Äëÿ óäîáñòâà ââåäåì40 = 1Ðàñïèøåì ìàòðèöóAiêàê ïðîèçâåäåíèå ìàòðèöBièCi : Ai = Bi Ci .Îïðåäå-ëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö åñòü ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëèòåëåé ìàòðèö. Òîãäà4i =| Ai |=| Bi || Ci |,ãäå| Ci |= 1.Òîãäà4i = b11 b22 · · · bi−1,i−1 bi,i ⇒ bi,i =÷òä.Âñå ýëåìåíòûbi,iîòëè÷íû îò íóëÿ.Çàìå÷àíèå:54i, i = 1, 2, .
. . , n4i−1Óñëîâèå îòëè÷èÿ îò íóëÿ âñåõ óãëîâûõ ìèíîðîâ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì. Íàïðàêòèêå ýòî íå ÿâëÿåòñÿ æåñòêèì òðåáîâàíèåì. Íàïðèìåð â ôèçèêå è õèìèèïðèñóòñòâóþò ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû. Ìû íå ñòàâèëè ïåðåä ñîáîé çàäà÷óäîêàçûâàòü óòâåðæäåíèå ñ ìèíèìàëüíûìè òðåáîâàíèÿìè.Äëÿ ÷åãî íóæíà ôàêòîðèçàöèÿ? Îòâåò: äëÿ óäîáñòâà ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõóðàâíåíèé.Ax = f, | A |6= 0, A = (m, m)(1.5)Ðàññìîòðèì ñâÿçü Ìåòîäà Ãàóññà ñ ðàçëîæåíèåì ìàòðèöûA = BC , çàòåìBCx = f ⇒íà ìíîæèòåëèïîêàæåì ýôôåêòèâíîñòü ìåòîäà.BY = f(1.6)CX = Y(1.7)Ðåøåíèå ñèñòåìû 1.5 ðàñïàëîñü íà äâà.
Èç 1.6 íàõîäèìîòêóäà íàõîäèìAYè ïîäñòàâëÿåì â 1.7,XÇàäà÷à 1:Äîêàçàòü, ÷òî íàõîæäåíèå ìàòðèöBèCòðåáóåòÐåøåíèå:m3 −móìíîæåíèé è äåëåíèé.3Ïî ôîðìóëàì ôàêòîðèçàöèèbij = aij −j−1Xbil clj , i ≥ jl=1Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êàæäîãîbijïîòðåáóåòñÿj−1îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ. Îòïóñòèìèíäåêñ j:iX(j − 1) =j=1i(i − 1)2.Îòïóñòèì èíäåêñ i:mXi(i − 1)i=1=2mm1X 2 1X=i −i=2 i=12 i=1m(m + 1)(2m + 1) m(m + 1) (m − 1)m(m + 1)−=1246Èìååìaij −cij =i−1Pl=1bii6bil clj, i < j.cijÄëÿ âû÷èñëåíèÿ êàæäîãîïîòðåáóåòñÿj − 1 îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ è 1 îïåðàöèÿäåëåíèÿ.Îòïóñòèì èíäåêñ i:j−1X(j − 1)j2j=i=1Îòïóñòèì èíäåêñ j:mmm1X1X 2 1X(j − 1)j =j −j=2 j=12 j=12 j=1=m(m + 1)(2m + 1) m(m + 1) (m − 1)m(m + 1)−=1246Ñóììèðóåì ñ ïðåäûäóùèì ðåçóëüòàòîì:2 (m−1)(m+1)m=6m3 −m3 .ßñíî, ÷òî îñíîâíàÿ ðàáîòà èäåò íà ôàêòîðèçàöèþ.
Ñîïîñòàâèì ýòî ñ ìåòîäîìÃàóññà.ÑèñòåìóAñâîäèì ê âåðõíåé òðåóãîëüíîé ìàòðèöå (ïðÿìîé õîä):1 c1,2 c1,3 0 1 c2,2A=. . . . . . . . .0 00. . . ci,j. . . c2,j . . . . . .... 11-ÿ ñâÿçü: ðàñïèøåì ñèñòåìû 1.6 è 1.7 ïî êîîðäèíàòàì1.6 : bi,1 y1 + bi,2 y2 + · · · + bi,i yi = fi , i = 1, 2, . . . , n1.7 : xi + ci,i+1 xi+1 + · · · + ci,m xm = yi , i = 1, 2, . . . , mÂûðàçèì èç 1.6 âåêòîðy:fi −yi =Èç 1.7 âûðàçèì âåêòîðbi,i 6= 0c÷èòàÿ, ÷òîi−1Pabi,l yll=1, i = 1, 2, · · · , mbi,ix:mXxi = yi −ci,l xll=i+1Ïîñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî äåéñòâèé. ÂyiíàõîäèòñÿÈòîãî i äåéñòâèé.7i−1óìíîæåíèé è 1 äåëåíèå.Ò.ê.i = 1, 2, .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
