Задачи с решениями 2009 (1160001)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Список задач с решениями по функциональному анализу.1) Пусть – линейное нормированное пространство. Доказать, что для любых элементов , ∈ выполняется неравенство ≤ max⁡( + , − ).Решение:∀, ∈ из аксиом нормы:2 = 2 = + + − ≤ + + − , тогда:+ + − ≤≤ max + , − .22) Можно ли в пространстве 1 , принять за норму элемента :A) ,() ;B) ,′() ;C) − + D) + ,′() ;E)∫ () + ,′() ;Решение:∀ , () ∈ 1 , A) Можно, так как:1. = , 2.3.′() ;,,() = ,≥ 0, = = ,, = 0 ⇔ = 0 ∀ ∈= + () = , + () ≤ , , + , = + , + =≤B) Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы: = , ′() =0 ⇒ = , - произвольная константа.С) Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы.

Возьмем = с ≠ 0, но тогда = − + , ′() = 0.D) Можно, так как:1. + , ′() ≥ 0, + , ′() = 0 ⇒ = 0 и , ′() = 0. Так как , ′() = 0, = , – константа, но = 0, следовательно, = 0 ∀ ∈ , . Обратное утверждение очевидно.2. = + , ′ = + , ′ = ;3.

+ () = + () + , + () ≤ () + () + , + ≤ () + , + () + , = + E) Можно, так как:∫1. ∫ () + ,′() ≥ 0, ∫ () + ,′() = 0 →() = 0 ⇒ = 0 ∀ ∈ , из непрерывности . Обратноеутверждение очевидно.2. = ∫ () + , ′ = ∫ () + , ′() = ;′3. + = ∫ + + , + ≤ ∫ ( +()) + ,′+ ′≤≤() + ,′() +() + ,′() = + ;3) Будет ли множество всех многочленов в пространстве , A) открытым;B) замкнутым?Решение:A) Множество всех многочленов в пространстве , не является открытым, так как потеореме Фейера любую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно приблизитьсредними Чезаро, которые не являются алгебраическими многочленами.

Следовательно,окрестность любой точки множества содержит элемент, множеству не принадлежащий.B) Множество всех многочленов в пространстве , не является замкнутым.Рассмотрим пример, функцию sin можно приблизить частичными суммами рядаТейлора, которые являются алгебраическими многочленами. Следовательно, множествовсех многочленов в пространстве , не содержит всех предельных точек, значит ононе является замкнутым.4) Доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейномнормированном пространстве есть подпространство.Решение:По определению линейным подпространством, принадлежащим линейному нормированномупространству, называется линейное многообразие, если оно замкнуто относительно сходимостипо норме, следовательно, достаточно доказать, что в линейном нормированном пространстве конечномерное линейное многообразие ⊂ - замкнуто.

Докажем от противного. Пусть∃ ∈ : → 0, 0 ∉ . Рассмотрим функцию = − 0 , ∈ . Рассмотрим = − 0 , ∈ . Возьмем произвольный 1 ∈ и рассмотрим замкнутый шар ( 1 , 0 ).Обозначим = ∩ ( 1 , 0 ). Тогда ∈ = ∈ . Множество –конечномерное, замкнутое, ограниченное. Функция ∈ , согласно неравенствутреугольника ∃∗ ∈ ∗ = ∈ = ∈ .

Следовательно, ρ 0 , = 0 − ∗ >0.Однако это противоречит предположению, что → 0, 0 ∉ . Следовательно замкнуто иявляется подпространством .5) Пусть – линейное нормированное пространство, ⊂ – линейное многообразие, ≠ .Доказать, что не содержит никакого шара.Решение:Докажем от противного. Пусть ∃0 ∈ , > 0: шар (0 , ) ⊂ . Рассмотрим ∀1 ∈ , 1 ∉ :2 1 − 01 = 1 − 0 + 0 . Возьмем 1 − 0 = 2 ∙ ()∙ 1 − 0 1 − 0, где 2 ∙ 1 − 0 1 − 0∈ так какпринадлежит шару 0 , ⊂ . Следовательно, 1 − 0 ∈ , а значит и 1 ∈ . Таким образом,пришли к противоречию.6) Образуют ли в пространстве [−1,1] подпространство следующие множества функции:A) монотонные функцииB) четные функции;C) многочлены;D) непрерывные кусочно-линейные функции?Решение:A) Не образуют, так как если рассмотреть = , = , то = − = − - не является монотонной.B) Множество четных функций образует линейное многообразие, так как ∀ , ∈, = − и + = (−) + − .

Докажем, что – замкнуто отпротивного. Пусть ∃ ∈ : → 0, 0 ∉ , тогда ∃0 > 0: (0 ) ≠ (−0 ), но 0 → 0 и −0 → 0 , следовательно, 0 = −0 – противоречие.Следовательно, множество четных функций образуют подпространство.C) Не образуют подпространство, так как множество многочленов в пространстве −1,1не является замкнутым.D) Не образуют, так как множество непрерывных кусочно-линейных функций не0, [−1,0]является замкнутым в −1,1 . Рассмотрим = 2.

Введем обозначения: , 0,1 = 2 , = , = 0, … , 2 . Рассмотрим последовательность функций: = + ( − ) ∙+1 − +1 − , , +1 . Покажем, что → .0, [−1,0]Рассмотрим = − , ∈ 1 , +1 , = 0, … , 2 − 1. ′ =+1 − +1 − max− ′ = 0 ⇔ ′ = , +1 = 1+1 −⇔= +1 − +1 + 1222( +1)= +1 + 2. Следовательно,.

Таким образом, max∈[−1,1] −1 = max=0,…,2 −1 22( +1) = 22( +1) → 0, → ∞. Таким образом, не являетсязамкнутым.7) Образуют ли в пространстве C *-1, 1+ подпространство следующие множества функций:A) многочлены степени ≤k;B) непрерывно дифференцируемые функции;C) непрерывные функции с ограниченной вариацией;D) функции , удовлетворяющие условию 0 = 0?Решение:A) Да. Множество многочленов степени ≤ представляет собой линейное многообразие,поскольку данное множество замкнуто относительно операций сложения и умножения начисло, введенных как и в пространстве непрерывных функций, то есть является линейнымпространством.Также оно является конечномерным, поскольку базис состоит из k + 1 векторов.Следовательно, множество многочленов степени ≤ является конечномерным линейныммногообразием в линейном нормированном пространстве [−1; 1], а значит по задаче 4(доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейномнормированном пространстве есть подпространство) является подпространством.B) Нет.

Докажем, что множество непрерывно дифференцируемых функций незамкнутоотносительно нормы пространства [−1; 1].Рассмотрим1, 211 1 =+, ∈ − , ,22 1, ∈,1 ,−, ∈ −1, −где = 1, 2, … .Покажем, что она непрерывное дифференцируема:1111 − + − (− )−−1′ − − 0 = lim= lim=−1→−0→−01′ − + 01(− + )2111 1 − + − (− )+ 2 − 2= lim= lim→+0→+0211− + 2 − 2= lim 2= −1→+0Поскольку пределы равны, то производная в данной точке существует и равен -1 . + −() + −()Аналогично получаем, что lim⟶−0= lim⟶+0= 1.Итого получаем непрерывную на отрезке −1,1 производную:1−1, ∈ −1, − ,1 1 ′ = , ∈ − , , 11, ∈,1 .Покажем, что ⟶ , ⟶ ∞110, ∈ −1, − ∪ , 1 , − = 211 1+− , ∈ − , ,22 1sup − = 0 =→ 0, → ∞.2∈ −1,1То есть получили, что ⟶ , ⟶ ∞, но не является непрерывнодифференцируемой функцией.

Значит, множество непрерывно дифференцируемыхфункций незамкнуто, следовательно, не является подпространством.C) Нет.Докажем, что множество непрерывных функций с ограниченной вариацией незамкнутоотносительно нормы пространства [−1; 1].Рассмотрим0, ∈ −1, 0 ,+12213 − , ∈ , +1 , =2 22+1431− + , ∈ +1 , −1 .22Покажем, что непрерывна.

При ≠ 0 очевидно.При = 0 надо показать, что → 0:31sup = +1 = ,21 1∈,2 2 −1111, ∈ , −1 , ∀ ∈ ℕ2 2Покажем, что вариация на отрезке −1,1 = +∞() ≤При суммировании вариаций по полуинтервалам 11,2 2 −1получаем1 1 1 1=1+1+ + + + +⋯=22 2 3 3∞=11= +∞Рассмотрим теперь последовательность функций c ограниченной вариацией:10, ∈ 0, ,2 =1 , ∈ −1,0 ∪ , 1 ,21 1 1 11 11 = 1 + 1 + + + + + ⋯ + + = 2< +∞2 2 3 3 =1Покажем, что → () по норме:sup − () = sup − () =1∈ 0, 2∈ −1,1supsup=,+1,… ∈ 1 , 12 2−1 − ()1 1= → 0, → ∞=,+1,… То есть получили, что () ⟶ (), ⟶ ∞, но () не является функцией с ограниченнойвариацией. Значит, множество непрерывных функций с ограниченной вариациейнезамкнуто, следовательно, не является подпространством.D) Да.Множество функций (), удовлетворяющих условию 0 = 0, представляет собойлинейное многообразие, поскольку данное множество замкнуто относительно операцийсложения и умножения на число, введенных как и в пространстве непрерывных функций,то есть является линейным пространством.Докажем замкнутость.Рассмотрим { ()}∞=1 ⊂ .

→ по норме −1,1 ⟺ sup − → 0, → ∞ ⟹ 0 − 0 ⟶ 0, =sup∈ −1,1⟶ ∞ ⟹ 0 = 0 ⟹ ()8) Пусть X – линейное нормированное пространство, множество ⊂ – фиксировано. Доказать,что = (, ) – непрерывное отображение в ℝ.Решение: = , = inf , = inf ∥ − ∥∈∈Опр. Если отображение f непрерывно во всех точках пространства X, то говорят, что fнепрерывно на X.Опр. Каждому элементу ∈ ставится в соответствие некоторый элемент = () из Y.Это отображение называется непрерывным в точке 0 ∈ , если для каждого > 0существует такое > 0, что для всех ∈ таких, что , 0 < выполнено неравенство1 , 0 < (здесь - расстояние в X, а 1 - расстояние в Y).Фиксируем ∀ > 0.Докажем, что для произвольных 1 и 2 таких, что 1 , 2 < 2 будет выполнено1 1 , 2 < .Пусть {1 ()}∞=1 ⊂ - минимизирующая последовательность для 1 , то естьlim 1 − 1 = (1 , ).→∞По неравенству треугольника:2 − 1 ≤ 1 − 1 + 1 − 2 ≤ 1 − 1 +2 2 , = inf ∥ 2 − ∥≤ lim ∥ 2 − 1 ∥≤ lim ∥ 1 − 1 ∥ + = 1 , +∈→∞→∞22Аналогично1 − 1 ≤ 2 − 1 + 1 − 2 ≤ 2 − 1 +2 1 , = inf ∥ 1 − ∥≤ lim ∥ 1 − 1 ∥≤ lim ∥ 2 − 1 ∥ + = 2 , +∈→∞→∞Следовательно,2<2Следовательно, отображение () непрерывное по определению.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)