Задачи с решениями 2009 (1160001), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Доказать,что самосопряжен в 2 и ≥ 0. Найти оператор .Решение:В гильбертовом пространстве оператор является самосопряженным, если ∀, ∈ 2выполнено , = (, ). Пространство 2 становится гильбертовым, если для любыхдвух его элементов = (1 , 2 , … ) и = (1 , 2 , … ) положить , = ∞=1 .Сходимость этого ряда для любых и из 2 вытекает из неравенства Буняковского длярядов.Рассмотрим скалярное произведение∞∞, = ∞=1() ==3 ==1 () = (, ).Таким образом, оператор является самосопряженным.∞∞2Далее: , = ∞=1() ==3 ==3 ≥ 0.Теперь рассмотрим оператор 2 .

Очевидно, 2 = = 0, 0, 3 , 4 , … = . Значит, = .46) В вещественном линейном пространстве −, найти собственные значения и собственныевекторы оператора: А) = (−); В) = ∫− cos + .Решение () = (−)() = (−), (−) = () ⇒ 2 () = () следовательно, если ≠ 0, то собственнымизначениями оператора являются:1. = 1⇒2. = −1⇒Собственные вектора - четные функцииСобственные вектора - нечетные функцииРешение () = ∫− ( + )()() = ∫− (cos()cos()() − sin()sin()()) = 1 ()cos() + 2 ()sin() Исходяиз этого будет искать собственные вектора в виде () = cos() + sin().

(cos() +sin()) = cos() − sin() = cos() + sin() ⇒ = , = 0, = 1 Таким образомполучаем, что () = cos() -- собственный вектор, отвечающих собственному значению = .47) В пространстве 0, 1 рассмотрим оператор = 0 + (1). Найти , , ().Решение: () = (0) + ((1) + ( − 1)(0)) ∥ () ∥[0,1] ≤ |(0) + ((1) + ( − 1)(0))| ≤|(0)| + ||(|(1)| + ( − 1)|(0)|) ≤ + 1. ⇒ ∥ ∥= + 1 ⇒ () = 1( − )() = () −()− (1)−(0)(0) − (1) = () ⇒ () == () Видно, что при = 0 резольвента несуществует, поэтому 0 ∈ (). Пусть теперь ≠ 0, тогда (0) = (0), (1) = (1) ⇒ (0) =(0)−1(1) =(0)+(1)−1=(0)+(1)(−1)(−1)2Таким образом, при = 1 резольвента не существует,поэтому 1 ∈ ().

Спектр оператора -- () = {0,1}, при остальных значениях : () =()+ (1)+(0)=(0)(+−1)+ ()(−1)+()(−1)2.(−1)248) Рассмотрим оператор : 2 → 2 , = (1, 1 , 2 2 , … ) для = 1 , 2 , … ∈ 2 , где ∈ ℂ, ∈ ℕ, sup < +∞. Найти .Решение:(Домрина, Леонтьева, задача 10.6). Очевидно, = ∈ . Пусть ∉ . Тогда длялюбого = 1 , … , , … ∈ 2 определен = ()≤1, … .

, − , …1− , причем /(, ), что доказывает регулярность значения . Значит, = . 49) Доказать, что оператор : 2 → 2 , = (0, 1 , 22 33 , … ) для = 1 , 2 , … ∈ 2 , вполненепрерывен и найти его спектр.Решение:Непрерывность:А – непрерывен (проверяется по определению) действует в конечномерное пространство=> он вполне непрерывен. (образ ограниченного множества компактен по т. Больцано –Вейерштрасса) .

См. Теорема(Треногин, параграф 20.1, т.3 и следствие из неё)Спектр: = 0 = 11 = 22= 32 …Решая систему, получим, что при любом ≠ 0 её решение – только нулевой вектор. = 0- точка остаточного спектра, т.к. ker = 0, ⊆ 1 = 0} ≠ 2150) Доказать, что оператор : 2 [−1, 1] → 2 [−1, 1], = ∫−1 s 2 вполне непрерывен инайти его спектр.Решение:Оператор вполне непрерывный, т.к. он интегральный (по доказанному на лекциях). Так как1 = () 2 , где = ∫−1 ∈ , собственные векторы надо искать в виде1 = 2 . Но тогда = 2 ∫−1 3 = 0, и собственных векторов у оператора нет, ивесь спектр состоит из точки = 0151) Доказать, что оператор : 2 [0, 1] → 2 [0, 1], = ∫0 s (1 − ) вполне непрерывен инайти его спектр.Решение:Оператор вполне непрерывный, т.к.

он интегральный (по доказанному на лекциях).1 =1s 2 2 = 1 − 2 2s ′ −00Поэтому собственный элементы A нужно искать в виде = ( 2 + ) 2 + = − − 2 ++ = ( 2 + )5 44 3131Откуда =±. Так как оператор вполне непрерывный, то в спектр также входит точка1560 = 0, и других точек спектра нет..

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)