Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1159534), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В реальных условиях, конечно, будет задаваться на эксцентриситет шипа и подшипника, а величина нагрузки на вал, вращающийся в подшипниках. Поэтому значение параметра а должно определяться по формуле (6.24) при заданном значении левой части. Обозначая максимальное предельное значение параметра а через аа, т. е. а =1п(1+я), и считая величину и — отношение средней величины зазора к радиусу шипа — весьма малой, можно после ряда преобразований получить следующие приближенные формулы для результирующей силы н результирующего момента:, га а =-12пи -'-— Ьа (2 + «а) У"! — аа ' 1+ 2«а ). =- — 4а!ьУ вЂ” ' 3 (2+ад) 1 "1 — «а ' (6.26) где а — параметр Зоммерфельда, определяемый в общем случае по формуле (6.10), а при малых значениях Л вЂ” по формуле а= — —.
(6.27) ей 11, ' Случай Н, П. Петрова, рассмотренный в й 1, иы получим, если положим параметр а равным нулю, тогда Р=-О, (6.28) 6=- — 2вйи.ф. ~ Правая часть формулы (6.28) совпадает с правой частью формулы (1.8), если полагать в последней коэффициенты внешнего трения бесконечно бояьшими. $ У. Качение цилиндра по плоскости, покрытой слоем вязкого вещества Допустим, что круглый цилиндр длины 1, радиуса )с и веса д совершает чистое качение по горизонтальной плоскости, покрытой слоем вязкого вещества с коэффициентом вязкости !А (рис. 58). Выясним зависимость необходимой силы тяги (;! от указанных параметров цилиндра, а также от толщины слоя гт', коэффициента вязкости р и угловой скорости е, 5 7! качания цилиндгл по плоскости, поктытой вязким вкщвством 215 Применим к той части слоя АВСь), которая в рассматриваемый момент т будет нахолиться непосредственно пол цилиндром, приближенные уравнения (2.16) Рейнольдса др дэи р )х дуэ ' — =О, ду = ° ди дв — + — = О.
дх ду (?.1) Толщину слоя в начале Рис. 58. координат, расположенном на одной вертикали с мгновенным центром качения К, обозначим через йш а толщийу на расстоянии х от начала — через Ь. Эта толщина слоя как функция х будет представляться в виде Ь =- до+)~ — Уй' — х-'. (7.2) Обозначим абсциссы крайних точек слоя А и В через — а и Ь. Тогда обычные граничные условна прилипания и постоянства давления на краях слоя представятся в виде о =- О, при у=- О при у=д при х= — а при х=-Ь и=о, и = и(Ь вЂ” Ьэ) р=О, р=-О, (7.3) Решая первое уравнение (7.1) и используя граничные условия(7.3) для и, получим: в = — — (у — Ьу)+ му~! — — -1. 1 др до 1 2н дх л)' (7.4) Подставляя значение и из (7.4) в уравнение неразрывности (7.1) и учитывая граничные условия (7.3) для и, найдем: (х Ьэл + С) др бы дх Лэ (7.5) Выражение в скобках в правой части (7.5) может обратиться в нуль при двух значениях х. Следовательно, в рассматриваемом нами слое давление может иметь два экстремальных значения, из которых одно будет минимальным, а второе — максимальным.
А так как на краях слоя давление равно нулю, то наличие минимума давления в слое будет означать наличие отрицательных давлений внутри слоя. Избежать отрицательных давлений внутри слоя можно, если ввестн дополнительное граничное условие, позволяющее точку минимума (жь ю го гилеолинлмичасклн теония смазки ловле гворяя условию (7.6) и проводя интегрирование (7.5), получим челующее выражение лля лавлення: лз ! ат — хз р=. 6)ьа ~ [! -- —,—. - . ~ — „дх. (7.7' )'Рз — аз+ 1'гтз — хз — и роекции вектора результирующего лзвления слоя нз цилиндр и 5сцисса точки его приложения х, будут определяться формулаии ь рх дх уня — ц'! ! ~ рг(х, Рх == (7.8' асательная составляющая вектора напряжении на площадке, направяющие косинусы нормали которой — ! и ги, букет прелставляться виде Рги = Р,Р~ - — Рнн( =' (Р ~ — Рнн) !"ь+ Ран(жз — !л). рассиатриваемом нами случае имеем: У'Рз=-хз .
й' й (ги —, ю — Р:х 1 — — —,; х, 2хз Р' ди ди ди р — р и — — 21ь — — 2)ь — = 4р —, Н дх ду дх' леловательно, сила вязкости на поверхности цилинлра будет прел- гавляться в виде (ри)ь--)ь'(4 — -д — — (1 — =)(~~ + д )) .
(7,9) ак как ( ди 1 дзр (уз Луз) 1 др ав, ивзуз дх д 2Н дхз(,3 2 ) 4Н дх дху+ 2вз ах' е авлений отнести на левый край слоя. Это лополнительное граничое условие булет иметь вил: при х= — а — =О. др дх (7 ли й 71 качение цнлиндгх по плоскости, покгытой вязким вглцастзом 217 то, подставляя это выражение и значение и из (?.4) в (7,9) и преаз а" небрегая выражениями, содержащими множители —,. --; и т. д., ??з ' Рт получим для результирующей силы от касательных напряжений следующее приближенное выражение; ь л Га = ! ~ (Рн-.)ьг(х — Зим! ~~ — „— (! — 2 + —,) — 3"— |ггх. (7.10) Для момента сил трения относительно оси цилинлра приближенно будем иметь: ?.
=- — )?Р„, (7,11) Полученные формулы (7.8), (7.10) и (7.11) содержат три заранее неизвестных параметра: а, Ь и Ье. Для их определения воспользуемся: а) вторым условием (7.3) для давления, б) условием равновесия силы веса цилиндра с результирующей силой от давления слоя и в) предпологкением о том, что слой в его левой точке наименее всего деформирован и поэтому толщину слоя здесь можно приравнять начальной толщине Н всего слон на плоскости. Эти три условия могут быть представлены следующими равенствами: (7. ! 2) Исходя из уравнения равновесия сил н проекциях на ось х, получим неравенство для необходимой силы тяги !',Г,Р. — (Рл+ Р„.).
(7.! 3! х Будем предполагать отношение — настолько мальш, что з выра- ?7 жениях, входящих под знак интегралов, можно будет положить; При таком предположении давление из (7.7) булет представляться формулой р = — ~~ — (2аз+ Зих — ха), (7.14) Первое из условий (7.12) приводит к уравнению (гч — ЗаЧ вЂ” 2аз = О, единственным положительныч корнем которого будет; Р=2а, 2! 8 (гл.
ч ~ гидгодннлмичзскля твогия смазки Полставляя значения р из (7.14) и Ь из (7.15) в (7.8) и (7.10), получим; 77Нл ' (7, 16) Входящая в выражения (7.16) неизвестная величина а должна определяться из второго условия (7.12), т. е. из уравнения н га" 9=13,5 —, Н' (7.17) () ..': 0,417 Я) ' -7-. (7. 18) В последнем неравенстве коэффициент при — може~ рассматриваться Ч А' как коэффициент трения качения. Величина этого коэффициента, как это видно нз (7.18), убывает с уменьшением толщины слоя Н и веса единицы длины катка — н с увеличением р н еь причдм зависимость с от последних трех параметров значительно слабее, чем от толщины слои Н, В частности, при р= ос (абсолютно твердый слов) коэффициент трения качения булет равен нулю.
Аналогично булет решаться задача й в том случае, когда цилиндр будет совершать не чистое ка шние, а чистое скольжение по вязкому слою. В этом случае надо лишь изменить зтарыс граничные условия (7,3) на верхней границе рассматриваемого слоя, Рассмотренная задача характерна тем, что з ней используется дополнительное граничное условие для лзвления и продольная протяженность слоя считается неизвестной. 8 8. Элементарная гидродинамнческая аналогия прокатки При прокатке раскаленного металла происходит явления течения, которые з некотором отношении будут аналогичны явлениям течения очень вязкой жидкости. На эту аналогию впервые обратил внимание И. В. Мещерский '). Приближенное решение соответственной гилро- динамической задачи было дано в монографии С. М.
Тарга я). Это з) М е щ е р с к н й И. В., Гндродннзмнческзя аналогия прокатки, Известия Первого петрогр. полнтехн, нн-та, т. ХХЪ'111, 1919. з) 7 арг С. М., Основные задачи теории ламинарных течений, Гостех- пзлат, 1951, Если в неравенстве (7,13) мы отбросим результирующую силу трения Р,. и подставим значение Р из (7.16) и значение а из (7.17), то получим: е ф 8! этементАРнля ГиаРодинлмичьскАЕ лнАлогия ИРОИАтки 219 решение строится с помощью прнближзнных »равнений Рейнольдса для слоя.
Пусть два цилинлрических валка равных радиусов )с вращаются в разные стороны с постоянной угловой скоростью а. Между поверхностями этих валков располагается прокатываемая полоса, имеющая до прокатки толщину 2НР, а после прокатки 2Н, (рис. 59). Переменная толщина 2Л полосы между валками будет представляться уравнением Л = Рс+ Н,— Р'Рсв — «в. (8.1) В силу наличия симметрии относительно оси х будем рассматривать только верхнюю половину слоя. Обозначая через а длину слоя под валками и принимая условие прилипания частиц ме. галла к поверхностям валков, будем в виде: Рнс.
59. иметь граничные условия ди — =-О, и=б, ду и = -а(!т+ Н,— д), у=о Р =-/! при при (8.2) Р=--О, р =. О. при х.—.= и при ах =- ! — ду = — — ~ и ду + и (гс -(- Н вЂ” л) —, Гди д р дд .! ду дх,) дх ' откупа ь 2 ~ и ду — а (дз-- 2 (й-!- Н,) Л + хв! = сопл1. А Если в послелнее равенство поаставнть и ив (8.3) и использовать граничные условия (8.2) лля давления, то найдем: р(х) = Зра ~ (Ле — я-)- Н!) А+ С! —:.„-, р(и) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
