Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1159534), страница 36
Текст из файла (страница 36)
дх, и, Е ду, ал, = Если предполагать, что все слагаемые в полученном уравнении несжимаемости будут иметь один и тот же порядок величины, то необходимо положитьч пвивлижвнныв ввлвнвния ввинольдсь лля смазочного слоя 196 (2.9) Соотношения (2.5), выражающие обобщенную гипотезу Ньютона, в беаразмерных величинах будут представляться в виде (2,10) Подставляя в уравнения движения (2.3) значения координат и ско- ростей (2,6) н напряжений (2.10), получим: д г б-~ — р +йее — — Йееие)+9 — ~ — +еа — — Клея о )+ де~ е ет д удиг дщ д ~ (д + Л т т)~+д ( р"+ д "е)+ ~1 (2.1 1) При рассмотрении движения вязкой несжимаемой жидкости между параллельными стенками в $3 главы 1Ч было установлено, что соеднгя скооость частиц жидкости прямо поопооцнональна перепаду давления и квадоату расстояния между стенками н ооратно пропорциональна коэффьнееегу вязкости.
Следовательно, величина самого лаваення будет находиться в обратной зависимости от квадрата толщины слоя жидкости между стенками. Чтобы зто учесть, заменим размерное давление р через безраамерное р, следующим образом: гидРОДЕИАмическАя теОРия смАзки !гл, ч! 196 1 й — — ° е (2.12) При этом предположении сохраним в соотношениях (2.10) и в уравнениях (2.11) лишь слагаемые, имеющие наибольший порядок величины. Тогда соотношения, выражающие гипотеау Ньютона, предста. вятся в виде ~~а 'е ри,' Рии = РЫ е Р()з, рт,= — —,ры (2.13) а ди, р,„=рП, д', з Гдиг дге,! г 'чдщ+ дкг!' е дмг Рви= Р()г3 —, У На основании полученных равенств (2.13) заключаем, что в тонком смазочном слое наибольшим по своему порядку нипряжением будет напряжение давления.
Из касательных напряжений наибольшими по своему порядку будут те компоненты напряжений, которые развиваются на площадках, перпендикулярных к оси у, т. е, на площадках, приблизительно параллельных ограничивающим поверхностям. Дифференциальные уравнения (2.!1) при использовании (2.12) и сохранении слагаемых, не содержащих в качестве множителя параметр -, принимают следующий вид: (2.14) На основания второго уравнения (2.14) мы заключаем, что е тонком смазочном слое давление не изменяется по толщине слоя. Возвращаясь в соотношениях (2.!3) и уравнениях (2.14) к размерным величинам и присоединяя к ннм уравнение несжимаемости, Полученные дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в тонком слое содержат два безраамерных параметра в и гч.
Параметр е, представляющий собой отношение толщины слоя к среднему радиусу кривизны поверхностей, считается заведомо малой величиной, а 1ч мовкет и не быть малой. Теперь примем, что число Рейнольдса по своему порядку обратно пропорционально значению параметра г в первой степени, т. е. 3) диежвтвнцилльнои ттхвнвнив для давления в слоя 197 получим: Р = — Р дж /ди дсе( (2.16) ' Е' 1 ду ' Рев 1 (,де+ дх,)' ) Р =Ряв= да Рие 1 ду' др дхи д-.= Г1 =О, др У др дэи ое Р 63' да до дсе — + — + — = О. дх ду де (2.16) Дифференциальные уравнения (2.11) при подстановке (2.12) будут содержать только один малый параметр е.
Решения втой системы дифференциальных уравнений можно представить в виде рядов по степеням этого параметра. Тогла этв система уравнений вместе с уравнением несжнмаемостн разобьвтся иа последовательность отпепьных систем уравнений. Первой системой этой последовательности будут уравнения Рейнольдсэ (2.14), второй же системой будут те уравнения, которые были использованы Л. С. Лейбензоном с) лли вычисления первой попрэвкн на учат квадратичных членов инерции.
ф 3. Дифференциальное уравнение для давления в слое Дифференциальные уравнения (2.16) разрешаются весьма просто относительно скоростей. Так как давление не зависит от у, то в перлом и третьем уравнениях можно провести интегрирование по переменному у. Интегрирование по переменному у можно провести н в уравнении несжимаемости. В результате этих интегрирований ') Л ей бе н во н Л. С., Второе приближение з теории О. Рейнольдса, сборник «Гидродннамическзя теория смвзкнь, ГТТИ, 1934, стр. 557; Слб з к ни Н.
А., К воврасу об уточнении решейнй уравнений Рейнольхса, ДАН СССР, т. (.(Ч, )а 2, 1946. Полученные дифференциальные уравнения (2.16) носят название дифференциальных уравнений Рейнольдса для смазочного слоя. Сопо. ставляя зти уравнения с полными дифференциальными уравнениями устанознвшегосн движения несжимаемой вязкой жидкости, мы видим, что для перехода от полных уравнениИ к уравнениям (2.!6) должны быть отброшены не только все квадратичные члены инерции, но и часть слагаемых, обусловленных вязкостью. Таким образом, диффе'ренциальные УРавнения Рейнольдса совершенно не учнтываз1 квадратичных членов инерции и лишь частично учитывают слагаемые от вязкости.
(гл. чъ гидгодинлмичвскья твогия смазки ны получим следующие равенства для скоростей: и = — д — уз+ С,у+ Са, 1 др = )- —,у'+С у+Си 1 др о = — ~ ( — +-~-) Ыу+ Сь. д (ЗП) Входящие в этн равенства С,, Сз, Сз, С и С в общем случае могут считаться функциями переменных х и х. Установим граничные условия для скоростей. По нашему предположению точки первой поверхности имеют скорость У, только в направлении оси х, т.
е. граничные условия на первой поверхности будут представляться в виде и=.У,, о=О, ш.=б. (3.2) при у=О Точки второй поверхности имеют скорости У по касательной н Уя по нормали. Проектируя этн скорости на оси х и у и обозначая переменную толщину слоя через й, получим: прн у=и(х, л) и Узсоя(т, х) — Узз(п(т, х), о=У,зш(т, х)+Уясня(с, х), ш=О. Тангенс угла наклона касательной т ко второй поверхности к оси х будет представляться в виде ди 18(т. х) — дх.
В силу предположения о сравнительно малом искривлении второй поверхности можно положить: да 51п (т, х) 1и(т, х)= —, соя (с, х) 1.. При таком предположении граничные условия на второй поверхности будут представляться. в виде дз дл при у=и(х, з) и=Уз — У л-, о=Уях--+Ую ш=б. В предшествующем параграфе указывалось, что величяна скорости Уа ди должна быть малой величиной. Следовательно, произведение Уят- будет малой величиной второго порядка н им можно пренебречь.
31 диееаганпнальнов ггавивннв для ллвлзния в слов 199 при у = Ь (х, х) и = иа, о = $'я+ и~ 3-, те = О. (3,3) дл Используя граничные условна (3.2) и (З.З), получим: Са —— иы С =О, Са — О, С,= — —, хЬ+ — (и,— и), С,= — — —,Ь;1 1 ар 1 1 ар, (3,4) ь ияй+ г'з= — ~ Й+ а ) йу. (З,б) о Подставляя в (3.1) значения С„, См Сз, С~ н Сз нз (3.4), получим следующие выражения для скоростей: + — (и,— и) — — — (уь — у), У ! др Ь 2н дх — — (УЬ вЂ” у ) 1 др 2н дх и = и„ (З.б) Обратимся теперь к еше неиспользованному соотношению (3.5). Вынесем за знак интеграла в правой части произволные по х н х, но при этом учтйм, что верхний предел является переменным.
Учигывая условия (3,3), будем иметь; дн д Г дЬ д Г дл ох дх Ну = — и с(у — — (и)„= — ~ ис1У вЂ” и —, дх дх .! адх ' ды д Г да д Г 3 — пу= — ~ тп "У вЂ” у-(ш)ь= — 1 тл'(У о е Таким образом, соотношение (3.5) будет представляться в виде д Г д Г К =...— — ~ иду — — ) иду. дх Л ах д е о (л.у) Таким образом, граничные условие на второй поверхности будут Вйончательно представляться в виде 200 (гл. ю гидгодинлиичвская таогия смазки На основании равенств (З.б) булеи ииетэп 1 лэ др и пу=--,ул(ц+ ит) — —, о шву=в да лр 121х Зл ' 1 (з,а) Подставляя зти выражения в правую часть (3.7), получим следующее лифференциальное уравнение для давления: — '„(йф)+,~ (йа — ',~) = бр ~2К,+ —,'„" ((Г,+ и,)~. (3.9) В это диюференциальное уравнение (3.9) входит величина д, которая представляет собой толщину слоя и является заданной функцией от переменных к и з, Таким образом, в дифференциальном уравнении лля давления коэффициенты будут, как правило, не постоянными, а переменными.
Для определенности решения этого уравнения необходимо задать граничные условия для давления по той, вообще говоря, замкнутой кривой, которая ограничивает рассматриваемый смазочный слой в плане нз плоскости хОл. Простейшим граничным условием будет условие, при котором давление считается на втой кривой известным и постоянным, т. е. )(х, у)=0, р=,зе — — сопя1. (3.10) ф 4.
Сдавливанне слоя параллельными плоскостями Простейшим примером, в котором может быть использовзно дифференциальное уравнение (3.9) Рейнольдса для давления, служит эалача о сдавливании слоя параллельными плоскостями. Пусть мы имеем две параллельные пластинки, имеющие в плане одну и ту же, но произвольную форму(рис. 53). )(опустим, что между пластинками находится кзкое-то вязкое вещество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
