Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1159534), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если в рассматриваемой выше задаче о движении шара в неограниченной жидкости обратим движение, т. е, на всю жидкость и на шар наложим поступательное движение в направлении, обратном движению шара, функция тока которого представляется в виде (7,!9) з) Г а т чек Э., Вязкость жидкостей, ГТТИ, 1932, стр. 52. 182 движвниа пеи малых числах ввйнольдсь. метод стокса [гл. ч то, складывая функцшо ф, с функцией ф(7.12), получим решение задачи об обтекании неподвижного шара неограниченным потоком вязкой жидкости: ф = — У з! и 0 гь —, й' — — ай -+ — ), /1: 3 аз! 'ь2 4 4!г)' /! За аль '! 2 414 4Я~) ' За аз! Оз — Уз!п 0 ! — — —— 4!7 4Дз) (7.20) Рис.
48. Рпс. 47. мулах (7.12) и (7.20) лля функции тока выражения з!пз0 имеет место симметрия линий тока по отношению к диаметральной плоско. сти, перпендикулярной к основной скорости движения. Подставляя в выражение (7.20) для функции тока Й з1п 0 =- г, получим функцию тока в цилиндрических коорлинатах За азХ ф= — — иг (1 — — — + — ). 2 (, 2 17 2Ф)' (7.21) Используя соотношения (12.1) главы !Ч, получим выражения для компонент скорости в цилиндрических координатах 1дф 3 агат аз! о = — — — — ' = — У вЂ”. - (! -- — ), где 4 Ё (, Дм)' 1де Г 3 а аз! 3 агаl ...
—.. и(1 —, -+ )+ — (г —,!1 е=-;д,= '( 2Л м) 4 1Зз(, На основании полученных решений (7.20) можно произвести сравнительную оценку поряака величин отбрасываемых квадратичных членов инерции по отношению к тем слагаемым, которые были сохранены в уравнениях движения.
Так, например, в дифференциальном уравнении, отвечающем сферическому радиусу К, было отброшено Примерный вид линий тока, отвечающих функции тока (7.20) относительного движения жилкости, показан на рис. 47. Линии тока, отвечающие абсолютному движению жилкости, прелставляемому функцией тока (7.12), показаны на рис. 48. Благодаря наличию в фор- ,В 7) движянив шлоь в няогоаничвнной жидкости 133 доч слагаемое род — , которое на основании (7.20) будет представляться дР ' в виде дол 3 соз'В г азсг 3 а авз ро — = — раУз — (1 — — ) ~1 — — — + — ).
(7.23) д дх) 2 и (, Ф)1 2 А' А)' В этом же уравнении было сохранено слагаемое — —, обус- дВВ 17в з1п В дз ловленное вязкостью, которое на основании (7.3) и (7.13) будет равно и д770 до соз 0 да зш В дз д17 — ' = — = — ЗарУ вЂ”. (7.24) Составляя атно|пенне модулей левых и правых частей (7.23) и (7.24), получим: до, дР~ 1 ааУ Р (' за аз 2аз ав') дд 2 Н а 1 2Ф Дч Лз 217'У' — = — — — ( соз В111 — — — — + — — — 1.
(7.25) дР На основании полученного равенства (7.25) мы заключаем, что даже при Й= — '( 1 (7.26) порядок отбрасываемых квадратичных членов инерции мал по сравнению с сохрананными членами в уравнениях Стокса не во всех точках области, занятой жидкостью. Вблизи поверхности сферы выран0ение в скобке (7.25) обрашается в нуль, и поэтому отбрасывание квадратичных членов инерции в уравнениях движения до некоторой степени приближения может считаться справедливым, но на значительных расстояниях от сферы отбрасывание квадратичных членов с точки зрения проведенной оценки (7.25) нельзя считать вполне законным.
Обратим внимание на то, что высказанные заключения о возможности отбрасывания квадратичных членов инерции основаны на сравнительной оценке порядка лишь отдельных слагаемых, вычисленных после решения приближенных уравнений Стокса. Поэтому эти ааключения нельзя рассматривать как абсолютный критерий применимости приближенных уравнений Стокса. Критерием возможности использования приближенных уравнений Стокса могут служить только результаты эксперимента, ревультзты сравнения вычисленных значений, наприиер силы сопротивления шара, с результатами непосредственного еа измерения. На основании многочисленных экспериментов установлено, что формула Стокса (7.17) может считаться ааконной длв чисел рейнольдса, меньших половины. гоэ движвнив пги малых числах овйнольдсл.
метод стокса (гл. ч $8. Вращение шара в вязкой жидкости Приближенные дифференциальные уравнения Стокса установившегося движения несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах соглзсно соотношениям (7.1) главы !Ч будут представляться в виде др / о 2 — т дг ' ( " гз гз дт l' др Г от 2 до„! ,— =р (бо — — + — „ де ( гт „з дт ) 1 г дл до„ог ! до до, — "+ — "+ — — '+ — ' == О. дг г г дт да (8.1) Будем предполагать, что траектории всех частиц суть окружности с центрами на оси г, т. е.
о„= — О, о,— О. (8.2) При этом предположении из уравнения яесжимаемости (8,!) будем иметь до —" =- О. дт (8.3) Если считать давление р не зависящим от тч то для единственной компоненты скорости о„ получим из (8.1) следуюг~ щее дифференциальное уравнение: при й=а от — — аг=аа яви (8.6) бог — —" ,= — О. (8.4) Учитывая выражение (6.12) главы П оператора Лапласа в сферических координатах и (8.3), дифференциальное уравнение (8.4) можно представить в виде дзо 2 до ! дзо дА~~+,9 д!3 + Д! дез + Рассмотрим теперь задачу о вращении шара в безграничной вязкой жидкости с постоянной угловой скоростью а вокруг оси а (рис.
49). Напишем условие прилипания частиц жидкости к поверхности шара: ВРАщвннв ШАРА В ВязкОЙ жидкости 185 й 8! Подставляя значение о из (8.8) в (8.5), получим обыкновенное дифференциальное уравнение а'г 2 АУ 2 ,!!7З !Р «!р !Рь — + — — — — У= О. Решение етого уравнения представляется в виде Х С)7+ с (8.9) )Аля удовлетворения граничного условия (8.7) на бесконечности необходимо полоокитгп С, = О. Используя граничное условие прилипання (8.6), получим: С =воз. Таким образом, решение рассматриваемой задачи о вращении шло* в неограниченной вязкой жидкости будет представляться в зиле вао о!и 0 ко (8.10) На основании (6.9) главы В и предположений (8.2) и (8.3) для касательных компонент напряжения будем иметь: до о Р до ° =-.Ы вЂ” Ь) "=;( —,' — "«8) Подставляя значение о из (8.10); получим: р =О, (р и)„= -Зов вп В, рто=О.
(8.11) Лля вычисления результирующего момента сил сопротивления вращению шара в вязкой жидкости необходимо выражение (8.11) для (р в)„ умножить на злеиент поверхности аойпВо(Вс(р и на плечо относительно оси а з!п 0 и проинтегрировать по всей поверхности шара. В реаультате мы получим: У.„= ~ ~ (ртп)оааз!ВВВдВФо= = — бпрвао ~ ыпзВЫВ = — 8прваз. (8.!2) о Будем полагать, что на бесконечном удалении от шара скорость жидкости обращается в нуль: при )7=по От=О. (8.7) Вид граничного условия (8.6) указывает на возможность искать решение дифференциального уравнения (8.5) в виде от = шп07Я), (8.8) 136 движзниз пги малых числах гзйнольдсл.
мвтод стокса [гл. т Таким образом, при решении задачи о вращении шара в неогранкченной вязкой жидкости на основе приближенных уравнений, без учета квадратичных членов инерции момент сил сопротивления вязкой жидкости пропорционален первой степени угловой скорости вращения. Е 9. Движение вязкой жидкости в коническом днффузоре Рассмотрим движение вязкой жидкости в коническом лиффузоре в предположениях: 1) жидкость считается несжимаемой, 2) движевие предполагается установившимся и осесимметричным, 3) действием массовых сил и квадратичными членами инерции можно пренебречь и 4) движение частиц является строго радиальным, т.
е. от — О Лз1П В ддэ (9.1) При этих предположениях функция тока булет удовлетворять диф- ференциальному уравнению Стоков (9.2) ов)=о и, кроме того, не будет зависеть от переменного гс. Учитывая выражение (7.2) оператора Стокса и независимость функции тока от К, получим: зжа К~ ! НФ~ (9.3) '= 17з ЛВ1.1 В,~В) Введем новое независимое переменное, полагая соз В =- -.. (9.4) Тогда из (9.2) и (9.3) получилп 1 .,з ьпф 7)7)ф ' б(1 2) +(1 -Я) (1 т ) ~ 9 1 1 изр Ж 1 и'"т «тз ~ лтз лз лмр 1 атз , бф+(1 —:) — '1=9, лтз 1 или (1 — ) ~„+бф=С,+Сят. леф 9.5) Легко видеть, что частное решение дифференциального уравнения (9.5) с правой частью представляется в виде ф»= — (С,+ Сзс) = А+Вт.
Таким образом, дифференциаль е уравнение (9.2) будет предстлвляться в виде 9 9) движвнив вязкой жилкости в коничвском диеетзогв 187 Проверкой можно убедиться, что частное решение дифференциального уравнения (9.5) без правой части будет иметь вид ф» = С(» —:3). Для построения второго частного решения однородного уравнения положим: фз = ф»и (»). Тогда будем иметь: 2(1 — 3»э) — +(1 — »3) — = О, "% а'и = — 2й 1!и (» — »з)!.
Лл гз л'» ( — »1)з ' !3 1+» 3»1 — 21 и =Р ~ (»з-+Сз — Р ( 4!и !— 1+2»(! 1))+Сз. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (9.5) преаставится в виде ф = л+8»+с( —; )+ +Р ~ — (» — »з) !п — + + — »э — 1~. (9.6) Обозначим угол раствора конического диффузора бе (рис.
50), Рнс. 50. а полный расход через сечение — (). Граничные условия, выражающие прилипание частиц жилкости к стенкам н заданную величину расхода,'можно представить в виде: при ". = — 1 ф=о, при»=» — з Р-' Ын З ЛЗ Лг» в, () = 2г. ~ од йз з1п 8 49 = 2». [ф(те) — ф (!)), » (9.7) Производная от функции тока ф (9.6) по переменному» благодаря наличию слагаемого с !п(1 — ») будет при» = 1 обращагься в бесконечность. Поэтому для обеспечения регулярности радиальной скорости внутри конуса необходимо положить: Р = О.
движвник вязкой жидкости в коннчвском диеекзоги 189 Таким образом, при малых углах раствора конического диффузора радиальная скорость и перепад давления будут представляться при- ближенно в виде Рз Зе4 Й=- к 4 (' — '"') (9.10) Полагая, наконец, получим: гсб,=а, )с0=г, 2ьг каа (9.11) з) Славкин Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
