Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1159534), страница 29
Текст из файла (страница 29)
сатеаьиой составляющей ГЛАВА >У движение вязкой жидкости при мАлых ЧИСЛАХ РЕЙИОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА В 1, Приближйнные уравнения Стокса Как уже указывалось з в 8 главы П, основное затруьненве з решении дифференциальных уравнений дан>кения вязкой несжимаемой жидкости для конкретных задач заключается в наличии в левых частях этих уравнений квадратичных членов инерции. Эти квалратичиые члены инерции тождественно обращались в нуль, как зто мы знделн в первых параграфах предшествующей главы, лишь только тот,>а, когда жидкость считалась несжимаемой, а траектории частиц представляли собой либо параллельные прямые, либо концентрические окружности. Последнее обстоятельство может служить основанием к ааключению о том, что лля лвижений вязкой несжимаемой жидкости, для которых траентории частиц будут мало отличаться либо от параллельных прямых, либо от концентрических окружностей, квадратичные члены инерции булут малы и ими с некоторым приближением можно пренебречь.
К такому же допущению можно полойтн и с другой точки зрения. В 3 3 главы Н! были установлены дифференциальные урашкния вязкой несжимаемой жидкости в безразмерных величинах. Первое изэтих уравнений (3.2) с использованием обозначений характеристических чисел представится в зиле 8гт — — , '(х>(>г> — +о> — +и — ) = — Р,, — Е>т — ытли . (!.1) ди>, г ди>, ди, дио Я др> дб ' (> 'дх, 'ду, 'де,) И дх> При квалратичных членах инерции в уравнении (!.!) находится множитель в виде одного числа Рейнольдса.
Следовательно, если число Рейнольдса считать весьма малым, намного меньше единицы, лш «задратичнмми членами инерции в левых частях дифференииалькых уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости можно пренебречь. Однако требование малости числа Рейнольдса по сравнению с единицей является достаточным, но отнюдь не необходимым требованием того, чтобы считать квадратичные члены инерции малыми величинами. Квадратичные члены инерции могут быть малыми оОО АЬИоАЬИИЬ И!'И ИАЧЫХ ЧИШгАХ !'ЬИИОЛЬЛоА Ьл!ОЛ !никол !!Л Ч и в том случае, когда число Рейнольдса и немало, но траектории частиц близки к параллельным прямым или концентрическим окружностям. Для сохранения в уравнении (1.1) остальных слагаемых, солержаших множителем также число Рейнольдса, надо, очевидно, предположить, что по порядку величин имеют место неравенства оо)!, ) — )1, Е(с)1, (1.2) Обратим внимание на последнее неравенство (!.2).
Так как Е представляет собой отношение давления к произведению плотности на квадрат характерной скорости, а число Й = — , то из этого нераСотго венства получим лля давления: (!.4) )оо ) )о — ° (!.3) Ьо Неравенство (1.3) означает, что при отбрасывании в уравнениях дан- '!кения квадратичных членов инерции давление булет находиться з прямой зависимости от коэффициента вязкости и харантерной ско- рости в первой степени. Впервые уравнения движения вязкой жидкости с отброшенными кзздратичными членами инерции были широко использованы Стоксом. На этом основании эти уравнения и получили название ириблиркдн- нмх уртзкенил Стокса.
В прямолинейных осях ноординат прибли- женные уравнения Стокса лля двиокения вязкой несжимаемой жидкости представлюотся в виде ди ! др — == Р.— — — +чаи, 1 др А рдх ди 1др дг и р ду др "" р дг — = ГΠ— — — + ЧАЮ, ди до дм — + — + — = О. дх ду дх Дифференцируя псрвпе уравнение по х, второе по у, третье по л, складывая рсзультаты и используя уравнение несжимаемости, полу- чим дифференциальное уравнение для давления дсь дси дооо б = ( —,:+ — „"+ — „'). (!.б) В тех случаях, когда можно либо пренебречь действием массовых сил, либо считать их постоянными, давление будет представлять а 2) плоско-плтлллвльнов установившиеся движения жидкости 1б7 собой гармоническую функцию, т.
е. бр=О. (1.б) При отсутствии массовых сил с =О, Гя=О, )че=О с поиощью перекрестного дифференцирования уравнений (1,4) получим следующие дифференциальные уравнения для компонент вектора-вихря: дмм —.— = — ч амх, дг дм дг и' дч — =чу дг (1.7) 1(ифференциальные уравнении (1.7) совпадают по сноси форме с дифферснциальным уравнением процессов свободной теплопроводности и свободной диффузии. Следовательно, при отбрасывания квадратичных членов инерции вектор-вихрь будет распространятьси по законам свободной диффузии.
й 2. Плоско-параллельное установившееся движение вязкой жидкости Считая вязкую жидкость несжимаемой ч = соп51 движение установившимся дУ ду — О и плоско-параллельным ди ш= — О, — — О, дх дп — = — О дл и пренебрегая действием массовых сил Р=О др -=йби, д ~.=, 'бо, ду дл дп дх ду — + — =- О, (2.1) и квадр,пчными членами инерции по Стоксу, получим из (1.4) следующие уравнения: 158 движкнив пеи мллнх числах гвйнольдсл.
метод стокса (гл. ч Введэм функцию тока, излагая и=- —, о =- — —. ду' дх Тогда величина вихря и представится в виде 1 /до М ! ! !дзф ! дгф! ! !!ервые два уравнения (21) примут следующий вид: др д г д дх ду ' ' ду Р— (В Ьф) = — ( — 2ры), др д, д — — — — (р йф) = — ( — 2рн). ду гх ' дх (2,2) Уравнения (2.2) предстьзляют собой соотношения Коши — Римана. следовательно, лавленнь р и произвеленке вязкости на удвоенное значение вихря с обратвнм знаком прелставляет собой действительную и ,'мнимую часть в!которой функции у коиплексного переменного з, т, е. 552=0. (2.4) Таним образом, задача кзучекая плоско-параллельного установившегося движения вязкт несжимаемой жидкости яра отбрасыванаа квадратичных членов инерции приводится к решению багармоннческого уравненая (2.4) для функцаа токи Известно"), что вся!Но бнгармоническую функцию от лвух пере.
менных х и у можно г!едставить прн помощи лвух функций комплексного переменного г в виде 24 =- г Ф(г)+ гФ (г)+2(г)-+у (г), (2.5) где черта сверху над независимым переменным г и функциями Ф и 5 означает сопряженгь, т. е. в нервом случае замену ! через — ь' э выражении самого пььеменного г, а во втором случае в коэффициентах отлельных слзггемых этих функций. Дифференцируя левые и правые части по х !, у, получим: 2 — ' = — Ф(г)+зФ'(з) - Ф(г)+хФ'(г)+ у'(з)+у' (г) =- — 2т, дх 2' ,— =- ! ( — Ф( )+ з Ф!г)+ ЧТ (г) — гФ' (г) ук у'(з) — у (г)) = 2а, ду з! Му с хек и ~и виль Н.
Н., Некоторые основные задачи чзтематической теории упругости, оз. АН СССР, !Ч45. х+гу=г, р — 2!Ум =у (г). (2.3) Исключая нз равенства (2.2) лавление, получим ллэ функции тока бигармоническое уравнегяе 9 2) плоско-плглллельнов тстлновнвшввся движвние жидкости !69 Умножая первое равенство на — 1 н складывая со вторым, получим следующее выражение лля скорости в комплексной форме: и + гп = — 1 (Ф (з) + яФ' (я) + 7' (з)) . (2. 6) Для вторых производных от функции тока будем иметь: 2 —,' = 2Ф'(з)+гфм(г)+ 2Ф'(я)+аФ" (з)+1" (а)+ум(г), 2 —,= — — ( — 2Ф'(з)+зФ" (а) — 2Ф'(г)+гФл(г)+ ум(г)+7'(х)).
дуз Складывая эти выражения, получим для вихря и слелующее равенство: 2м =. — йф =. — 2 [Ф'(я)+ Ф'(з)). (2. 7) На основании (2.3) давление р прелставляет собой гармоническую функцию, сопрях<ецную с гармонической функцией — 2рм, поэтому р'= 2р1(Ф'(з) — Ф (з))+рз, (2.8) где рз — постоянная величина. Прн этом будем пметь: р — 21рм = /(г) = 491Ф'(с) (-ро, (2. 9) )тт..= ~ ( —,о1+р — )сЬ, )7,= [~ — р +-, э„)г(-, 7 (2. 1О) где — направляющие косинусы нормали, внешней к контуру т. Умножая второе равенство (2.10) на 1, склалывая с первым и заменяя 1 и т их выражениями, получим: Я,,-(-Ит — — [ [1рбтх+1г(у)+р — (и-(-го)гЬ).
(2.1() д В 9 4 главы Ш были установлены формулы для результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на поступательно движущееся в ней тело. Проекции главного вектора результирующего воздействия на плоский контур при его поступательном лзижении будут представляться в виде !60 движвнив пти малых числах взйнольдсл. метод стокса [гл. ч Так как д д д нуд дхд дп ' дх — = соз (и, х) — + соз (п, у) — — — — — —— ду Б дх дз ду ' д (и+ гп) 1 [Ф (з) + Ф (з)+ хф (х)+ / — (и+(ю) =Ф (х)+ф (х) — хф'(х) — / (з), ду то для слагаемых, вхолящих пол знак интеграла (2.11), получим: д д .
д дп — (и + (п) оЬ = Иу — (и + гти) — сгх — (и + Ри) =- дх ду .= — ф'(а) их — Ф'(х) с(з + хфх (х) с(х+ у" (з) с(х, гр г(г — — — 2рф' (х) г(з -1- 2пф' (х) дх+ гро дз, гр дз-1- р — (и+ (и) оЬ = — Грег(х + рН [ — Зф(х)+ хф'(г)+ у'(х)1 =— .= 1Рос(х+ Рд [ — 4Ф(х) [-1(и+ Го)[. Таким образом, вектор результирующего воздействия в комплексной форме на плоский контур представится в ниле )се+Из.— — -1ро ~ Их — 4и ~ И[Ф(х)[+рс~ г((и.(-гп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
