Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1159534), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(6.18) Это условие осуществимости ламипарного движения в круглой цилиндрическая трубе является необходимым, но не достаточным, так как на характер течения влияют еще длина трубы и условия входа в трубу. Вторым условием осуществимости ламинарного движения в трубе служит условие, определяющее длину того начального участка, на протяжении которого может развиться ламинарное движение прн любых условиях входа жидкости з трубу. Об этом условии мы будем подробно говорить в главе Х, пока же заметим, что длина 1 начального участка по данным теории и эксперимента должна удовлетворять следующему неравенству; 1 ) 0,16а(с. (5.19) Если число Реянольдса будет превышать критическое число Рейнольдса (5,18), то движение жидкости в трубе будет, вообще говоря, не ламинарным, а турбулентным. Основная особенность турбулентного движения вязкой жидкости заключается в беспорядочном харак- 130 точное интегеиеовьние ееьвнений естьновившагося движения [гл.
ш тере траекторий отдельных частиц жидкости. К необходимым признакам установившегося турбулентного движения вязкои жидкости в цилиндрической трубе, установленным с помощью наблюдений и измерений, относятся: !) беспорядочность траектория частиц, 2) почти равномерное распределение скоростей по сечению с резким уменьшением их Л до нуля в тонком слог вблизи стенки, 3) превышение максимальной скорости над средкед поРЯдка 10 — 20о и т 4) граФик коэргзбицигнта сопротивления трубы на обычной диаграмме и предстивляется кривой с медленно убывающим наклоном к оси абсцисс. Рнс.
31. Если число Рейнольдса изменять непрерывно от малых значений до очень больших, то коэффициент сопрогивления по паиным экспериментов на обычной лнаграмме представится графиком рис. 31. Этот график показывает, что переход ламинарного движения в турбулентное происходит не плавно, а скачком. При переходе через критическое значение числа Рейнольдса коэффициент сопротивления трубы увеличивается скачком, а затем медленно уменьшается. й 6.
Прямолинейное движение вязкой жидкости в круглой кольцевой трубе рассмотрим кольцевую трубу, ограниченную двумя концентрическими цилиндрами (рис. 32). Обозначим радиус внутреннего Рнс. 32. цилиндра через Ь, внешнего — череа а. Будем предполагзть, что движение вязкой несжимаемой жидкости в кольцевой трубе является установившимся, прямолинейным и осесимметричныи. При этих предположениях для единственной компоненты скорости и будем иметь следующее дифференциальное уравнение: и ии ! др (б.!) Граничное условие прилипанвя частиц к твЕрдым стенкам предста- ф' 61 пеямолиняйноа движение жидкости в кеуглой кольцевой теуьв 131 вится з рассматриваемом случае в виде при г=Ь и=О, при г=а а=О.
~ (6.2) Общее решение уравнения (6.1) имеет вид (6.3) С1пд+С. =О, Сл 1п а+ Сз = О. (6.4) Решая эти уравнения и подставляя найденные значения постоянных в решение (6,3), получим для искомой компоненты скорости следующее выражение; Г 1и— и = — — — ~ (ая — - Ьз) — — (г. — Ьэ)). 1дрхг ., Ь 4идх ~ а 1я— Ь (6,5) Заметим, что правая часть полученного решения (6.5) при уменьшении аначения радиуса внутреннего цилиндра Ь до нуля переходит в правую часть решения (5.6) задачи о течении жидкости в круглой цилиндрической трубе. Лля рассмотрении другого предельного случая положим: = (+ь) = (+-.") Считая отношения — и — малыми, разложим отношение логарнфу л Ь Ь мов, входяплее в правую часть (6.5), в ряд и ограничимся в этол! ряде слагаемыми, содержащими — и — не выше второй степени.
у д Ь Ь В результате получим приближйнное выралкение для скорости движения жидкости в тонкой кольцевой трубе 1 ддл а .= — — — (Ьу — ув). 21 ах (6.6) Полученное выражение (6.6) представляет собой не что нное, как решение задачи о прямолинейном движении вязкой жидкости между двумя параллельными и неподвижными стенками, находящимися друг Для определения входящих в основании граничных условий — — "'" ЬЯ+ 4э дх — —" аа+ это решение постоянных получим на (6.2) следующие уравнения: ! 32 точнок ннтв гиеованив толвнвний остановившегося движения (гл.
ш от друга на расстоянии А. Оно может быть получено и из (3,6) после небольших преобразований. Обращаясь к решению (6.5), получим для расхода через сечение кольцевой трубы следующую формулу: а О= — 2х ~ иггтг= — '( — ~"~(аэ — дз)~аэ+Ьэ — — ~. (6.7) ь 1п— Ь ф 7. Общая постановка задачи об установившемся круговом движении вязкой несжимаемой жидкости Жидкость будем считзть несжимаемая, т.
е. р = сопж, а ее движение предполагать установившимся, т. е, д "г' — = О. Кроме того, будем пренебрегать действием массовых сил то= О. При этих предположениях дифференциальные уравнения (6.6) и(6.7) главы П движения вязкой жидкости в цилиндрических координатах будут иметь вид до„ о до, до„ о'- 1 др г~г 2 до о — — "+ — т —, + о, — — — = — — — +э 1Ьо„— — — — — ~ 1, "дг г от гдх г Гдг ( " гэ гэ дт)' до о до до о„о !др г о„2дою о„— '+ — ' — '+, — '+ — ' = — — — +.!хд „вЂ” —,"+ —, — "~, до, о до, до„! др ог — + — т — +о — = — — — +тдо, ' дг г дт " дг Г дг до„ о„ ! до до —" ) — "-+ — — '+- — '=О.
дг г г дт дг Рассмотрим теперь случай, когда траектории всех частиц представляют собой дуги концентрических окружностей, т, е. о„.= — О, ох = — О. (7,2) При этом предположении из последнего уравнения (7.1) — уравнения несжимаемости — получим: доэ — =О. де (7.3) Таким образом, скорость каждой частицы вдоль еа траектории будет оставаться неизменной; эта скорость может изменяться лишь при й 7! тстлновившввся кгтговов движвния жидкости 133 а т г 1 йр раг' 1 бр Гдап ! дп, дан, пт г дт+ ' 1 дга + г дг для гя)' др д (7.4) О= О= Заметим, что благодаря тождествам (7.2) и (7.3) квадратичные члены инерции из основного уравнения, относящегося к искомой скорости и, совершенно выпали, и задача о круговом движении вязкой несжимаемой жидкости сталз линейной.
Дифференцируя первое уравнение по х и учитывая последнее уравнение, получим: ппт — =О, лг т. е. круговое движение вязкой несжимаемой жидкости должно быть плоско-параллельным. Во втором уравнении (7.4) слагаемое с давлением перевесам налево и умножим обе части на г; левая часть зависит от р, а правая часть не должна зависеть от него, следовательно, обе части равны одной и той же постоянной величине, т.
е. ~=С. (7.6) Равенство (7.6) означает, что перепад давления вдоль траектории постоянен. Второе уравнение (7.4) для определения скорости и при учета равенств (7.5) и (7.6) будет представляться в виде Лап 1 Кп и„ С (7.7) Лга г пг гз Пг или Лп и Л 1 Л С „—,( — „;+-„') =,—, ~-„—, (.,)~ =,—,. Проводя последовательно два интегрирования уравнения (7.8), получим его общее решение в виде и = — г11п г — — !+С,г+ —. 2п 1 2) (7.9) Для давления на основании равенства (7.6) и первого уравнения (7.4) будем иметь; (7.8) Г па р=С7+р ~ -Л. (г+С,. (7.10) переходе от одной частицы к другой„ т.
е. в зависимости от переменных г и г. Дифференциальные уравнения (7.1) при использовании тождеств (7.2) и (7.3) принимают вид !34 точнов интвггиговлнин тглвнаний тстлновившвгося движения [гл.ш На основании формул (6.5) главы !! касательное напряжение силы вязкости для кругового движения представится в виде (7.1 1) Подставляя в правую часть (7.11) значение ет из (7.9), получим: (7.12) Таким образом, для установившегося плоско-параллельного кругового движения вязкой несжимаеиой жидкости ииеют место закономерности (7.9), (7.10) и (7.!2), содержащие четыре произвольные постоянные С, С,, Св и Сз.
9 8. Круговое движение между двумя вращающимися цилиндрами Схб+ Ь' — — вгЬ С, С,а+-Ьг =вва С (8,3) откуда Сз аг Ьа (8.4) Применим полученные в предшествующем параграфе результаты к случаю движения жидкости между двумя концентрическими цилиндрами (рис. ЗЗ). Пусть внутренний цилиндр имеет ралиус Ь и вращается с угловой скоростью в,, а внешний имеет радиус а и вращается с угловой скоростью вя. Граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам будут иметь вид при г =- Ь и = в,Ь, [ при г=а о =-ваа.
[ г С4.а Ьщ т Обращаясь к формуле (7.10), мы видим, что гГтаг давление пРи изменении Угла в бУдет иногогг значной функцией, для устранения этой многозначности надо положить: С= О. (8.2) Используя граничные условия (8.1) и равенство (8.2), получим уравнения для определения постоянных С, и Ся 8 8! кттговов движаник мкждт двтмя вгащлющимися цилиндглмн 138 Полстааляя значения постоянных С, С, и С, в равенства (7.9),(7.!0) и (7.12), будем иметь следующие формулы для скорости, давления и силы вязкости: 1 Г, (в, — чв) атЬт) и = —.1ь(втав — в Ьз)г+ — ' ], ат Ьз( т га р =,, ~(в.
ат — втбт)т — + 2асбт(в — вя)(взат — вгбт) 1п г— (в, — ьч)азат Ргт 1 (аа — Ьт) гт (8.7) Подсчитаем момент всех сил вязкости, распределйнных по какой- либо окружности радиуса г, относительно осн симметрии. Обозначая этот момент через 7., будем иметь: — р„гэ аф о Подставляя выражение р„из (8.7), получим выражение момента сил вязкости в виде (вт — ,)а'Ьт (8.8) ат — Ьт Таким образом, момент сил вязкости, распределанных по любой окружности, относительно оси симметрии не зависит от радиуса этой окружности. Это значит, что если мы возьмйм слой, ограниченный двумя окружностями, то моменты сил вязкости, распределЕнных по этим окруююстям, булут равны по величине, но обратны по знаку (в силу разных направлений нормали), г. е.
для моментов сил вязкости будет выполняться уравнение равновесия. Впервые задачу о движении жнлкости между двумя вращающимися круговыми цилиндрами решил Ньютон' ). Прн решении этой задачи он впервые формулирует свою гипотезу о вязкости жилкостн, но уравнение для скорости ии было составлено неправильно. Ньютон исходил нз равновесия самих сил вязкости, а не их моментов. На зту ошибку указал Стокса), который дал правильное решение задачи.
Более подробное решение рассматриваемой задачи с учетом граничных условий частичного торможения частиц зкндкости вдоль поверхностей цилиндров было дано в работе Н. П, Петрова з). ') Ньютон И., Математические начала натуральной философии, перев. А. Н. Крылова, Собрание сочинений, т. ЧИ стр. 486. э) Я го вез О., Тгапз. Слане. РПП 8ос. 8, 28?, 1845.
з) Петров Н. П., Трение з машинах н влияние на нега смазывающей жидкости, сборник «Гнлролннамвческая теория сназкнж изД. 1934. 136 точнов интвгеиеовкние тгьвнвний тстьновившвгося движения (гл. зч Рассмотрим частные случаи. Уменьшая значение радиуса внутреннего цилиндра Ь до нуля, получим из (8.5), (8.6), (8.7) и (8.8): от = маг 1 р = — ри-г-+ Сз, ь,а =. ь. Е = О.
(8.9) Полученные формулы (8З) представляют решение задачи о вращении кругового цилиндра, наполненного вязкой жидкостью. Таким образом, лри установившемся движении вязкая жидкость внутри цилиндра вращается как абсолютно львердое тело. Для поддержания равномерного вращения цилиндра с вязкой жидкостью не требуется момента внешних сил. Чтобы получить решение задачи о вращении круглого цилиндра в безграничной жидкости, необходимо в формулах (9.6), (8.6), (8.7) и (8,8) вначале положить; ьь =О, а затем радиус внешнего цилиндра а увеличивать до бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
