Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1159534), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В результате мы получим: изЬ о а Ьа ь=с,— "., 24ьизьа (8.10) б = — 4криада 4) Г аз чек Э., Вязкость жидкостей, ГТТИ, 1932, сгр, 47. Первая формула (8.10) показывает, что скорость частиц изменяется с расстоянием от оси так же, как если бы на оси цилиндра располагалась вихревая нить и жидкость была бы идеальной. Следовательно, движение частиц вне цилиндра в этом случае, как уже было указано в 5 1 главы Ш, будет потенциальным. Лля поддержанля равномерного движении цилиндра в неограниченной зкидкости необходимо приложить момент внешних сил, пропорциональный угловой скорости вращения цилиндра, коэффициенту вязкости и квадрату радиуса цилиндра.
Полученное выражение (8.8) для момента сил вязкости используется в приборах с концентрическими цилиндрами '), предназначенных для экспериментального определения вязкости. Измеряя каким- либо способом момент сил вязкости, мы получаем возможность по этой формуле полсчитать значение коэффициента вязкости. 9 9) даижпнив жидкости мкжд! нскгиалйннымн сткиклми 137 9 9.
Движение жидкости менгду искрнвлйниыми стенками Рассмотрим теперь случай, а котором частицы жидкости з своам даижении описывают не полные окружности, а лишь некоторые ил части. Один нз примеров такого рода движений вязкой несжимаемой жидкости был рас- Н Ряс. 34. смотрен Н. Н. Жуковским !) а работе, посаящбнной гидро,тинамнчсскон теории трения. Н втой работе рассматривается аращающийся цилиндр, отазченный лишь частично пода!клинком, имеющим вырез Ьс, наполненный маслом (рнс.
34) Предполагалось, что траектории частиц а слое Ьс представляют собой дуги концентрических окружностей. Ь1ы же рассмотрим другой случай такого вида движений жидкости. Предположпм, что течение зязкон я несжимаемой жидкости происходит ' чу / между двумя неподаижиыми стенками, предстанляющими собой а сече., / нии дзе дуги окружностей с радяусами Ь н а и общим центром (рис. 35). Предполагая, что частицы жпдкостн перемещаются строго по дугам концентрических окружяостей, для скорости и булем иметь формулу (7.9).
На осноззнии этой формулы лля расхода О через сечение рассматриваемого кризолннейного канала получим слелующее аыражеиие: а С Газ Ьз ч ! а О= ~ о,аз=; — ! — -Оп а-и — — ()пе — 1)1+ — С (аз — Ьз)+С !— ур'1 2 2 ~ 2 — з Ь ь Из условия прнлнпання имеем: (9. 1) С 7 11 Ст С l С вЂ” а~!па — — )+Ст а+ — =О, — Ь!йтЬ вЂ” — 7!+С Ь+ — з =О, (92) откуда зьз С 1 аз1па — Ьа!пЬ С азЬз !и— При подстзноаке значений (9.3) формула (9.!) для расхода примет следующий аид: С Г 4аЗЬЗ Г а хтй () = — — !(ал — Ьт — — (!П вЂ” у! )!, Вр '( з — Ьз!, ьу )' (9.4) т) Ж у конский Н. Е., О гидродинамической теория трения хорошо смазанных тел, Собрание сочинений, т, 1П, !949. 138 точнов интвгтиговлнив твлвнаний устяновившвгося движения [гл.
ьч Входящее в зто выражение постоянное С представляет собой согласно (7.6) перепад давления, приходящийся нз один радиан угла Ч. Лля случая пряча. линейного движения вязкой жидкости между двумя неподвижными и параллельными стенками, огстояьцими друг от другана расстоянии д, из(8.8) можно получить следующую формулу для расхода; 1 дрд () = — — — л Ь". (9.5) 12р дх Полученное выражение (9.4) можно рассматривать как обобщение фор. мулы (95) на случай искривлбниых по лугам окружностей стенок.
Правую часть формулы (9.5) можно получить из правой части (9.4), если положить: С= — ль, др дх а=д(1+ Ь), 12и( Ь',) Рг Р'ь =- Зл(У -'- латах Г а ) аз — Ьт —, - — -1)п-- аз — Ьз '1 Ь 12 р(з О Рз Рь= (9.6) Складывая левые и правые части равенств (9.6), получим окончательную формулу для расхола в рассматриваемом нами случае составного канала р,— Рь 1 аз — Ьк — — )о — ~ аз Ьз г а затем провести разложение по степеняи Ь отношения —, сохранив члены не выше Ь' третьей степени. 27 Лзвленьье, определяемое по формуле (7.10), будет зависеть и от переменного г. Рис.
36. Но если предполагать скорость сравни- тельно малой, а радиус внутренней дуги Ь сравнительно большим, то слагаемым, содержащим интеграл от квадрата скорости, мольно булет пренебречь и считать прнближбнно давление неизменным по толщине слоя, Полученное выше решение может быть использовано для рассмотрения течения в канзле, границы которого составлены частично нз прямолинейных стенок, а частично из дуговых стенок, Например, канал, представленный нз рис. 36, состоит из прямолинейного учзстка АВ, дугового участка ВВ и прямолинойного горизонтального учзстка )ЗС, )(авлення у входа А и выхода из канала С считаются известными. Тогда, используя (9А) и (9.5), получим следующие формулы для Рззностей давлений в точках перехода от прямолинейных участков к криволинейным, при одном и том же расходе: 6 101 плоско-паваллальнон гадиальное течкник вязкой жидкости 130 Полученная формуаа для расхола являетса приближенной, так как прн напи- сании (ягй) не учитывалось изменение давления на криволинейном участке по радиусу.
й 10. Плоско-параллельное радиальное течение вязкой жидкости Предположим, что траектории всех частиц вязкой и несжимаемой жидкости при ев установившемся движении представляют собой прямые линии, расходящиеся от оси л, т. е. о — О, о,=0. (104) Прн зтом предполоькегьии дифференциальные уравнения (7.1) в цилин- дрических координатах принимают вид до„ и дг ! др = — — — + р дг ! дог ! данг дто„ог Х + г+ г+'у г г дг 'га дта дха га)' др , 29 до„ дт (10.2) дя — (го,) = О. д гдг На основании последнего уравнения (10.2) мы заключаем, что произведение радиальной скорости ог на радиус г не будет зависеть от г.
Положилп го„= и. (10,3) Будем предподагать движение плоско-параллельным, т. е, дог ~~ — — О. (!0.4) После интегрирования по аь второго уравнения (10,2) получим: р = — а+у(г), (10.3) Так как левая часть (10.6) не зависит от г, а правая часть зависит только от г, то обе части должны быть равны одной и той же Подставляя значения ог из (! О 3) и р из(10 5) в первое уравнение (10 2), получим: на+ 4ьи+ т — = — га — . дал ! аУ дта — р д ' (10.6) 140 точнов интвгриэованив травнзний тстлновившвгося движения (гл. 1ч постоянной величине, т. е. гэ иг — — =А, р иг Отсюда находим выражение для функции 7: Ар 2 э+ 2гэ Таким образом, давление в рассматриваемом радиальном течении будет представляться в зиле (1 0.7) Дифференциальное уравнение для функции и будет иметь вид а"зи э — + 4тц+цз = А, итэ ии Умвожнм обе части этого уравнения на — и проинтегрируем; пои! лучнм; (10,8) 2 и +2 иэ+ 3 цэ 4и+Сг 2 хиту нли — ) = — — иэ — 4иэ+ — и+С = — — Р(и), (10.9) (,)= ии'1э 2 э 2А 2 где Р(и) представляет собой многочлен третьей степени Р(и) = из+ бэиэ — 3Аи + С.
(10.10) Извлекая квадратный корень из левой и правой части (10.9) и разлеляя переменные, получим формальное решение уравнения в виде эллиптического интеграла ~р= ~ +Е>. / 2 3 =" фl — — с (и) (! 0.11) О=2 ~ оггНу= 2 ~ иду. (!0А3) Решение (10.11) будет содержать три произвольных постоянных А, Си О, для определения которых необходимо задать граничные условия. Рассмотрим теперь конкретный случай радиального течения между плоскими сходящимися неподвижными стенками (рис. 37). Обозначий половину угла раствора через ре. В силу условия Рнс. 37. прилипания: при й = -.Те и —— О. (10.12) )хля расхода О будем иметь следующее выражение: то т $10] плоско-пАРАллальнов Ралилльнов тачянии вязкой жидкости 141 Булем различать два случая радиального течения: расходящееся и сходящееся.
Для расходящегося течения радиальная скорость положительна, а величина и убывает от оси к верхней стенке, т. е. о >О Г<0 0<9<90 а для сходящегося течения, наоборот, о,(0, — )О, 0(ф('Ре. Обозначим корни многочлена (10.10) через е, ея и е, т. е. положим: г'(и) = (и — е,)(и — ея)(и — е„). Сумма этих корней равна коэффициенту при квадрате в (!О.!0) с обратным знаком е,+ея+е„= — б, (10.14) Пусть все эти корни действительны и пусть е, ) ея ) ез.
Тогда примерный график этого многочлена будет представляться кривой, подходящей к оси абсцисс и с отрицательной стороны оси ординат н пересекающей ось абсцисс три раза (рис. 38). Так как много- Рнс. 38, член входит в правую часть (10.9) с отрицательным иножителем, а левая часть существенно положительна, то области графика, где многочлен будет положительным, должны исключаться из рассмотрения (этн области покрыты штриховкой). В силу граничного условия (10.12) начало абсцисс (и = 0) должно вхолнть в области, где Г(и)(0. Но левее точки и = ля начало осн абсцисс не может быть, ибо тогда все корни оказались бы положительными, а это исключено соотношением (10.!4). Следовательно, начало оси абсцисс должно располагаться где-то межлу г, и ез и оно будет разбивать область возможного радиального течения на две отдельные области.
Для области справа от начала мы будем иметь: 0 (и (е,, еэеэ) О. (10.15) 142 точнов интвгвитовлнив хтлвнвний хстлновившвгося лвижвния [гл. ш (10. РУ) 0 (и (ео евез)О. Таким образом, длв чисто расходящегося течения ив (!0.9) н (10.13) имеелн ии Г» 2 3 — = — 1/ — у'(е — и) [ив — (е + ез) и+ е,ез), 3» и ии »Ц = — 2и»(в = — 2 — ~Г 2 )г(гч — и) [ед — (а, + ел) и + е,ез[ (10.18) (10.19) Проводя интегрирование по переменному и в пределах от ел до нуля, а по в от нуля до вз и используя (10.!4), получим: ч, ~/2, ( 3» З У~(ел — и) [ил+(6»+ел) и+лез) ~ У(ел — и) [ил+ (6»+ ел) и+ елее) езез ) О, е,+ез+езив — бч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
