Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1159534), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если, помимо прелположений о несжимаемости жидкости, об установившемся характере движения и о возможности пренебрегать деиствием массовых сил, попустить еща, что распределение скоро- степ и давления не зависит от полярного угла ф, то дифференциаль. ные уравнения (7.1) примут вид до, дп„~~ 1 дР (д и„! дп„дги„о„( гдг+ "дг г я дг+ хдгз+ г дг+ дал гз)' до дп ого г(мп 1 двт дгв е ! о — ~-(-о,— т+ — т =ъ ! — т+ — — т+ — т — —.~~, (1 1.1) г ! Π— '= — — — — + гдг+ "д» Гдл ' 'хдгя г да+дФ)' дог иг да, — "+ — '+ — ' = О. дг г дг 148 точнов интвгвиговлнив твлвнений тстлновившвгося движения [гл, ш а на бесконечности лишь две скорости о„и п„обращаются в нуль, так как радиальное растекание жидкости по плоскости возможно, только если считать и на бесконечности отличной от нулю при г -т со о,.-+ О, и -« О.
Учитывая прелноложения (11.2) и сформулированные граничные условия, будем иметь лля искомых функций следующие граничные условия: при а = 0 Г(О) = О, 0(0) = — ме, Н(0) = О, при а = ж Г(со) = О, б(оэ) = О. (11. 4) Дифференциальные уравнения (! 1.3) при граничных условиях (11.4) можно решать с помощью разложений искомых функций вблизи начала коорлинат (х = 0) и нх асимптотических разложений вблизи бесконечно удалвнной точки (з = со). Входяшие в эти разложения коэффициенты должны быть определены не только из граничных условий, но и из требовакий непрерывности самих функций Г, 0 и Н н пер- лг" лб вых производных — и — —.
Так как шо ре- п'л ла ' шение является громоздким, то мы йассмотрим лишь приближенное решение этих уравнений в том случае, когда граничное условие на бесконечности заменено условием на конечном расстоянии от плоскости. Примем. что на некотором неизвестном расстоянии е от плоскости аве скорости о„и о обращаются в нуль и обращается в нуль первая производная о по г. Иначе говори, второе граничное условие (11.4) заменим следующим: при з=а Г(3) =О, П(а) .=О, — =О.
ЛО (1 1.5) са !.!елинейные слагаемые в первых двух дифференциальных уравнениях (11,3) заменим их средним значением по толщине слоя Л, т, е, положим: 149 ф 111 вглшаниа вввгглничной плоскости Решая уравнения (11.7), получим; В = 2 Алт+ Сна+ С, б = — Вге+ С, л+ С,. (! 1,3) (1 1.9) При зтих значениях искомые функции представятся приближенно в виде В = —,' А(яз — 5.), 6 =- о(л — 6)з, ! о =-. — А ( — — х (о) .
(11.10) Подставляя (11.10) в (!1.6) и выполняя интегрирование, получим уравнения для определения А и толщины слоя 8 Аош "'о опх 5х 2и~ Аочао аз 1О. Разрешая эти уравнения, получим: 2 о 15 ч (11.!1) 5 =3,501/ г ио Сила вязкости, приходящаяся на единицу вращающейся плоскости, будет представляться в виде (Рео)о=9'(д ) =)ог('3 ) = Умножая левую и правую части на 2ягвдг и проводя интегрирозанис На основании последнего уравнения (11.3) и (11.3) будем вметая Н= — 21 — Ага+ — С аз+ С я+С ), /1 1 Используя граничные условия (11.4) и (11.б), получим следующие значения постоянных: 1 С, = — — Ао, 2 С =но, Сз = 0, Со = О, 1 оч 2ео С = — — Во — — В=— 2 а' аз' 150 точное интегрировании уравнений Установившегося движения (гл.
ш по переменному г от нуля до некоторого значения )с, получим момент сил вязкости, распределенных до лиску ралиуса Й относительно осн вращения: и а й =- — 2и ~ (рта)о гас(г =- — ир)(гч 0 — — — 0,9)(ч тр р)рма ° (1 1. 12) о Таким образом, е рассматриваемом примере момент сил вязкости относительно оси вращения пропорпионален угловой скорости вращения в степени з/ . 9 12. Случай импульсного источника Следуя указанному в предшествующем параграфе обратному четоду, рассмотрим еща олин саучайт) точного интегрирования ураииений установившегося осесимметричного дяцжения вязкой несжимаемой жилко тн.
В уравнениях (11.1) приз~ем поперечную скорость о равнга нулю и введем функцию тока ф, полагая 1дч 1дф г'г — — —, на — — —. г дз' "" «дг' Тогда первое и третье уравнения (11.1) можно представить е виде д (о~+па) 1 дф, 1 др ч д0ф дг~ 2 У гздг р дг г дл' д Уо,+~~) 1 дф, 1 др д()ф да(, 2 У гздг ' р дз г дг (12.2) тле 0 — оператор Стокса, разный да 1 д дз дгз и дй даз' (12.3) Перейдем теперь к сферическим координатам Р и 0 и положим: г = )г мн В, а — А соз 0. Отсюда будем иметь соотношения дг 1 дл дР— = з1п 0 да 1 дг — соз В дР )2 де' ог да Умножая в первый раз левые части (12.2) на — и — соответственно, дР д)р т) Слезкин Н. йм Об одном слУчае интегРиРУемости полных дифференциальных уравнений движения вязкой жнлкостн, Учаные записки МГУ вып.
11, 1934. $121 случАЙ импульсного источника ! О! 1дх 1дг дг а правые части иа — — — и — —, а во второй раз левые части на — и 77 дб Р дб' дб дх дх дг Об ' —, а правые — на )7 — и — )7 — и склалывая, повучим лиффереициальные дг дР уравнения движения в сферичесннх координатах д (! '! Вф дф 1 др т д()ф дЬ'(, 2 / Дм з!па 0 дут' с дР )уа з!п 0 дб ' ~ (!2.4) !з д 7 ! ,'! 7)ф дф 1 др д()ф д0 12 ! )(гзззйзбдб 0 дб ып0 дутт ' г„е оператор Стокса имеет вид дз, з!пб д / 1 дт В- — —, — -~ — -). д)ба Ю дб~а|пбдбу' (12.6) Компоненты скорости оп н оз будут представляться через функцию така в виде ! дф Г 1 д"1 1 дф 7 1 дг( 1 дф оп — — о Мпб+п спз0 — — — ( — — — !+ — — ! — — ! з г дх (, !Гдб) ' г дг 'АР дбг' )(гааза бдб ' 1 дф дх 1 дф дг 1 дф от=,ор сов 0 .озз!ив=†г дх дйз г дг дР Р з!п 0дР' (12.7) Наконец, полагая (12.8) сов б ч, будем иметь для функции тока уравнение в ниле дф д0ф дф д!Эф ~(1 дф ч д' ~ дт дйз дА' дт 1~~' дт 1 — чз д)7у — — — -27)ф!' — — '+ з — "'! = — ч(азу)7)ф, (!20) при атом дз 1 — тз дз (12.! 0) ! дф оп = !Озд» ' 1 дф (7 )г! чз д)г) (!2.1!) д !1, рч ч д0ф ()ф дф — — )гз+ — = — — — + д)7(,2 З ] 77з дт А»(1 чз) д)7 (12.12) Исключая из уравнений (!2И) с иамо цыо перекрестного лифференцирования давление, получим следую цпе дифференциальные уравнения для функции така: 1 дфд()ф дфдЕтф) 2()ф ('дф Мп Од(') )(из!п б д)7 дб дб дзр 7 Рзз!паб (д)7 ( ' ' )-,',( — — — — — — ( — ' соз 0 — — — ) = — чсасау!, (12.5) дбг 152 точнов иитвгвиеоваиив твавикний кстановнвшвгося движения (гл.
гч Решение дифференциального уравнения (129) будем искать в виде произведения произвольной функции от переменного т на радиус 77 ф = )гу (т), (12.13) Прн этом предположении будем иметь: 1 д= — — У'( ), )2 1 У(с) 77 тд( з 1 — Р 7),~ 77 д('1, р') ' т( . а 1 Ойг 12 а 7 дуз г(т )ат -(- рз-! -) = — — ' — И1-')уа) Ф-.хау, 0 12 а) )аз )7г (/з+ 1= — — ' г" + — Гау', Интегрируя последнее соотношение по т, получим для давления: (! 2.14) —,)шз+ —" = — ( — чу+ — Ужп-С). 2 у )г.(, 2 (12Л 5) то днффереицнадьное уравнение (12.!6) представится з виде г(э (1 — ! — ут — «(1 — тз)у' — 2тч,/~ = 0.
г(тз~ 2 (12.17) Проводя интегрирование, получим дифференциальное уравнение Риккати -уз — т(1 — сз)у' — 2шУ=С„! 'Сгч-Ь Сзчз. 2 (123 и) С яомошью подстановки У = — 2э (1 — чз)— ьг 01 у нч (! 2.19) уравнение (!2.!8) приводится к линейному уравнению второго порядка вчу С. + С,с + Сзтз — — —,— — у=о.
(12.20) ,(,з 2,з (1 „з)а Если все постоянные Са, С, н Сз положить равными нулю, то получим реше. пне уравнения (12.20) в виде у = А+Вч. дифференциальное трзвненве (12.9) для функции тока представится в виде — /т — 3,1 У = — ((1 — «з) Уг — 4 ту ) (12.16) Так как (-)"'- — '1 =(У) =(УУа, Уг)=УУ.-ГЗУгУ 2) П! — тз) у' -',— 2тг! = (1 — чз)у!ч — 4ту, 188 СЛУЧАИ ИМПУЛЬСНОГО ИСТОЧНИКА й 12) Отсюда будем иметь. у' В 1 у А+Вч С+, 1 — гз (!221) Простейшее решение дифференциального уравнения (12.18), представленное в виде (12.21), было получено Ландау!) н истолковано как решение, отвечаюгцее затопленной струе.
Лругие случаи интегрирования уравнения Риккати (12.!8) рассмотрены в книге Седова з). Чтобы истолковать гидродннамический смысл решения, отвечающего функцнн тока (12ЛЗ), обратил~си к выражениям (2.!1) главы П векторов, образующих тензор плотскости потока импульсов. В сферических координатах этн три вектора представятся в виде ез! — — вод р — рд, ээ у па р рч' а =)о)г — р, ! (12.22) где р-вектор скорости, а рл, р и р — век~ори напряжений по площад- 6 тм, перпенликулярным к коорлкнатиым линиям )2, 8 и Т. Лля рассматриваелшго нами случая осесимметричного движения для компонент тензора напряжения нз (69) главы П будем кметы у! доп до„о Т ()г дв д3~ )т' ) дол Рли = --Р+ Л" д)! ' о с!881 +, рд= 1 доат -В--д81 тч- г'ол р =- — Р-г-2р!— тч )2 (12.23) Род р =--р —;-2Н(— (,г аин до (упй рнд) КЯ = сопэ! .
(1224) !) Л а н да у Л. и Л и ф ш и ц Е., Механика сплошкых сред, Гостехиздат, 1984. з) Седов Л. И., Методы подобия п размерности в механике, Гостет. издат, 19Я. Так нак компоненты скорости нз (12.!4) обратно пропорциональны ралиусу, а давление нз (12,18) обратно пропорционально квадрату радиуса„ то наждый из трех векторов (12.22), представляющих тензор плотности потоКа импульсов, г/В будет обратно пропорционален квадрату сферического радиуса. Это значит, что если мы проведем из начала координат пучок направлений, образующих кругяый конус с небольшим углом раствора (рис.
42), то для всех сечений этого конуса про- рис. 42. наведение каждой составляющей из трбх векторов а иа площадь сечения будет одним и тем же. В частности, буде~ одним и тем же поток вектора-импульса, направленного по нормали к сечению, т. е. !о4 точнов ннтвггиговлнин кгавняннй установившегося движения (гл. ш ! 1 бон дт'ч озд с З вЂ”вЂ” , о!то — р(-- — + — — — ) а ' (,Р бб с)й й,) (12.25) и подставиьг значении он, о из (12.14), то получим: — = (ГУ- ч (! — тт!уш — 2 !) )уа рг! — ст Приравнивая квадратную скобку нул!о, получим уравнение Г У' — ° (! — чт)у" — 21Г = О.
(12.26) После одного интегрирования получкм дкфференцчальное уравнение вила уа ' — — ч (1 — тт)У' — 2 тУ = Са. 2 (! 2.27) Сравнивая уравнение (1227) с уравнеиаеь~ (12.18), л~ы видим, что левые части тождественно совпадают, э правые части отличаю~си на слагаемые, содержащие постоянные С, и Сз„Чтобы, наконец, перейтн к решению (!221), надо сщб н постоянное С„положить равным нулю. Единственное постоянное, входящее в решение (12.21), л~ожио определить, задавая, например, постоянную нотока импульса, вкодящтю в правую часть (!2,24). На атом основании кожно говорить, что решение (!228) представляет собой случал импульсного источника, т.
е. такого течении, при котором поток радиальной компоненты вектора импульса через асв сечения элементарного конуса с вершиной в начале координат остается постоянным. Случай Ландау представляет собой простейший импульсный источник, при котором единственная тангенцпальная состанляющая сзи венторов пч. пульсов обращается в нуль. В самом деве, если мы возьмем выражение ка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
