Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1159534), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(3.8) Дифференциальное уравнение (3.4) совпадает с дифференциальным уравнением одномерной задачи теплопроводности. Рассматриваемая же задача при условвях (3.6), (3.7) и (3.3) совпадает формально с задачей нагрева полубесконечного стержня с конца. Решение втой задачи имеет вид О7 и == ~ е-В'с(р= У!! — — ~ е-""яп = — !. (3.9) в т'йе Вычисляя силу вязкости на пластинке по формуле ди т р ду' получим (т) . = —. пУ у'.
или, подставляя значение и из (З.б): пц'д (т) я=в ьг — ' (3.10) (3.11) В предеяах погруженной части пластинки изменение компоненты скорости и в направлении оси у преобладает над изменением втой скорости в продольном направлении .за исключением, быть может, только края пластинки. Следовательно, второй произволной по х от и можно пренебречь по сравнению со второй производной от и по у. Тогда из (3.!) получим следующее дифференциальное уравнение: 234 лвнжвние пги малых числах гейнольдсл ивтод озввнл (гл.
чп Таким образом, сила вязкости в какой-либо точке на погружаемой в вязкую среду пластинке пропорциональна скорости в степени з/э н обратно пропорциональна 'квалратному корню из расстояния этой точки от края пластинки. Обозначим ширину пластинки через Ь. Умножая обе части равенства (3.1!) на 2Ьях и интегрируя от нуля до Ь, где Ь вЂ” длина ппгружанной части пластинки, получим следующую формулу для сопротивления трения врезанию тонкой пластинки в вязкую среду Р = — — Ь()п $' руд = — 2,257Ь(РУ ррй. (3.12) у-к Следовательно, сопрогнвленне прониканию тонкой пластинки в вязкую несжимаемую среду зависит не только от скорости проника.
ния () в степени з(з, но и от глубины проникания Ь в степени '/з. 1(опустим, что проннкание пластинки в вязкую среду происходит благодаря тому, что этой п.частнике с весом Р сообщена некоторая начальная скорость (Г. Составляя дифференциальное уравнение движения этой пластинки, получим: Р Л() чл — и-- = — = ()и у'рр(, л дл Разделяя переменные и проволя интегрирование, будем иметь: (3.!3) Обозначая предельную глубцну проникания пластинки через Н, прн которой скорость У обращается в нуль, получим из (3.13) следующую формулу для коэффициента вязкости среды.' эв Р- '1 ,, = — и,— —,—. 1б рдз ЬэН ~' (3,!4) й 4. Задача об обтекании цилиндра В 3 3 главы Ч было показано, что задача об установившемся движении круглого цилиндра в безграничной жидкости на основании уравнений Стокса не может быть решена. Для уравнений же Озеена, в которых квадратичные члены инерции учтены частично, решение этой задачи становится возможным.
!(опустим, что в безграничном потоке вязкой несжимаемой жидкости помещзн неподвижный круглый цилиндр радиуса а (рнс. 64). Полученной формулой можно пользоваться дзя экспериментального определения коэффициента вязкости весьма вязких сред с помощью ударного погружения в ннх тонкой пластинки. 0 4! влдлчл оь оьтеклнии цилиндгл Граничные условия прилипания жидкости к поверхности цилиндра и условия на бесконечности будут прелставляться в виде при г=а о,=О, ие = О; при г= со 'и = Усоь О, оь — — Уь!па, (4.1) Так как вектор скорости частиц жидкости на основании равенств (2.!2) равен и единичный вектор 1 оси х будет составлять с наГччс. 61, правлением г угол О, то при переходе к поляркым координатам г и 0 получим: (4.3) Фуннция о будет удовлетворячь уравнению Лапласа па плоскос~чч дтт ~ дет дхе ' дуя (4 4) а функция у будет представляться в виде ;( = — У+ еелУ, (4 б) где множитель У будет удовлетворять уравнению Гельмгольца дау да у.
дхт дут — + — — ))тУ =- О. (4.0) Проектируя подинтегральное выражение (2,!8) на ось х, получии: дт дт . дтдх дуду дт дх ду дхдг дудг дг' — сов 0-)- — ып 0 = -- - + Следовательно, формула (2.18) для сопротивления цилиндра примет вид )~л=риа ! д еда, 1 дч (4.7) Основное решение уравнения Лапласа (4.4), предсчавляющее потенциал скоростей источника .в начале координат, имеет вид о =!п г. (4М) 0г = — Ут'+ + йгаб(у+2 — у) (4.2) чч = — у соь0+,— —.
1 дт 'че дг 1 дк оь .= у а(0 О+ — — + 2агде дв +— дг ' 1 дт г де' яоо движвнив пзи малых числах звйнольдсл. метод озввнл [гл. чп Дифференцируя вто решение (4.8) по х и суммируя полученные таким способом новые частные решения, получим для функции е следующий ряд; ОЭ дю Ф =,Га А» дХВ 1П Г. (4.9) Так как д!Пг х сове дх гв ! 2хв ! — 2 сове З сов 2З дв!пг дхв гв гв гв гв 2х ех бхв 6 сов З б сове З гв гв гв дв!пг сов ЗВ гв дхв рв гв дв!пг да,,с з то ряд (4.9) для функции у можно представить в виде р =Ао!п г+ ~~( — 1)" '(п — 1)'Ав — (4 1О) в в Подставляя значение о из (4.10) в (4.7), получим: Ов в* Я„=2прУАе+ ~( — 1)" ~ — „", ~созпбМ. Таким образом, сопротивление круглого цилиндра будет зависеть от одного козффициента, представляющего собой мощность источника (4.В), и будет представляться в виде Общее решение уравнения (4.12) представляется через функции Бесселя нулевого порялка от мнимого аргумента в виде у= Свуо(дг) + авдо (дг).
С возрастанием аргумента функция Бесселя ге(йг) неограниченно растет, позтому необходимо положить: С =0. )2 = 2прУАо. г4.11) Лля функции у. зависящей только от полярного радиуса г, дифференциальное уравнение (4.6) примет вид 1"'+ — У' — ДзУ = О. задача ов овтвкании цнлиндтл Дифференцируя эту функцию источника по х и с, .еируя ревультаты после умножения на постоянные коэффициенты и множитель е", получим следующий ряд для функции у: О у = — У+ е'- „Э', В..р~ Ке(дг). я=0 (4.14) Граничным условиям (4.1) прилипания будем удовлетворять приближенно. Для этого в выражении (4.14) для у, считая, что пер. вые два коэффициента имеют порядки величин Ве-1 Ва-л.
сохраним слагаемые, имеющие порядок величины д в первой степени. Так как для малых вначений аргумента функция Макдональда нуле- вого порядка и ее первая производная представляются в виде (4.13) д сов Š— К (дг)ж — — = — —, дл где 7 — постоянная, равная 1,7811, то приближенное значение функ- ции у будет равно у — (7 — Вфп( — 7лг)+Дг сов 0 1п(у (Дг)~ — — ' (4.!б) Вычисляя по формулам (4.3) компоненты скоростей с точностью до ~1 величин порядка единицы и отбрасывая величины порядка Дг 1п! — 7йг), получим: о = — — — +(7сова — — Ве Х Ае Аг соз 0 1 т 2 Х !( — -1- соз 0 — соз 0 !п !т- тдг)~ + —, Г! /1 Ы В!созе (л (2 7) 2агз А,ми а Мпа (! ! Взэ!па оз — — — ' — У з!п 0 —  — 1п ( — Тдг) + — ' гя е 2 (2 7 2Ьз (4.!7) Полагаем в правых частях (4.17) г=а и приравниваем левые части нулю.
Приравнивая отдельно нулю коэффициенты при степенях сов О, Ф Такам образом, функция источника в начале координат на плоскости для уравнения (4.6) будет представлять собой функцию Макдональда нулевого порядка. т. е. Ке(дг). (4.13) 238 даижвнив пэи мАлых '!иолах Рвйнольдсл. катод оэввна (гл чг! впг Ь, получим слелующие уравнения: А, Вв — — — =-. 0, а 2/га А, — — „— и — -/) !п~~ — Тй )+ — „', =0. 2 е 'Х2 / 2аав Решая эти уравнения, будем иметь: 4ч /1э-- «(1 — 2!я(2 таа)1 1 — 21п(2 таа) 4// /)в = /1 1 — 21п ! — Гаа) (4. 19) //ав А 3 Па /1 1 — 2 гп( — тда) (,2 апи(/ 1 — 21п(- - Гй) (4.20) гле гс — число Рейнольдса, равное й =-2йа = —.
1/а (4.2 1) Формула (4.201 для сопротивления цилиндра была впервые установлена я рано ге Ламба '). Уточнен!ге формулы сопротивления круглого цилиндра, получаемой на основе использования уравнений Озеена, было дано в работах Факсепа э) и Томотика в). В последней работе указывается, что удовлетворительное согласование ревультатов расчпта г) Е а лг Ь Н., Оп гпе ппйогпг гаоиоп о1 а вриеге Пггопйи а т!всопв Ппий Р1Н!. Мвйав (6), ХХ1, 1911. '-') р а хе и н., ехвк!е 1.омгпп пег Овеепвсьеп 1)п(егеп1!а19!е!сьппйеп е!пег гвпеп рнмыйкеи !Ог деп ран Пег Тгапв!анопвЬежейппй е!пев Еуйпнегв, Ыотв лога реп.
атос, Яс1епг. Врва!а, Чог. ехггв оггппеш ешгпш, 1927. в) тою е1! с а Й. апп ло ! т., лп ехрапв1оп /огшйгеп (ог йе агап ап а г!гспйг сунппег 1ггоч!пп !Ьгапп!г а ч1всопв Ппш а! ваап йеупо1пв пшпьгев, Тие С)ггагг.!. о/ МссЬ, апи Лрр!. Ывгпеп!., г. 19, 1951, Таким образом, при рассматриваемой степени приближения определяются только первые дэа коэффициента Аз и Ве, два же других определяются лишь в своей линейной комбинации. Подставляя найденное значение коэффициента Ае кз (4.12) в (4,11), получим следуюшую формулу для силы воздействия вязкой жидкости на неподвижный кргтлый цилиндр; злдлчл ог озтгклиии цилиплгл по уточненной формуле сопротивления круглого цилиндра с экспериментальными измерениями имеет место лишь до ~исаа Рейнольдса, равного 10. Если подставить найденные значения ковффициентов (4.19) в (4.17), то получим следующие приближенные формулы для скоростей '!астиц жидкости вблизи поверхности самого цилиндра: — [ — ! —,— "",+2! Я, ) 1 — 2 1п( — !Ла) из!пз Г ат г) 'Оо — —— ! 1 — — + 21п — !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
